1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Главу 3)maцм = F ex ;(6.46)- уравнение моментов относительно оси n , проходящей через центр массdωJ 0, n= M 0,exn .(6.47)dt198МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗдесь m – масса тела, aцм – ускорение центра масс тела, F ex –сумма всех внешних сил, действующих на тело, J 0, n – моментинерции тела относительно оси, проходящей через центр масс иперпендикулярной плоскости движения, ω – угловая скоростьexвращения тела относительно этой оси, M 0,n– сумма моментоввнешних сил, действующих на тело, относительно той же оси.Вращательное движение абсолютно твердого телаВ случае вращательного движения абсолютно твердого телавокруг неподвижной относительно инерциальной системы отсчетаоси уравнением движения тела будет уравнение моментов дляэтого тела относительно данной оси, которое принимает вид:dωJn= M nex ,(6.48)dtгде J n – момент инерции тела относительно оси, ω – угловая ско-рость вращения тела, M nex – сумма моментов внешних сил, действующих на тело.Заметим, что при рассмотрении плоского движения абсолютно твердого тела в ряде случаев удобно записывать уравнение моментов (6.45) относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения.6.2.
Основные типы задач и методы их решения6.2.1. Классификация задач кинематики и динамикиабсолютно твердого телаБольшинство задач кинематики и динамики твердого теламожно условно отнести к следующим типам задач или их комбинациям.1. Кинематика абсолютно твердого тела:а) определение линейной скорости некоторой точки твердоготела,б) определение угловой скорости вращения для плоскогодвижения твердого тела,в) определение мгновенной оси вращения при плоском движении,Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела199г) определение угловой скорости вращения твердого тела присложном (не плоском) движении твердого тела.2.
Динамика абсолютно твердого тела:а) определение углового ускорения при плоском движениитвердого тела,б) определение ускорения центра масс твердого тела при одновременном вращательном и поступательном плоском движениитвердого тела,в) определение сил взаимодействия между твердыми теламипри их движении (силы трения, силы упругости).6.2.2. Общая схема решения задач кинематики и динамикиабсолютно твердого телаI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат, а также точку (ось), относительно которой будет рассматриваться вращение тела (из соображений удобства).3.
Изобразить и обозначить на чертеже все необходимые силы и кинематические характеристики системы.4. Выбрать модели тел (если это не сделано в условии задачи)и рассмотреть особенности их движения.5. Провести анализ действующих на тела системы сил и ихмоментов относительно выбранной точки (оси) вращения.II. Записать полную систему уравнений по отношению к искомым величинам.1. Записать уравнения движения для тел системы в выбранной системе отсчета.2. Записать уравнения моментов для тел системы относительно выбранных осей.3. Записать законы, описывающие индивидуальные свойствасил.4.
Записать моменты сил, действующих на тела системы.5. Записать моменты инерции тел относительно выбранныхосей вращения.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2006. Записать уравнения кинематической связи.7. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.Примечание.В задачах на кинематику движения абсолютно твердого телап. I.5 и пп. II.1 – II.5 можно опустить.6.3. Примеры решения задач6.3.1.
Кинематика абсолютно твердого телаЗадача 6.1Колесо радиусом R катится с проскальзыванием по горизонтальной поверхности. Модуль скорости верхней точки обода колеса А, лежащей на вертикальном диаметре, равен υ A . Модуль скорости точки обода колеса B, лежащей на горизонтальном диаметре,равен υ B = 5υ A . Определить угловую скорость вращения колеса ω ,скорость движения его центра υ 0 и положение мгновенной осивращения колеса M (рис. 6.5).AυAy0Oυ0 ByMMYωα0ωRυ0αυBXРис. 6.5Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела201РешениеI. Выберем лабораторную инерциальную систему отсчета,связанную с горизонтальной поверхностью. Направим оси X и Yдекартовой системы координат так, как показано на рис. 6.5.Плоское движение колеса в течение бесконечно малого интервала времени можно представить, как "чистый" поворот относительно мгновенной оси вращения, перпендикулярной плоскостидвижения и проходящей через точку пересечения прямых, перпендикулярных скоростям движения материальных точек колеса (см.п.
6.1. Теоретический материал). Поскольку при движении колесане происходит его отрыва от горизонтальной поверхности, то скорость нижней точки обода колеса, которая соприкасается с поверхностью, может быть направлена только вдоль поверхности. Следовательно, мгновенная ось вращения проходит через одну из точеквертикального диаметра колеса. В общем случае мгновенная осьвращения может находиться как выше, так и ниже поверхности, покоторой катится колесо.Пусть yМ – координата мгновенной оси вращения (см.рис.
6.5) в лабораторной системе отсчета. Для удобства решениязадачи введем вторую систему отсчета, движущуюся поступательно вместе с центром колеса со скоростью υ0 относительно лабораторной системы, с осями координат, параллельными осям лабораторной системы координат X и Y.II. При решении задачи воспользуемся формулой (6.2), связывающей скорости материальной точки в лабораторной и движущейся системах отсчета (см. п. 6.1. Теоретический материал). Вдвижущейся со скоростью υ0 системе отсчета модули скоростейточек обода колеса A и B одинаковы и равны ωR . Для модулейэтих скоростей относительно лабораторной системы отсчета можнозаписать (см.
рис. 6.5):υ A = υ 0 + ωR ,(6.49)υ B = υ0 2 + ω 2 R 2 .(6.50)Здесь и далее положительным значениям ω соответствует вращение колеса по часовой стрелке.Воспользуемся очевидными геометрическими соотношениями (см. рис. 6.5):МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ202ωR,(6.51)υ0Rtg α =,(6.52)R − yMгде α – угол между скоростью точки B и направлением движенияцентра колеса.III. Преобразуя систему уравнений (6.49) и (6.50) получаемуравнение относительно угловой скорости вращения колеса ω:υυ 2 −υ 2(6.53)ω2 −ω A + A 2 B = 0.tg α =R2RРешая полученное квадратное уравнение, получаем два значения угловой скорости:1υ22ω1, 2 = A ±2υ B − υ A .(6.54)2R 2RПо условию задачи υ B = 5υ A , следовательно:ω1 = 4υAи ω2 = −3υA.(6.55)RRСогласно (6.49) этим значениям угловой скорости вращенияколеса соответствуют два значения скорости центра колеса:υ01 = −3υ A и υ02 = 4υ A .(6.56)Используя (6.51) и (6.52) для координаты мгновенной осивращения получаем следующее выражение:yM = R −υ0.ω(6.57)Подставляя (6.55) и (6.56) в (6.57), получаем два значения координаты мгновенной оси вращения:77yM1 = R и yM2 = R .(6.58)43Итак, задача имеет два решения.1.
Скорость центра колеса направлена в отрицательном направлении оси X, вращение колеса происходит по часовой стрелке,мгновенная ось вращения расположена на вертикальном диаметрениже точки A, но выше центра колеса (см. рис. 6.6):7υυ01 = −3υ A , ω1 = 4 A , yM1 = R .4RГлава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела2032. Скорость центра колеса направлена в положительном направлении оси X, вращение колеса происходит против часовойстрелки, мгновенная ось вращения расположена выше точки A (см.рис.
6.7):7υυ02 = 4υ A , ω2 = −3 A , yM2 = R .3RAYωυAMυ0OBυ0υBωR0XРис. 6.6MYωυAAOωR υBυ0B0υ0XРис. 6.7Задача 6.2Конус, высота которого h = 4 см и радиус основания r = 3 см,катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания, имеянеподвижную вершину в точке O (рис. 6.8).Определить угловую скорость вращения конуса относительно лабораторной системы отсчета, связанной с поверхностью, есликонус делает один оборот вокруг оси OZ за время T = 3 с.МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ204ZOYhXСrA ωРис. 6.8РешениеI. В соответствии с условием задачи выберем лабораторнуюсистему отсчета, жестко связанную с горизонтальной поверхностью. При этом ось Z системы направим перпендикулярно поверхности, а начало отсчета совместим с неподвижной вершиной конуса O (см. рис. 6.8).В соответствии с принципом суперпозиции движений движение каждой материальной точки конуса (за исключением точек,лежащих на оси конуса OC) относительно выбранной лабораторной системы отсчета можно рассматривать как суперпозицию двухдвижений – вращение с угловой скоростью ω1 вокруг оси конусаOC и вращение с угловой скоростью ω2 вокруг оси Z.
Точки, лежащие на прямой OA соприкосновения конуса с поверхностью, вданный момент времени покоятся, так как нет проскальзывания.Эта прямая является мгновенной осью вращения, вокруг которойконус вращается с угловой скоростью ω = ω1 + ω2 .II. Материальная точка C в центреоснования конуса участвует только в од- Zном движении − вращении вокруг оси Z сRCрадиусом R (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
