1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Свободные и вынужденные колебания3111F0 a( p) p sin (ϕ ( p ) ) .(8.172)2Найдем sin(ϕ ( p ) ) , входящий в формулу (8.172), воспользовавшись (8.170):tg ϕ ( p)2δp(8.173)sin ϕ ( p ) ==.221 + tg ϕ ( p )ω02 − p 2 + 4δ 2 p 2Pср =()Подставляя (8.173) и (8.169) в (8.172), получаем зависимостьсредней мощности вынуждающей силы от частоты:F02δ p 2.(8.174)Pср ( p ) =2m⎛⎜ ω02 − p 2 + 4δ 2 p 2 ⎞⎟⎠⎝Частоту вынуждающей силы p max , при которой ее средняяdP ( p )мощность достигает максимума, находим из условия ср=0:dppmax = ω0 .(8.175)Заметим, что частота pmax совпадает с частотой, соответствующей резонансу скорости (см. п.
8.1.3).Подстановка (8.175) в (8.174) дает выражение для максимальной средней мощности вынуждающей силы:F2Pсрmax ≡ Pср ( pmax ) = 0 .(8.176)4mδВыражение для средней мощности вынуждающей силы причастоте, соответствующей резонансу смещения, находим подставляя (8.171) в (8.174):F 2 ω 2 − 2δ 2Pсррез ≡ Pср ( pрез ) = 0 0 2.(8.177)4mδ ω0 − δ 2Искомое отношение средней за период мощности вынуждающей силы F(t) при частоте, соответствующей резонансу смещения, к максимальной средней мощности этой силы находим, воспользовавшись (8.176) и (8.177):Pсррез ω02 − 2δ 2=.(8.178)Pсрmax ω02 − δ 2()(())МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ312Заметим, что полученное соотношение мощностей справедливо при δ <ω0.
При значениях коэффициента затухания δ ≥ω022в колебательной системе резонанс смещения не наблюдается (а резонанс скорости существует).Задача 8.10(Свободные незатухающие колебания системыс двумя степенями свободы)Два маленьких шарика массой m подвешены к потолку наневесомых стержнях длиной l , образуя два математических маятника.
Эти маятники связаны между собой легкой пружиной жесткостью kα2α1(см. рис. 8.31). В положении равновесияпружина не растянута, а точки ее крепления к стержням находятся на расстоянии a от точек шарнирного подвеF2F1са стержней к потолку. Определить законы изменения углов отклонения маmgmgятников от положения равновесия α1 (t )Рис. 8.31и α 2 (t ) при малых колебаниях в трехслучаях:1) оба маятника отклонили в одну сторону на одинаковыйугол α 0 от положения равновесия в момент времени t = 0 и отпустили с нулевой начальной скоростью;2) маятники отклонили в разные стороны на одинаковые углы α 0 от положения равновесия в момент времени t = 0 и отпустили с нулевой начальной скоростью;3) в начальный момент времени t = 0 одному из покоящихсяв положении равновесия шариков сообщили начальную скоростьυ0 , направленную от положения равновесия.РешениеI.
На каждый маятник действуют в процессе движения трисилы: сила тяжести mg , сила упругости со стороны пружины Fi(i = 1, 2) и сила реакции потолка, не изображенная на рис. 8.31. Силами трения о воздух и в подвесе пренебрегаем. В соответствии сГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания313начальными условиями, сформулированными в задаче, маятникиколеблются в плоскости, совпадающей с плоскостью чертежа(рис. 8.31). Задачу решаем динамическим методом в инерциальнойлабораторной системе отсчета, жестко связанной с потолком.II.
Запишем уравнение моментов (см. (6.48) в п. 6.1.2. Главы 6) для каждого из маятников относительно неподвижных осей,проходящих через точку их крепления к потолку перпендикулярноплоскости колебаний (см. рис. 8.31):ml 2α&&1 = −mgl sin α1 − F1a cos α1 ,(8.179)ml 2α&&2 = − mgl sin α 2 + F2 a cos α 2 .(8.180)При малых углах отклонения маятников от вертикали пренебреглиотклонением пружины в процессе колебаний от ее горизонтальнойориентации в положении равновесия. При записи уравнений (8.179)и (8.180) учтено также, что моменты сил реакции потолка относительно выбранных осей равны нулю.Сила упругости, действующая со стороны пружины на первый маятник, в соответствии с законом Гука (см. (2.5) в п.
2.1.2Главы 2), равна:F1 = ka(sin α1 − sin α 2 ) .(8.181)Поскольку пружина невесома, то согласно второму законуНьютона силы, действующие со стороны стержней на пружину,равны, а, следовательно, равны и силы, действующие на стержнисо стороны пружины (в соответствии с третьим законом Ньютона):F1 = F2 .(8.182)Подставляя (8.181), (8.182) в (8.179), (8.180) и учитывая малость углов α i отклонения стержней от вертикали ( sin α i ≅ α i ,cos α i ≅ 1 ), получаем систему связанных дифференциальных уравнений второго порядка:gka 2α&&1 + α1 + 2 (α1 − α 2 ) = 0 ,(8.183)lmlgka 2α&&2 + α 2 + 2 (α 2 − α1 ) = 0 .(8.184)lmlДелая замену переменныхξ1 = α1 + α 2 ,(8.185)ξ 2 = α1 − α 2 ,(8.186)МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ314получаем два независимых уравнения гармонических колебаний(8.1) для новых переменных ξ1 и ξ 2 :gξ&&1 + ξ1 = 0 ,(8.187)l⎛g2ka 2 ⎞⎟ξ = 0 .ξ&&2 + ⎜⎜ +(8.188)2 ⎟ 2⎝ l 1 ml ⎠Следовательно, при колебаниях маятников переменные ξ1 иξ 2 изменяются по гармоническим законам:ξ1 (t ) = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) ,(8.189)ξ 2 (t ) = A2 cos(ω2t + ϕ 2 ) ,(8.190)где частоты колебаний ω1 и ω2 в соответствии с (8.187) и (8.188)определяются параметрами маятников и пружины:gω1 =,(8.191)lg 2ka 2.(8.192)+lml 2Амплитуды A1 , A2 и начальные фазы ϕ1 , ϕ 2 колебаний переменных ξ1 и ξ 2 определяются начальными условиями.Переходя к углам отклонения стержней от вертикали из(8.185), (8.186), (8.189) и (8.190) получаем искомые законы изменения углов отклонения маятников от положения равновесия α1 (t ) иα 2 (t ) :AAα1 (t ) = 1 cos(ω1t + ϕ1 ) + 2 cos(ω2t + ϕ 2 ) ,(8.193)22AAα 2 (t ) = 1 cos(ω1t + ϕ1 ) − 2 cos(ω2t + ϕ 2 ) .(8.194)22Определим параметры A1 , A2 и ϕ1 , ϕ 2 колебаний в трех различных случаях задания начальных условий.
Для этого сначаланайдем угловые скорости движения маятников, дифференцируя(8.193) и (8.194) по времени:AωAωα&1 (t ) = − 1 1 sin(ω1t + ϕ1 ) − 2 2 sin(ω2 t + ϕ 2 ) ,(8.195)22ω2 =ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания315A1ω1Aωsin(ω1t + ϕ1 ) + 2 2 sin(ω2 t + ϕ 2 ) .(8.196)221. В случае, когда оба маятника отклонили в одну сторону наодинаковый угол α 0 от положения равновесия в момент времениt = 0 и отпустили с нулевой начальной скоростью, начальные условия записываются в виде:α1 (t = 0) = α 0 , α 2 (t = 0) = α 0 ,(8.197)α&1 (t = 0) = 0 , α& 2 (t = 0) = 0 .(8.198)Воспользовавшись формулами (8.193) − (8.196) для параметров A1 , A2 и ϕ1 , ϕ 2 получаем:A1 = 2α 0 , A2 = 0 ,(8.199)ϕ1 = 0 , ϕ 2 = 0 .(8.200)При этом искомые законы движения маятников принимаютвид:gα1 (t ) = α 0 cost,(8.201)lα& 2 (t ) = −gt.(8.202)lКак видим, в первом случае задания начальных условий маятники колеблются по гармоническому закону с одинаковой частоgтой ω1 =, амплитудой α 0 и нулевой начальной фазой.l2.
Во втором случае, когда маятники отклонили в разныестороны на одинаковые углы α 0 от положения равновесия в момент времени t = 0 и отпустили с нулевой начальной скоростью,начальные условия имеют вид:α1 (t = 0) = α 0 , α 2 (t = 0) = −α 0 ,(8.203)α&1 (t = 0) = 0 , α& 2 (t = 0) = 0 .(8.204)Как и в первом случае начальных условий, воспользовавшисьформулами (8.193) − (8.196) для параметров A1 , A2 и ϕ1 , ϕ 2 получаем:A1 = 0 , A2 = 2α 0 .(8.205)ϕ1 = 0 , ϕ 2 = 0 .(8.206)При этом искомые законы движения маятников имеют вид:α 2 (t ) = α 0 cosМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ316g 2ka 2+t,lml 2α1 = α 0 cos(8.207)g 2ka 2(8.208)t.+lml 2Как видим, во втором случае задания начальных условий маятники колеблются по гармоническому закону в противофазе сα 2 = −α 0 cosg 2ka 2+и амплитудой α 0 .lml 23. В случае, когда в начальный момент времени t = 0 одномуиз покоящихся в положении равновесия шариков сообщили начальную скорость υ 0 , направленную от положения равновесия,начальные условия записываются в виде:α1 (t = 0) = 0 , α 2 (t = 0) = 0 ,(8.209)одинаковой частотой ω2 =υ0, α& 2 (t = 0) = 0 .(8.210)lКак и в предыдущих случаях начальных условий, воспользовавшись формулами (8.193) − (8.196) для параметров A1 , A2 и ϕ1 ,ϕ 2 получаем:α&1 (t = 0) =A1 =ϕ1 =υ0glπ, A2 =, ϕ2 =υ02ka 2gl +m.(8.211)π.(8.212)22При этом искомые законы движения маятников принимаютвид:α1 =α2 =υ02 glυ02 glsingt+lsingt−lυ02ka 22 gl +mυ02ka 22 gl +msing 2ka 2+t,lml 2(8.213)sing 2ka 2+t.lml 2(8.214)ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания317Как видим, в третьем случае задания начальных условийдвижение маятников представляют собой суперпозицию двух гарgg 2ka 2и ω2 =.+llml 2Для анализа полученного решения законы движения маятников удобно записать в виде:α1 = C1 sin ω1t + C2 sin ω2t ,(8.215)α 2 = C1 sin ω1t − C2 sin ω2t ,(8.216)гдемонических колебаний с частотами ω1 =C1 =υ02 gl, C2 =υ02ka 22 gl +m.(8.217)mglчастоты ω12и ω2 оказываются близкими по величине (см. (8.191) и (8.192))ω2 − ω1 << ω1 ,(8.218)а законы движения маятников (8.216) и (8.217) имеют вид:α1 (t ) = C1 (sin ω1t + sin ω2t ) + (C2 − C1 ) sin ω2t ≅При слабой связи между маятниками ka 2 <<⎛ ω + ω2 ⎞ ⎛ ω1 − ω2 ⎞≅ 2C1 sin ⎜ 1t ⎟ cos⎜t⎟ =⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ω⎛⎞= 2C1 cos⎜ биен t ⎟ sin ωt ,2⎝⎠α 2 (t ) = C1 (sin ω1t − sin ω2t ) − (C2 − C1 ) sin ω2t ≅(8.219)⎛ ω + ω2 ⎞ ⎛ ω1 − ω2 ⎞≅ 2C1 cos⎜ 1t ⎟ sin ⎜t⎟ =⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ω⎛⎞(8.220)= 2C1 sin ⎜ биен t ⎟ cos ωt ,2⎝⎠где введены обозначенияω + ω2ω= 1, ωбиен = ω2 − ω1 .(8.221)2Как видим, при слабой связи между маятниками движениемаятников носит характер биений и его можно представить как ко-МЕХАНИКА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
