1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Определить, какой угол ϑ ′ составляет скоростьчастицы с осью X' системы отсчета S'.c3 sin ϑОтвет: U ′ =8 + 8 cos ϑ − sin 2 ϑ , tg ϑ ′ =.4 + cos ϑ2(1 + cos ϑ )Задача 6Два космических корабля летят вдоль одной прямой в одномнаправлении со скоростями V1 > V2 . Со второго корабля вдогонкупервому посылается два электромагнитных импульса с интерваломвремени τ1 относительно лабораторной системы отсчета. С какиминтервалом времени τ2 относительно той же системы отсчета онивернутся назад после отражения от первого корабля?⎛ c + V1 ⎞⎛ c − V2 ⎞⎟⎟⎜⎜⎟⎟ .Ответ: τ 2 = τ 1 ⎜⎜⎝ c − V1 ⎠⎝ c + V2 ⎠Задача 7Два события совершаются на расстоянии l = 6⋅105 км друг отдруга с промежутком времени τ = 1 с относительно некоторой182МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧинерциальной системы отсчета. С какой скоростью V должен лететь космический корабль, чтобы в системе отсчета, связанной скораблем, эти события стали одновременными?c 2τ= 1,5 ⋅108 м/с .Ответ: V =lЗадача 8В системе отсчета S′, движущейся со скоростью c / 2 вдольоси X лабораторной системы отсчета S, движется тело небольшихразмеров со скоростью c / 2 под углом α′ к оси X'. Найти угол α,который составляет скорость тела с осью X в системе S.3 sin α ′Ответ: tg α =2 cos α ′ + 2Задача 9Две частицы с одинаковыми скоростями V движутся вдольодной прямой и попадают в мишень с интервалом времени τ всистеме отсчета, связанной с мишенью.
Найти расстояние l междулетящими частицами в системе отсчета, связанной с частицами.Vτ.Ответ: l =21 − (V / c )Задача 10Космический корабль удаляется от Земли, двигаясь сначаласо скоростью υ1 , потом со скоростью υ 2 . С точки зрения космонавта, находящегося на космическом корабле, время движения соскоростями υ1 и υ 2 одинаково. Какое расстояние L пролетит корабль, если время движения корабля по Земным часам равно Т?(Пренебречь временем, затраченным на изменение скорости корабля.)υ γ + υ 2γ 2T,Ответ: L = 1 1γ1 + γ 211и γ2 =.где γ 1 =221 − (υ1 / c )1 − (υ 2 / c )Глава 5. Кинематика в теории относительности183Задача 11На легкую неподвижную частицу налетает тяжелая плита.Определить скорость V, приобретенную частицей после упругогостолкновения с плитой, движущейся в направлении, перпендикулярном своей плоскости со скоростью υ = c 3 .2υ= 0,6c .Ответ: V =21 + (υ / c )184МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГЛАВА 6КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА АБСОЛЮТНОТВЕРДОГО ТЕЛА6.1. Теоретический материал6.1.1. Кинематика абсолютно твердого телаАбсолютно твердое тело – тело (система материальных точек), расстояния между двумя любыми материальными точкамикоторого можно считать постоянными в условиях данной задачи.Рассмотрим движение абсолютно твердого тела относительно лабораторной системы отсчета S. Для этого жестко свяжем систему отсчета S' с этим телом.
Таким образом, интересующее насабсолютно твердое тело выступает в качестве тела отсчета системыS'.Запишем формулы, связывающие кинематические характеристики некоторой материальной точки относительно двух произвольно движущихся относительно друг друга систем отсчета S и S'(см. Главу 4):r = R + r' ,(6.1)υ = V + [ωr' ] + υ' ,(6.2)&a = A + [ωr' ] + [ω[ωr' ]] + 2[ωυ' ] + a ' .(6.3)Здесь r (t ) , r ' (t ) − радиус-векторы, υ(t ) , υ′(t ) − скорости и a(t ) ,a′(t ) − ускорения некоторой материальной точки относительносистем отсчета S и S' соответственно; R(t ) , V (t ) и A(t ) – радиусвектор, скорость и ускорение начала системы отсчета S', котороеможет и не совпадать с материальной точкой рассматриваемогоабсолютно твердого тела; ω(t ) и ω& (t ) – угловая скорость и угловоеускорение системы S' (абсолютно твердого тела) вокруг оси вращения, проходящей через начало системы отсчета S' (рис.
6.1).Если некоторая материальная точка M (см. рис. 6.1) принадлежит абсолютно твердому телу (телу отсчета системы S'), то, поскольку υ′(t ) и a′(t ) , для этой точки:r = R + r' ,(6.4)υ = V + [ωr' ] ,(6.5)a = A + [ω& r' ] + [ω[ωr' ]] .(6.6)Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела185ωSS'rRMr'O'OРис. 6.1. Радиус-векторы произвольной материальной точки Mабсолютно твердого тела в лабораторной системе отсчета S и системе отсчета S', связанной с теломИз уравнения для скорости произвольной материальной точки абсолютно твердого тела (6.5) следует принцип суперпозициидвижений (материальных точек) абсолютно твердого тела.Принцип суперпозиции движений абсолютно твердоготела – любое перемещение абсолютно твердого тела (материальных точек этого тела) в пространстве можно представить как суперпозицию последовательно осуществляемых поступательногодвижения этого тела (параллельного переноса со скоростью V ) иповорота вокруг оси вращения (вращательного движения с угловойскоростью ω ).Поступательное движение абсолютно твердого тела – движение, при котором прямая, соединяющая любые две материальные точки тела, перемещается параллельно самой себе.
Для описания поступательного движения абсолютно твердого тела достаточно описать движение любой материальной точки этого тела.Произвольное движение абсолютно твердого тела (и жесткосвязанной с ней системы отсчета S') однозначно задается закономдвижения любой материальной точки тела (начало системы отсчетаS' совпадает с этой точкой тела) R(t ) и законом изменения угловойскорости вращения тела (системы отсчета S') относительно этойточки ω(t ) .Число степеней свободы механической системы – число независимых физических величин, так называемых обобщенных координат, однозначно определяющих положение тел системы впространстве.МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ186У абсолютно твердого тела шесть степеней свободы. Например, три координаты произвольной материальной точки тела, дваугла, задающих направление прямой, соединяющей две точки иугол поворота тела вокруг этой прямой.Плоское движение абсолютно твердого телаПлоское движение – движение тела, при котором траектории всех материальных точек тела лежат в параллельных плоскостях. В случае плоского движения абсолютно твердое тело имееттри степени свободы.Вращательное движение абсолютно твердого тела вокругнеподвижной оси – плоское движение, при котором материальныеточки тела двигаются по окружностям с центрами, лежащими наэтой оси, называемой осью вращения.
В этом случае абсолютнотвердое тело обладает одной степенью свободы.При плоском движении скорость υ(t ) и ускорение a (t ) материальной точки абсолютно твердого тела лежат все время в плоскости движения P этой точки (см. рис. 6.2).ωnSS'rMr'aυPO'OРис. 6.2. Кинематические характеристики материальной точки Мабсолютно твердого тела при его плоском движенииДействительно, пусть n − const – единичный вектор нормалик плоскости движения, тогда(nυ) = ⎛⎜ n dr ⎞⎟ = 0 , ∂(nυ) = (n& υ) + (nυ& ) = (na ) = 0 .(6.7)∂t⎝ dt ⎠Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела187Угловая скорость ω и угловое ускорение ω& абсолютнотвердого тела в случае плоского движения всегда перпендикулярныплоскости движения.Действительно, умножим обе части уравнения взаимосвязискоростей (6.5) скалярно на нормаль к плоскости движения. Так какрезультат будет справедлив при любых V (t ) и r ' (t ) , то:(nυ) = ({nV ) + (n[ωr ']) = 0 ,123=0=0n ⊥ V , n || ω и ω ⊥ V .(6.8)Умножим обе части уравнения взаимосвязи ускорений (6.6)скалярно на нормаль к плоскости движения.
Так как результат будет справедлив при любых A(t ) и r ' (t ) , то:(na ) = ({nA) + (n[ω& r ']) + (n[ω[ωr ']]) = 0 ,1243 14243=0=0= 0, n||ω(6.9)n ⊥ A и n || ω& .Покажем, что в случае плоского движения абсолютно твердого тела в любой момент времени найдется такой вектор r0′ , чтоυ = V + [ωr '] = [ωr0′ ] .(6.10)Действительно, преобразуя (6.10), получим:V + [ω, r '−r0′ ] = 0 , d ≡ r '−r0′ , [n,V + [ωd ]] = 0 .При этом будем искать такой вектор d , что d ⊥ n , тогда:(nd ) − d (nω) = [nV ] − d (nω) = 0 ,[nV ] + [n[ωd ]] = [nV ] + ω123d=[nV ] = [nV ] .(nω) ω=0(6.11)И, наконец, найдем радиус-вектор нового начала системы отсчета R0 , для которой будет выполняться соотношение (6.10):r = R + r ' = R0 + r0′ ,[nV ] .(6.12)R0 = R + r '− r0′ = R + d = R +ωИтак, плоское движение абсолютно твердого тела в течениебесконечно малого интервала времени можно представить, как"чистый" поворот относительно некоторой оси – мгновенной осивращения.МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ188На рис. 6.3 изображена векторная диаграмма скоростей материальных точек тела, лежащих в плоскости движения на однойпрямой, проходящей через мгновенную ось вращения.RiR2R1ωυ1υ2υiРис. 6.3. Векторная диаграмма скоростей материальных точекабсолютно твердого тела при его плоском движенииКак видно на рис. 6.4, в этом случае выполняется соотношение:ω=υ1=υ2=K=υi,(6.13)R1 R2Riгде υi – скорость материальной точки абсолютно твердого тела, аRi – расстояние от этой материальной точки до мгновенной осивращения.Мгновенная ось вращения – ось вращения, относительнокоторой в течение бесконечно малого интервала времени можнопредставить абсолютно твердого тела, как "чистый" поворот, т.е.представить скорость движения произвольной материальной точкитела в виде (6.10).В общем случае положение мгновенной оси вращения изменяется относительно абсолютно твердого тела в выбранной системы отсчета – радиус-вектор R0 , задающий положение мгновеннойоси, является функцией времени (см.
(6.12)).Мгновенная ось вращения всегда перпендикулярна плоскости движения и проходит через неподвижную в данный моментвремени материальную точку абсолютно твердого тела или точкупространства, которая жестко связана с этим абсолютно твердымтелом.Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела189Движение абсолютно твердого тела, закрепленного в точкеЕсли абсолютно твердое тело (тело отсчета системы S') закреплено в точке, покоящейся относительно системы S, то, совместив начала отсчета обеих систем ( R = 0 , V = 0 , A = 0 ), получим:r = R + r' ,(6.14)υ = [ωr' ] ,(6.15)a = [ω& r' ] + [ω[ωr' ]] .(6.16)Из уравнения (6.15) для скорости произвольной материальной точки абсолютно твердого тела, закрепленного в точке, следуеттеорема Эйлера.Теорема Эйлера – абсолютно твердое тело, закрепленное вточке, может быть переведено из одного положения в любое другоеодним поворотом вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления.
Причем это утверждение справедливо как для бесконечно малого, так и для конечного поворота. Однако результатдвух конечных поворотов зависит от их последовательности, в отличие от двух бесконечно малых поворотов.Если система отсчета S1 с общим началом с системой S вращается относительно нее с угловой скоростью Ω и абсолютнотвердое тело, закрепленное в начале отсчета этих систем, вращается с угловой скоростью ω1 относительно системы S1, то в соответствии с (6.5):υ =V(6.17){ + [Ωr '] + υ' = [Ωr '] + [ω1r '] = [Ω + ω1 , r '] = [ωr '] ,=0ω = Ω + ω1 .(6.18)Здесь υ − скорость материальной точки абсолютно твердого телаотносительно системы S, ω − угловая скорость вращения абсолютно твердого тела относительно той же системы.Как видим, угловая скорость ω вращения данного тела, закрепленного в точке относительно первой системы отсчета, будетравна сумме угловых скоростей второй системы отсчета ω1 и телаотносительно этой системы ω2 .Как и в случае плоского движения, движение абсолютнотвердого тела, закрепленного в точке, можно представить как "чистый" поворот вокруг мгновенной оси вращения.МЕХАНИКА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
