1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 43
Текст из файла (страница 43)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ318лебания с частотой ω и медленно меняющейся амплитудой с пе2πωи частотой ν биен = биен .риодом Tбиен =ωбиен2πБиения – это периодическое изменение амплитуды колебаний, возникающее при сложении двух гармонических колебаний сблизкими частотами.На рис. 8.32 в качестве примера таких колебаний изображенывременные зависимости углов отклонения маятников приα1(t)ω2= 1,1 .ω1Tбиенtα2(t)tРис.
8.32Для сравнения на рис. 8.33 представлены временные зависимости углов отклонения маятников при сильно различающихсячастотахω2= 9 , что соответствует наличию сильной связи междуω1маятниками.Заметим, что при специальном выборе начальных условийвсе элементы системы колеблются по гармоническому закону с одной и той же частотой, при этом фаза и амплитуда колебаний различных элементов системы могут различаться (первые два случаязадания начальных условий в данной задаче).
Такие колебания и ихГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания319частоты называются нормальными (см. п. 9.1. Теоретический материал в Главе 9).α1(t)tα2(t)tРис. 8.33В общем случае при определенных начальных условиях возбуждаются все нормальные колебания (третий случай задания начальных условий в данной задаче).Задача 8.11(Свободные незатухающие колебания системыс двумя степенями свободы)Два шарика одинаковой массой m, соединенные нерастянутой пружинкой длиной l0 и жесткостью k, лежат на гладкой горизонтальной поверхности.
На один из шариков начинает действовать постоянная сила F, направленная вдоль оси пружинки. Определить законы движения шариков, а также закон изменения длиныпружинки l(t).РешениеI. Приложим силу F к переднему по направлению действиясилы шарику (см. рис. 8.34). Задачу решаем в лабораторной инерциальной системе отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью. Направим ось X декартовой системы координат вдоль направления действия силы и совместим начало отсчета с центромМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ320масс системы тел «два шарика + пружинка» в начальный моментвремени (рис.
8.34).FупрOFупрx1x2FXРис. 8.34На шарики в процессе движения действуют силы упругостисо стороны пружинки, удовлетворяющие закону Гука (см.п. 2.1. Теоретический материал в Главе 2). Будем считать пружинкуневесомой и, следовательно (в соответствии со вторым и третьимзаконами Ньютона) силы упругости, приложенные к разным шарикам, равными по модулю.
Уравнения движения шариков в проекции на ось X выбранной системы координат имеют вид:m&x&1 = k ( x 2 − x1 − l0 ) ,(8.222)m&x&2 = F − k ( x 2 − x1 − l0 ) ,(8.223)где x2 и x1 – координаты переднего и заднего (по направлению действия силы) шариков.Полученная система уравнений (8.222) – (8.223) являетсясистемой двух связанных дифференциальных уравнений второгопорядка, которую легко свести к двум независимым уравнениямдля длины пружинки l и координаты центра масс системы xцм :l (t ) = x2 (t ) − x1 (t ) ,(8.224)x (t ) + x1 (t )xцм (t ) = 2.(8.225)2Вычитая из (8.222) уравнение (8.223), получаем уравнениедля длины пружинкиm&l& = F − 2k (l − l0 ) .(8.226)Сделаем замену переменной l (t ) на z (t ) :Fl (t ) = z (t ) + l0 +.(8.227)2kПри этом уравнение (8.226) сводится к уравнению гармоническихколебаний (8.1):2k&z& +z=0.(8.228)mГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебанияРешение этого уравнения имеет вид:z = A cos(ω0t + ϕ 0 ) ,где угловая частота ω0 гармонических колебаний равна321(8.229)2k,(8.230)mа амплитуда A и начальная фаза ϕ 0 определяются начальными условиями, заданными в задаче:llx1 (t = 0) = − 0 , x2 (t = 0) = 0 ,(8.231)22x&1 (t = 0) = 0 , x& 2 (t = 0) = 0 .(8.232)В результате решения системы уравнений (8.224), (8.227),(8.231) и (8.232) получаем закон изменения длины пружинки:F(1 − cos ω0 t ) + l0 .(8.233)l (t ) =2kНа рис. 8.35 изображенаl (t )зависимость длины пружинки отвремени l(t). Как видим, пруFжинка в процессе движения ша- l0 +kриков находится в растянутомсостоянии, периодически меняясвою длину по гармоническомуl0закону от l0 (длины нерастянутой пружинки) до значенияt0T0FРис.
8.35l0 + .kСложение уравнений (8.222) и (8.223) с учетом выражениядля координаты центра масс (8.225) дает уравнение для ускоренияцентра масс:F.(8.234)&x&цм =2mРешение этого уравнения с учетом начальных условий (8.231),(8.232) имеет вид:Ft 2.(8.235)xцм (t ) =4mω0 =322МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПереходя от переменных l (t ) и xцм (t ) к координатам шариков с помощью (8.224) и (8.225) из (8.233) и (8.235) получаем законы движения шариков:l (t ) F 2l(8.236)x1 (t ) = xцм (t ) −=t − 1 + cos(ω0t ) − 0 ,24m2l (t ) F 2lx2 (t ) = xцм (t ) +=t + 1 − cos(ω0t ) + 0 .(8.237)24m2На рис. 8.36 изображеx (t )ны зависимости координатx 2 (t )шариков от времени.
Как видим, движение шариков является суперпозицией равноусx1 (t )коренного движения с ускорением центра масс системыFи колебательного&x&цм =l0 / 22mдвижениясчастотой02kω0 =, при этом колеба- − l / 20mния шариков происходят впротивофазе.t0T0Заметим, что, если приРис.
8.36ложить силу F к заднему поотношению к ее направлению шарику, то пружинка в процесседвижения шариков находится в сжатом состоянии, периодическименяя свою длину по гармоническому закону от l0 до значенияFl0 − .k()()8.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1В бочке с жидкостью плотностью ρ в вертикальном положении плавает пробирка массой М.
В пробирку падает кусочек пластилина массой ò . Пролетев по вертикали расстояние h , он прилипает к дну пробирки. Пренебрегая трением, найти амплитудуГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания323колебаний пробирки, если площадь ее поперечного сечения равнаS.Ответ: A =m ⎛ m2mh ⎞⎜⎜⎟.+ρS ⎝ ρS M + m ⎟⎠Задача 2На тележке массой М закреплен горизонтальный стержень,по которому может без трения скользить муфта массой т. Двепружины, надетые на стержень, одним концом прикреплены кмуфте, а другим – к тележке. Общий коэффициент жесткости пружин равен k.
В состоянии равновесия центры масс муфты и тележки находятся на одной вертикали. Муфту смещают от положенияравновесия на небольшое расстояние l и отпускают с нулевой начальной скоростью. Определить частоту ω и амплитуды колебаниймуфты Aм и тележки Aт. Трением пренебречь.Mmk (m + M )Ответ: ω =, Aм = l, Aт = l.++mMmMmMЗадача 3В сплошном цилиндре радиусом R сделана цилиндрическаяполость радиусом R/2 с осью, проходящей через середину радиусацилиндра параллельно его оси. Определить период малых колебаний, которые возникнут, если положить цилиндр на шероховатуюгоризонтальную поверхность и вывести его из состояния равновесия.29 RОтвет: T = π.gЗадача 4Однородный стержень массой m совершает малые колебаниявокруг горизонтальной оси, проходящейчерез точку О.
Правый конец стержняподвешен на невесомой пружине жестkкостью k (см. рис.). Найти период колеmOбаний стержня, если в положении равновесия он горизонтален.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ324Ответ: T = 2πm.3kЗадача 5Найти частоту малых колебаний тонкогооднородного стержня массой m и длиной l вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (см. рис.). Жесткость пружины равна k , еемасса пренебрежимо мала. В положении равновесия стержень вертикален.3 g 3kОтвет: ω =+.2l mOmkЗадача 6В сплошном шаре радиусом R сделана шарообразная полостьрадиусом R/2 с центром, расположенным в середине радиуса шара.Определить период малых колебаний, которые возникнут, если положить шар на шероховатую горизонтальную поверхность и вывести его из состояния равновесия.177 RОтвет: T = 2π.10 gЗадача 7Найти добротность Q математического маятника длинойl = 50 см, если за промежуток времени τ = 5,2 мин его механическаяэнергия уменьшилась в η = 4·104 раз.τg≅ 1,3 ⋅10 2 .Ответ: Q ≅lnη lЗадача 8Под действием момента внешних сил M z = M 0 cos ωt тело,подвешенное на упругой нити, совершает установившиеся вынужденные крутильные колебания по закону ϕ = ϕ0 cos(ωt − α ) .
Найтиработу сил трения, действующих на тело, за период колебания.Ответ: Атр = −πϕ0 М 0 sin α .ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания325Задача 9При частотах вынуждающей гармонической силы ω1 и ω2амплитуда скорости осциллятора равна половине своего максимального значения при резонансе. Найти частоту, соответствующую резонансу скорости.Ответ: ωр = ω1ω2 .Задача 10В условиях предыдущей задачи определить коэффициент затухания и частоту затухающих колебаний.ω − ω2Ответ: δ = 1, ω = ω1ω2 − (ω1 − ω2 ) 2 / 12 .2 3326МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГЛАВА 9БЕГУЩИЕ И СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ.МОДЫ И НОРМАЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫ9.1. Теоретический материалВозмущение – пространственно локальное, неравновесноедля всей среды изменение ее состояния – изменение физическойвеличины (скалярной – ξ (t , r ) или векторной – ξ (t , r ) ), описывающей это состояние.Волна – процесс распространения возмущения в пространстве.Векторное волновое поле ξ (t , r ) – векторная функция времени t и радиус-вектора точки наблюдения r , описывающая возмущение среды, в которой распространяется волна.Скалярное волновое поле ξ (t , r ) – скалярная функция времени t и радиус-вектора точки наблюдения r , описывающая возмущение среды, в которой распространяется волна.Скорость волны – скорость распространения возмущения впространстве.Продольные и поперечные волны – волны, в которых векторное волновое поле ξ (t , r ) направлено соответственно вдоль илиперпендикулярно направлению распространения волны.Упругая (акустическая) волна – волна упругих деформаций (напряжений, давлений, смещений частиц, а также их скоростей и ускорений) в среде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
