1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 40
Текст из файла (страница 40)
8.22 равнаV = ( R − r )α& ,(8.96)где α – угол, задающий положение центра масс тела на цилиндрической поверхности.Если принять потенциальную энергию тела в положении егоравновесия равной нулю, то при отклонении центра масс на угол αпотенциальная энергия становится равной (см.
рис. 8.23)mgE p = mg ( R − r )(1 − cos α ) ≈( R − r )α 2 .(8.97)2Поскольку механическая энергия тела сохраняется, то∂ kE + Ep = 0 .(8.98)∂tПоскольку тело осуществляет плоское движение, рассмотримэто движение как вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью ω . По условию задачи качение происходит без проскальзывания, следовательно, мгновенная ось вращения проходит через()ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания297точки соприкосновения тела с цилиндрической поверхностью искорость центра масс тела равна:V = ωr .(8.99)Приравнивая правые части выражений (8.96) и (8.99) дляскорости центра масс, получаем уравнение кинематической связидля угловой скорости вращения ω тела вокруг оси, проходящейчерез центр масс, и угловой скорости вращения α& центра масс вокруг геометрической оси цилиндрической поверхности:R−rω=α& .(8.100)rIII. Решая совместно уравнения (8.95) – (8.98) и (8.100), получаем уравнение гармонических колебаний тела:mgr 2α&& +α = 0.(8.101)( R − r )( mr 2 + J )Сравнивая (8.101) с (8.1), получаем искомое выражение длячастоты собственных гармонических колебаний тела вращения:ω0 =mgr 2.( R − r )(mr 2 + J )(8.102)⎛mr 2 ⎞⎟ и шараВ частности, для сплошного цилиндра ⎜⎜ J цил =2 ⎟⎠⎝2 2⎞⎛⎜ J шар = mr ⎟ полученное выражение принимает вид:5⎠⎝2gω0цил =,(8.103)3( R − r )ω0шар =5g.7( R − r )(8.104)Задача 8.5(Свободные незатухающие колебания)Определить частоту ω0 малых собственных гармоническихколебаний жидкости в тонкой трубке U-образной формы с изменяющимся вдоль трубки поперечным сечением, помещенной в поле сил тяжести Земли.
Считать заданной зависимость площади по-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ298перечного сечения трубки S от координаты s вдоль трубки, а такжедлину заполненной жидкостью части трубки L.РешениеI. Поскольку в условии задачи не оговаривается иное, жидкость будем считать невязкой и несжимаемой. Задачу решаем энергетическим методом. Примем за ноль отсчета потенциальной энергии жидкости ее положение равновесия. По условию задачи сообщающиеся сосуды имеют неправильную форму, следовательно,смещение различных частиц жидкости при колебаниях будет различно, в отличие от колебаний в трубке с постоянным поперечнымсечением.
Введем обозначения: A1 – амплитуда малых гармонических колебаний жидкости в левом колене трубки, A2 – амплитудамалых гармонических колебаний в правом колене, ρ – плотностьжидкости.II. Пусть площадь поперечного сечения трубки есть известная функция координаты вдоль трубки S(s).
Масса всей жидкостиLравна m = ∫ρ S ds (L – длина заполненной жидкостью части трубки).0Колебания считаем малыми, поэтому площадь поперечного сечения трубки на расстоянии двойной амплитуды колебаний можносчитать неизменной. Следовательно, если S1 и S 2 – площади сечения правой и левой свободных поверхностей несжимаемой жидкости в трубке соответственно, тоA1S1 = A2 S 2 .(8.105)Будем отсчитывать координату s от левой свободной поверхности жидкости в положении равновесия. Координата правой свободной поверхности в положении равновесия равна длине столбажидкости s = L . Амплитуду колебаний A в сечении с произвольнойкоординатой 0 ≤ s ≤ L площадью S находим из условия A1S1 = AS ,аналогичного (8.105).
Тогда в случае гармонических колебаний амплитуда V колебаний скорости частиц жидкости в сечении трубки скоординатой s равнаSV = ω0 A = ω0 A1 1 .(8.106)SЗапишем кинетическую энергию всей жидкости в моментпрохождения ею положения равновесия:ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебанияLk=∫Emaxρ S ds V 220299L=ρ ω02 A12 S12 d s2∫0S.(8.107)Через четверть периода вся энергия будет потенциальной иопределяться работой сил тяжести по перемещению объема жидкоA + A2сти A1S1 = A2 S 2 на высоту 1:2A + A2ρ S1 A12 g ⎛ S1 ⎞p⎜⎜1 + ⎟⎟ .= ρ S1 A1 1Emaxg=(8.108)22⎝ S2 ⎠Поскольку силами вязкого трения и сопротивления воздухапренебрегаем, механическая энергия жидкости сохраняется:kpEmax= Emax.(8.109)III.
Подставляя (8.107) и (8.108) в (8.109), получим уравнениедля частоты собственных колебаний жидкости ω0 :Lρ S1 A12 g ⎛S ⎞⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ .(8.110)2S2⎝ S2 ⎠0Из (8.110) непосредственно следует выражение для искомойчастоты собственных колебаний жидкости в трубке:g (S1 + S 2 )ω0 =.(8.111)LdsS1S 2 ∫S0ρ ω02 A12 S12 d s∫=Полученное выражение (8.111) при S = const переходит в известную формулу для частоты собственных колебаний жидкости вU-образной трубке с постоянным поперечным сечением:2gω0 =.(8.112)LЗадача 8.6(Свободные затухающие колебания)Ступенчатый цилиндрический блок может вращаться безтрения вокруг закрепленной горизонтальной оси, совпадающий сосью симметрии блока.
Радиусы цилиндров блока – R и r . Момент инерции блока относительно указанной оси равен J . На цилиндры намотаны две невесомые нерастяжимые нити, начала которых закреплены на разных цилиндрах. На конце правой нити висит300МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧтело массой m . Конец левой нити прикреплен к легкой пружине с коэффициентомжесткости k , нижний конец которой закреплен так, что ось пружины вертикальна(рис. 8.24). Тело совершает малые вертикальные колебания в жидкости с коэффициентом вязкого трения η . Определитьзакон движения тела, если в положенииравновесия ему сообщили скорость V0 .RrJmkРешениеI. Задачу решаем динамическим методом в лабораторной инерциальной сисРис. 8.24теме отсчета.
Направим ось X декартовойсистемы координат вертикально вниз (см.рис. 8.25). На тело массой m действуют четыре силы – сила тяжести mg, сила Архимеда FAрх, сила натяжения нити T1 и сила вязкоготрения, пропорциональная скорости тела Fтр = −η x& (см. (2.12) вп. 2.1.2.В Главы 2). Под действием указанных сил тело совершаетвертикальные затухающие колебания.II. Запишем уравнение движениятела в проекции на ось Х:(8.113)m&x& = mg − FАрх − T1 − η x& .Запишем также уравнение моментовдля блока относительно закрепленной оси,совпадающей с осью симметрии блока инаправленной за плоскость чертежа(рис. 8.25):Jα&& = T1r − T2 R .(8.114)Здесь α – угол поворота блока, T1 и T2 –силы натяжения правой и левой нитей,действующие на блок.Нить считаем невесомой, следовательно, сила натяжения левой нити равнасиле упругости, с которой пружина действует на нить:T2 = k ( xпр − xпр,0 ) ,T2T1T1xпрFАрхxFтрXmgРис.
8.25(8.115)ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания301где xпр – координата точки крепления левой нити к пружине, xпр,0– координата той же точки при нерастянутой пружине.Поскольку нити по условию задачи нерастяжимы, изменениеугла поворота блока и изменение координат тела и точки крепления нити к пружине связаны соотношениями:Δx,(8.116)Δα =rΔxпр.(8.117)Δα =RДифференцируя (8.116) по времени, получаем уравнение кинематической связи углового ускорения блока и ускорения тела:&x&α&& = .(8.118)rИсключая изменение угла поворота блока Δα из (8.116) и(8.117), получаем уравнение кинематической связи изменений координат точки крепления левой нити к пружине и тела:RΔxпр = Δx .(8.119)rВоспользовавшись (8.119), преобразуем (8.115) к виду:R(8.120)T2 = k ( x − x0 ) ,rгде x0 – координата тела в положении, когда пружина не растянута.В результате записана полная система уравнений (8.113),(8.114), (8.118) и (8.120), которая с учетом начальных условий позволяет получить закон движения тела.III.
Исключая α , T1 и T2 из системы уравнений (8.113),(8.114), (8.118) и (8.120), получаем дифференциальное уравнениевторого порядка для координаты тела x :J ⎞R2⎛&&&(8.121)mxxmgFkxx++η−++(−)=0.⎜⎟Арх0r2 ⎠r2⎝Найдем координату тела x ðàâí в положении равновесия, прикотором отсутствуют колебания ( x& = 0 и &x& = 0 ):r2xравн = x0 + (mg − FАрх ) 2 .kR(8.122)МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ302Сделаем замену переменных, означающую введение координаты тела ξ , отсчитываемой от положения равновесия:ξ = x − x равн .(8.123)В этом случае из (8.121) получим уравнение для координатытела ξ :ηr 2kR 2ξ = 0,(8.124)mr 2 + Jmr 2 + Jкоторое имеет вид уравнения затухающих колебаний (см. (8.33) вп.
8.1. Теоретический материал).Сравнивая полученное уравнение с (8.33), для коэффициентазатухания δ и частоты собственных незатухающих колебаний ω0можно записать:ηr2δ=,(8.125)2(mr 2 + J )ξ&& +ξ& +kR 2.mr 2 + JРешением уравнения (8.124) является функцияξ (t ) = Аe −δ t cos(ω t + ϕ 0 ) ,ω0 =(8.126)(8.127)где ω = ω02 − δ 2 − частота затухающих колебаний, определяемаяпараметрами рассматриваемой колебательной системы, A − амплитуда и ϕ 0 − начальная фаза, определяемые начальными условиями.При произвольном выборе начала отсчета лабораторной системы координат закон движения тела будет иметь вид:x(t ) = xравн + Аe −δ t cos(ω t + ϕ 0 ) ,(8.128)С учетом начальных условий, заданных в задаче,x(t = 0) = xравн ,(8.129)x& (t = 0) = V0(8.130)находим амплитуду колебаний тела A и начальную фазу ϕ 0 :V0A=,(8.131)ω02 − δ 2ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебанияϕ0 = −303π.(8.132)2Искомый в задаче закон движения тела описывает затухающие колебания относительно положения равновесия (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
