1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 26
Текст из файла (страница 26)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1906.1.2. Динамика абсолютно твердого телаМомент импульса L материальной точки относительнонекоторой точки пространства – векторное произведение радиусвектора r материальной точки относительно данной точки пространства на ее импульс p в заданной системе отсчета:L = [rp] .(6.19)Момент импульса L механической системы относительно точки – сумма моментов импульсов Li материальных точек,входящих в систему:L = ∑ Li .(6.20)iНайдем связь между моментом импульса механической системы L относительно произвольной неподвижной точки О и моментом импульса этой системы L0 относительно ее центра масс O'в лабораторной системе отсчета (см.
рис. 6.4).miriS'rцмSri 'O'OРис. 6.4. Связь между радиус-векторами материальной точки в лабораторной системеотсчета S и системе центра масс S'Радиус-вектор i-ой материальной точки ri относительно точки О равен:(6.21)ri = rцм + ri′ ,где rцм – радиус-вектор центра масс относительно точки О, ri′ –радиус-вектор материальной точки системы относительно ее центра масс.Момент импульса системы материальных точек относительно точки О в соответствии с (6.19) и (6.20) равен:Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела191dr ⎤⎡(6.22)L = ∑ ⎢ri , mi i ⎥ .dt ⎦i ⎣Преобразуем (6.22) с учетом (6.21):dr ⎤dr ⎤dr ⎤⎡⎡⎡L = ∑ ⎢rцм + ri′, mi i ⎥ = ∑ ⎢rцм , mi i ⎥ + ∑ ⎢ri′, mi i ⎥ =dt ⎦ i ⎣dt ⎦ i ⎣dt ⎦i ⎣= ∑ [rцм , pi ] + ∑ [ri′, pi ] = [rцм , pцм ] + L0 ≡ Lцм + L0 ,(6.23)iiгде pi – импульс i-ой материальной точки механической системы,pцм ≡ ∑ mi υi = ∑ pii– импульс центра масс этой системы,iL0 ≡ ∑ [ri′, pi ] – момент импульса механической системы относиiтельно центра масс O' и Lцм ≡ [rцм , pцм ] – момент импульса центрамасс механической системы относительно точки O, в лабораторнойсистеме отсчета.Введем поступательно движущуюся систему отсчета S', начало которой O' совпадает с центром масс механической системы иосями, ориентированными параллельно осям лабораторной системы отсчета (см.
рис. 6.4). В соответствии с принципом суперпозиции движений (см. п. 1.1 и формулу (1.26) в Главе 1) можно записать:(6.24)υi = υцм + υi′ ,В соответствии с (6.24) импульс i-ой материальной точки механической системы относительно лабораторной системы отсчетаравен:(6.25)pi = mi υцм + pi′ .Подставляя (6.25) в (6.23), получаем:L = [rцм , pцм ] + ∑ [ri′, pi ] = [rцм , pцм ] + ∑ [ri′, mi υцм ] + ∑ [ri′, p′] =iii⎡⎤= [rцм , pцм ] + ⎢∑ mi ri′, υцм ⎥ + ∑ [ri′, p′] .(6.26)⎣ i⎦ iВ соответствии с определением центра масс (см.
Главу 3)∑ mi ri′ = 0 , следовательно, выражение (6.26) для момента импульсаiМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ192механической системы относительно произвольной неподвижнойточки О принимает вид:L = [rцм , pцм ] + ∑ [ri′, p′] = [rцм , pцм ] + L0′ ,(6.27)iL0′ ≡ ∑ [ri′, p′] –момент импульса механической системы относиiтельно центра масс O' в системе отсчета S'.Таким образом, момент импульса механической системы относительно неподвижной точки в лабораторной системе отсчетаравен сумме момента импульса центра масс этой системы относительно данной точки и момента импульса механической системыотносительно ее центра масс. Заметим, что момент импульса механической системы относительно ее центра масс в лабораторнойсистеме отсчета и в системе центра масс одинаковы (ср.
(6.23) с(6.27)).Сформулированное утверждение справедливо для абсолютнотвердого тела, поскольку оно является механической системой.В случае вращения абсолютно твердого тела относительнонеподвижной точки скорость материальной точки и угловая скорость вращения тела связаны соотношением (6.15), следовательно,момент импульса относительно этой точки может быть представлен в виде:L = ∑ [ri , mi υi ] = ∑ mi [ri , [ωri ]] = ∑ mi ωri2 − ri (ri ω) =(ii()i)⎛⎜ ∑ mi ri2 − xi2− ∑ mi xi yi⎜ ii= ⎜ − ∑ mi yi xim∑ i ri2 − yi2⎜ii⎜−− ∑ mi zi yimzx⎜ ∑ i i iii⎝⎛ J xx J xy J xz ⎞⎛ ω x ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎜ J yx J yy J yz ⎟⎜ ω y ⎟ = Jω .⎟⎜ ⎟⎜⎝ J zx J zy J zz ⎠⎝ ω z ⎠()⎞− ∑ mi xi zi ⎟⎟⎛⎜ ω x ⎞⎟i− ∑ mi yi zi ⎟⎜ ω y ⎟ =⎟⎜ ⎟i22 ⎟⎝ ω z ⎠∑ mi ri − zi ⎟i⎠()(6.28)Глава 6.
Кинематика и динамика абсолютно твердого тела193Здесь ri – радиус-вектор i-ой материальной точки массой mi , υi –⎛ ωx ⎞⎜ ⎟ее скорость, ω = ⎜ ω y ⎟ – угловая скорость вращения тела и⎜ω ⎟⎝ z⎠⎛ J xx J xy J xz ⎞⎜⎟J = ⎜ J yx J yy J yz ⎟ – тензор инерции абсолютно твердого тела⎜⎟⎝ J zx J zy J zz ⎠относительно неподвижной точки.Диагональные элементы тензора J xx , J yy , J zz называются осевыми моментами инерции, а недиагональные J xy = J yx , J xz = J zx ,J yz = J zy – центробежными моментами инерции. Осевые моменты инерции в соответствии с определением являются моментамиинерции тела относительно соответствующих осей координат.Поскольку тензор инерции тела является симметричным тензором, он обладает главными осями инерции, при записи в которых диагонализуется:⎛ Jx 0 0 ⎞⎜⎟J = ⎜ 0 Jy 0 ⎟.(6.29)⎜0 0 J ⎟z⎠⎝В этом случае центробежные моменты инерции равны нулю,а осевые моменты инерции J x , J y и J z называются главнымимоментами инерции тела, при этом:Lα = J α ωα ,(6.30)где Lα и ωα – составляющие момента импульса L и угловой скорости ω вдоль главных осей инерции ( α = x, y, z ).Заметим, что в случае сферической симметрии абсолютнотвердого тела J x = J y = J z ≡ J и согласно (6.28) направления мо-мента импульса тела и его угловой скорости вращения совпадают:L = Jω = Jω .(6.31)Поскольку в системе центра масс S' абсолютно твердое теловращается с угловой скоростью ω , его момент импульса относительно центра масс равен:МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ194L = L′ = J 0ω .(6.32)Здесь J 0 – тензор инерции абсолютно твердого тела относительноего центра масс.Следовательно, выражение для момента импульса механической системы относительно неподвижной точки в лабораторнойсистеме отсчета равен:L = Lцм + J 0ω .(6.33)Момент импульса Ln механической системы относительно некоторой оси – проекция на эту ось момента импульса относительно произвольной точки, лежащей на данной оси:Ln = (nL ) ,(6.34)где n – единичный вектор, задающий направление оси.Найдем связь между моментом импульса тела Ln относительно некоторой оси в заданной системе отсчета и моментом импульса тела L0, n относительно оси, проходящей через центр масс ипараллельной заданной оси, в системе отсчета, связанной с центром масс.
Умножая скалярно на единичный вектор n левую иправую части соотношения L = Lцм + L0 , получаем:Ln = Lцм, n + L0, n ,(6.35)где Lцм, n – момент импульса центра масс тела относительно заданной оси в лабораторной системе отсчета.Точка приложения силы – материальная точка, на которуюдействует сила.Момент силы относительно точки M – векторное произведение радиус-вектора r точки приложения силы на силу F :M = [rF ] .(6.36)Момент силы относительно оси M n – проекция на эту осьмомента силы относительно произвольной точки, лежащей на данной оси:M n = (nM ) .(6.37)Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела195Равнодействующая силВ ряде случаев, когда несколько сил действует на абсолютнотвердое тело, их действие можно заменить действием одной равнодействующей силы.
Это возможно, поскольку движение абсолютнотвердого тела определяется в общем случае совокупностью двухуравнений – уравнением движения центра масс тела и уравнениеммоментов относительно некоторой точки, неподвижной относительно инерциальной системы отсчета.Понятие равнодействующей силы можно ввести только длясовокупности сил, действующих на абсолютно твердое тело, еслисумма этих сил не равна нулю и если существует точка пространства, относительно которой сумма моментов действующих на телосил равна нулю.Равнодействующая Fp совокупности сил {Fi } , действую-щих на абсолютно твердое тело, – сила, равная сумме этой совокупности сил Fp = ∑ Fi ; точка приложения равнодействующейiсилы совпадает с точкой, относительно которой сумма моментовэтих сил равна нулю.
Точка приложения равнодействующей силыне обязательно должна совпадать с одной из материальных точектела, на которое действует совокупность сил.Под силой инерции, действующей на произвольно движущееся абсолютно твердое тело, в дальнейшем понимается равнодействующая сил инерции для материальных точек этого тела(см. Главу 4) в неинерциальной системе отсчета, которая движетсяпоступательно относительно инерциальной системы отсчета.
Вэтом случае равнодействующая сил инерции приложена к центрумасс тела.Центр тяжести тела – точка приложения равнодействующейсил тяжести, действующих на материальные точки этого тела приего произвольной ориентации в однородном поле сил тяжести (например, вблизи земной поверхности). Центр тяжести тела определяется только распределением массы в этом теле и может не совпадать ни с одной из материальных точек данного тела.Уравнения движения абсолютно твердого тела – уравнение движения центра масс (см.
Главу 3) и уравнение моментов дляэтого тела относительно инерциальной системы отсчета.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ196Уравнение моментов (закон изменения момента импульса) для механической системы относительно точки – скоростьизменения момента импульса системы L относительно данной точки в инерциальной системе отсчета равна сумме моментов внешних сил M ex , действующих на систему:dL= M ex ,(6.38)dtгде M ex = ∑ M iex = ∑ ri Fi ex .[i]iУравнение моментов (закон изменения момента импульса) для механической системы относительно неподвижной оси– скорость изменения момента импульса системы Ln относительноданной оси в инерциальной системе отсчета равна сумме моментоввнешних сил M nex , действующих на систему:dLn= M nex .(6.39)dtМомент инерции тела относительно оси – физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек, изкоторых состоит тело, на квадрат расстояния их до оси:J = ∑ mi ri2 .(6.40)iВ случае непрерывного распределения в пространстве массытела, расчет момента инерции тела сводится к вычислению интеграла:J = ∫ r 2 dm = ∫ r 2 ρdV ,(6.41)Vгде r – расстояние от элемента тела объемом dV и массой dm , ρ– плотность тела.Теорема Гюйгенса − Штейнера – момент инерции тела Jотносительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела J 0 относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:J = J 0 + ma 2 .(6.42)Глава 6.
Кинематика и динамика абсолютно твердого тела197Вычислим моменты инерции однородных тонкого стержня,цилиндра и шара относительно осей, проходящих через их центрымасс.Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню, в соответствиис (6.41) равен:l/2J ст =∫x2− l/2ml 2mdx =,12l(6.43)где m − масса стержня, l − его длина, x − декартова координата материальной точки стержня с началом отсчета в центре стержня.Момент инерции однородного цилиндра (диска) относительно его оси в соответствии с (6.41) равен:L/2 R 2πJц =∫∫2∫ r ρrdϕdrdz =− L/2 0 0mR 2,2(6.44)где m, R и L − масса, радиус и длина цилиндра, r и z − цилиндрические координаты материальной точки цилиндра.Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр, в соответствии с (6.41) равен:π R 2πJш = ∫ ∫2∫ (r sin ϑ ) ρr sinϑdϕdrdϑ = 5 mR222,(6.45)0 0 0где m и R − масса и радиус шара, r, ϕ и ϑ − сферические координаты материальной точки шара.Плоское движение абсолютно твердого телаЕсли в качестве оси вращения выбрать ось n , проходящуючерез центр масс абсолютно твердого тела, то его уравнениямидвижения будут:- уравнение движения центра масс (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
