1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета (из соображений удобства), относительно которой будут рассматриваться законы сохранения (изменения) механической энергии и момента импульса механической системы, изобразить на чертеже еесистему координат, а также точку (ось), относительно которой записываются моменты импульсов и сил.3. Изобразить и обозначить силы и необходимые кинематические характеристики системы.4. Выбрать механическую систему и рассматриваемый интервал (начальный и конечный моменты) времени.5. Выбрать модели тел (если это не сделано в условии задачи)и рассмотреть особенности их движения на рассматривае-238МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧмых интервалах времени (непосредственно перед соударением, сразу после соударения, и т.д.).6. Провести анализ действующих на тела системы сил и ихмоментов относительно выбранной точки (оси) вращения.II. Записать полную систему уравнений по отношению к искомым величинам.1. Выбрать законы сохранения (изменения) и записать их ввыбранной системе отсчета для выбранной механическойсистемы и выбранных интервалов времени в рамках выбранной модели движения тел системы.2. Записать выражения для моментов сил, моментов инерциии импульса тел и механической энергии системы тел сучетом характера их движения.3. Записать уравнения кинематической связи.4.
Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.7.3. Примеры решения задач7.3.1. Законы сохранениямомента импульса и механической энергииЗадача 7.1Вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку закрепления математического маятника массой m и длиной l, может вращаться без трения однородный стержень массой M и длиной L ≥ l,шарнирно закрепленный в той же точке (см. рис. 7.2). Маятник отпускают из горизонтального положения. Найти максимальный уголотклонения стержня αmax после абсолютно упругого соударения cмаятником.Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии239РешениеI. Выберем лабораторную инерциmπ/2 lальную систему отсчета, жестко связанную с точкой подвеса математическогомаятника и стержня. Направим горизонтальную ось вращения за плоскость чер- M, Lтежа (см. рис. 7.2).Выберем четыре момента времени:Рис. 7.2t1 – момент начала движения математического маятника, t2 – момент непосредственно перед соударениеммаятника со стержнем, t3 – момент сразу после соударения, t4 – момент, соответствующий максимальному отклонению стержня. Втечение временного интервала (t1, t2) сохраняется механическаяэнергия математического маятника. В промежутке времени (t2, t3)сохраняются механическая энергия и момент импульса системытел «маятник + стержень».
Импульс системы тел в этом промежутке не сохраняется, поскольку в точке подвеса стержня во время соударения возникают дополнительные силы, импульс которых отличен от нуля. В промежутке времени (t3, t4) сохраняется механическая энергия стержня вследствие отсутствия сил трения.Потенциальные энергии математического маятника и стержня будем считать равными нулю при их вертикальной ориентации.II. Запишем закон сохранения механической энергии (7.17)для математического маятника на интервале времени (t1, t2):2J1ω1mgl =.(7.25)2Здесь mgl – потенциальная энергия маятника в его исходном гори2J1ω1– кинетиче2ская энергия маятника непосредственно перед соударением (в момент времени t2), J1 – момент инерции маятника относительно осивращения, ω1 – его угловая скорость перед соударением.Для временного интервала (t2, t3) закон сохранения моментаимпульса (7.4) и механической энергии (7.17) для системы тел «маятник + стержень» имеют вид:J1ω1 = J 2ω2 + J1ω3 ,(7.26)зонтальном положении (в момент времени t1),МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ240222JωJ1ω1Jω(7.27)= 2 2 + 1 3 ,222где J2 – момент инерции стержня, ω2 и ω3 – угловые скорости вращения стержня и маятника сразу после соударения.Запишем также закон сохранения механической энергии(7.17) для стержня на интервале времени (t3, t4):2J 2ω2MgL(1 − cos α max ) .=(7.28)22Моменты инерции маятника J 1 и стержня J 2 относительновыбранной оси вращения равны:J1 = ml 2 ,(7.29)1J 2 = ML 2 .(7.30)3III. Решая систему уравнений (7.25) – (7.30) относительно искомого максимального угла отклонения стержня, получаем:⎛⎞⎜⎟⎜⎟L⎟24α max = arccos⎜1 −⋅.(7.32)2⎜ ⎛⎟2l⎞⎜ ⎜ 3 + M ⎛⎜ L ⎞⎟ ⎟⎟⎟⎜ ⎜⎟ml⎝⎠⎠⎝ ⎝⎠Поскольку α max не может превышать π / 2 , то на соотношения масс M / m и длин L / l стержня и математического маятниканакладывается условие:24L⋅ <1,(7.33)22⎛⎞ lML⎞⎛⎜3 + ⎜ ⎟ ⎟⎜m ⎝ l ⎠ ⎟⎠⎝при нарушении которого стержень ударится о потолок.На рис.
7.3 изображены области значений отношений длин имасс маятника и стержня, при которых максимальный угол отклонения стержня в результате соударения с математическим маятником меньше или равен π / 2 . Кривая, изображенная на рис. 7.3 соответствует значениям отношений длин l / L и масс m / M маятника и стержня, при которых стержень принимает горизонтальноеположение, не соударяясь с потолком. Область значений отноше-Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии241ний длин и масс, расположенная выше изображенной кривой, соответствует случаю соударения стержня с потолком.l/L10.8α max = π / 20.60.4α max < π / 20.2000.40.8 1.2m/M1.62Рис.
7.3На рис. 7.4 изображены зависимости максимального угла отклонения стержня после соударения от отношения длин маятника истержня α max (l / L ) при различных значениях отношения их масс(m / M ) .α max ,°90m/M = 210,5600,30,130000.20.40.60.81l/LРис. 7.4Как видим, при увеличении отношения длин маятника истержня максимальный угол отклонения стержня возрастает, при-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ242чем скорость возрастания увеличивается с увеличением отношениямасс маятника и стержня.На рис. 7.5 изображены зависимости максимального угла отклонения стержня после соударения от отношения масс маятника истержня α max (m / M ) при различных значениях отношения их длин(l / L) .α max ,°90l/L = 10,30,5600,2300,1000.40.8 1.2m/M1.62Рис. 7.5Как видим, при увеличении отношения масс маятника истержня максимальный угол отклонения стержня возрастает, причем скорость возрастания увеличивается с увеличением отношениядлин маятника и стержня.⎛⎞⎜⎟⎜⎟L⎟24⋅.Ответ: α max = arccos⎜1 −⎜ ⎛2 2 l ⎟⎞⎜ ⎜ 3 + M ⎛⎜ L ⎞⎟ ⎟⎟⎟⎜ ⎜⎟ml⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎝⎠Задача 7.2На гладкой горизонтальной поверхности лежат небольшаяшайба массой m и тонкий однородный стержень длиной L и массойM.
Шайбе сообщили скорость υ в горизонтальном направленииперпендикулярно стержню (см. рис. 7.6). Шайба абсолютно упругосоударяется со стержнем в точке B на расстоянии l от его центра(точка O). Определить это расстояние в трех случаях:Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии2431) сразу после соударения шайбаYостанавливается,A2) шайба передает стержню максимальный импульс,3) скорость конца стержня (точкаA на рис. 7.6) после соударения равнаOXнулю.υРешениеBI. Задачу решаем относительно лабораторной инерциальной системы отсчета. Поскольку соударение шайбы соРис.
7.6стержнем является абсолютно упругим, ана систему тел «стержень + шайба» не действуют внешние силывдоль горизонтальной поверхности, то выполняются все три законасохранения: закон сохранения импульса, закон сохранения моментаимпульса и закон сохранения механической энергии. Выберем систему координат так, как показано на рис.
7.6. Ось, относительнокоторой будем рассматривать вращение, удобно взять проходящейчерез центр стержня перпендикулярно горизонтальной поверхности и направленной из плоскости чертежа.II. Запишем три закона сохранения для выбранной системытел для интервала времени до соударения – сразу после соударения.Закон сохранения проекции импульса на ось X выбраннойсистемы координат:mυ = mυ ′ + Mυ ′′ .(7.34)Закон сохранения момента импульса относительно выбранной оси:mυl = mυ ′l + J 0ω .(7.35)Закон сохранения механической энергии:mυ 2 mυ ′2 Mυ ′′2 J 0ω 2=++.(7.36)2222Здесь υ ′ , υ ′′ – проекции скоростей шайбы и центра стержня на осьX сразу после соударения (проекции скоростей на ось Y в этот момент времени равны нулю), ω – угловая скорость вращения стержня в тот же момент времени.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ244Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс, равен (6.43):1(7.37)J 0 = ML 2 .12В соответствии с принципом суперпозиции движений (см.(1.26) в Главе 1) скорость υ A точки А стержня складывается изскорости центра масс и скорости вращательного движения этойточки вокруг оси, проходящей через центр масс:Lυ A = υ ′′ − ω .(7.38)2III.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
