1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 31
Текст из файла (страница 31)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ228Задача 6Тонкостенный цилиндр массой m скатывается без проскальзывания по наклонной поверхности клина с углом при основанииα (см. рис.).αНайти ускорение a оси цилиндра и силу трения, действующая на него со стороны наклонной поверхности клина.11Ответ: a = g sin α , Fтр = mg sin α .22Задача 7Оси тонкостенного и сплошного цилиндров соединены невесомым стержнем. Цилиндры скатываются без проскальзывания понаклонной поверхности клина с углом при основании α (см. рис.).αРадиусы цилиндров одинаковы, масса каждого цилиндра m.Определить силу F реакции стержня.mg sin α.Ответ: F =7Задача 8Сплошному однородному цилиндру массой m и радиусом Rсообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью ω .
Затемположили его боковой поверхностью на горизонтальную плоскостьи предоставили самому себе. На какое расстояние переместитсяцилиндр за время, в течение которого движение цилиндра проис-Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела229ходило со скольжением. Коэффициент трения между поверхностьюи цилиндром равен μ .Ответ: Δx =ω 2R2.18μgЗадача 9Два тела массами m1 и m2 соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через однородный блок массой m (см.рис.).m1mm2Коэффициент трения между первым телом и горизонтальнойповерхностью равен μ .
В процессе движения тел не происходитпроскальзывания нити по поверхности блока. Найти ускорениевторого тела, пренебрегая трением в оси блока.m2 − μm1, при m2 > μm1 ;Ответ: a = gmm1 + m2 +2a = 0 , при m2 ≤ μm1 .Задача 10Однородный сплошной цилиндр массой Mможет свободно вращаться вокруг своей неподвижной горизонтальной оси (см. рис.).
На цилиндр намотана тонкая нить длиной L и массойm. Найти ускорение a свешивающейся частинити в зависимости от ее длины x.2mgx.Ответ: a =ML + 2m( L − x)x230МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 11Система тел, состоящая из груза и двуходинаковых блоков, изображена на рисунке.Ось левого блока закреплена, а правый блоксвободно лежит на нити. При движении телсистемы не происходит проскальзывания нити относительно поверхностей блоков. Считая заданными массу груза m, массы блоковM и их радиусы R, определить ускорение груза a. Трением в оси блока пренебречь.m+MОтвет: a =g.7m+ M2MMmГлава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии231ГЛАВА 7ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ИМЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ГИРОСКОПЫ.ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ7.1.
Теоретический материалЗакон сохранения момента импульса (количества движения) механической системы относительно точки1 – момент импульса механической системы L относительно инерциальной системы отсчета сохраняется, если сумма моментов внешних сил M exотносительно данной точки равна нулю:dL= M ex = 0 или dL = 0 .(7.1)dtЗакон сохранения момента импульса (количества движения) механической системы относительно оси – момент импульса механической системы Ln относительно инерциальной системыотсчета сохраняется, если сумма моментов внешних сил M nex относительно данной оси равна нулю:dLn= M nex = 0dtилиdLn = 0 .(7.2)Для конечного интервала времени законы сохранения моментов импульса механической системы относительно точки и оси всоответствии с (7.1) и (7.2) можно записать в виде:ΔL ≡ L(t2 ) − L(t1 ) = 0 или L(t1 ) = L(t2 ) ,(7.3)ΔLn ≡ Ln (t2 ) − Ln (t1 ) = 0 или Ln (t1 ) = Ln (t2 ) .(7.4)Законы сохранения моментов импульса относительно точкии оси являются прямым следствием законов их изменений (см.(6.38) и (6.39) в п.
6.1 Теоретический материал в Главе 6).1Определения момента импульса (количества движения) механической системы и момента силы относительно точки (оси), а также формулировка закона изменения момента импульса (уравнения моментов)относительно точки (оси) даны в п. 6.1 Теоретический материал в Главе 6.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ232Кинетическая энергия абсолютно твердого тела2 в случаеего произвольного движения равна:211E k = ∑ mi υi2 = ∑ mi (V + [ωri′]) =2 i2 i()=12mi V 2 + 2V ⋅ [ωri′] + [ωri′] =∑2 i=11′ ] + ∑ mi [ωri′]2 .mV 2 + mV ⋅ [ωrцм22 i(7.5)Здесь mi и υi – массы и скорости материальных точек, из которыхсостоит абсолютно твердое тело, V – скорость начала системы отсчета S', жестко связанной с телом, ω – угловая скорость системыS', ri′ – радиус-векторы материальных точек тела относительно′ – радиус-вектор центра масс (см.
Главу 3) тела отсистемы S', rцмносительно системы S'.Если начало отсчета системы S', связанной с абсолютнотвердым телом, совпадает с центром масс тела, то его кинетическаяэнергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центрмасс:1 2 12E k = mυцм(7.6)+ ∑ mi [ωri′] ,22 iгде υцм – скорость центра масс тела.Кинетическая энергия вращающегося тела вокруг неподвижной оси:1E k = Jω 2 ,(7.7)2где J – момент инерции тела относительно оси вращения, ω – угловая скорость вращения тела.2Определение кинетической энергии механической системы даны вп. 3.1 Теоретический материал в Главе 3, а определение абсолютно твердого тела в п.
6.1 Теоретический материал в Главе 6.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии233Работа внешних сил при повороте тела вокруг оси:ϕ2δA = M n dϕ , A12 = ∫ M n dϕ ,(7.8)ϕ1где Mn – момент сил относительно оси (см. п. 6.1 Теоретическийматериал в Главе 6), ϕ1 и ϕ2 – начальное и конечное значения углаповорота.Кинетическая энергия абсолютно твердого тела в случаеего плоского движения:11′ ] + Jω 2 .E k = mV 2 + mV ⋅ [ωrцм(7.9)22Здесь смысл обозначений физических величин тот же, что и в (7.5)и (7.7).Если начало отсчета системы S', связанной с абсолютнотвердым телом, находится в центре масс тела, то его кинетическаяэнергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центрмасс, и в случае плоского движения равна (теорема Кенига):112E k = mυцм+ J цмω 2 ,(7.10)22где υцм – скорость центра масс тела, J цм – момент инерции телаотносительно оси вращения, проходящей через его центр масс.Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, записанная через момент инерции тела J n относительно мгновенной осивращения3:1E k = J nω 2 .(7.11)2Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, закрепленного в точке:211E k ≡ ∑ mi υi2 = ∑ mi [ωri ] ,(7.12)2 i2 i3Определениемгновеннойосип.
6.1 Теоретический материал в Главе 6.вращениядановМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ234где ri – радиус-векторы материальных точек, из которых состоиттело, относительно закрепленной точки этого тела. Если восполь22зоваться математическим соотношением [ab] = a 2 b 2 − (ab ) , то:2112E k = ∑ mi [ωri ] = ∑ mi ω 2 ri2 − (ωri ) =2 i2 i()2⎛⎞1⎜ ω 2 r 2 − ⎛⎜ ω x ⎞⎟ ⎟ =m∑∑α iα ⎟ ⎟i⎜∑ α i⎜2 i⎝α⎠ ⎠⎝α⎛⎛⎞⎞1= ∑ mi ⎜ ⎜ ∑ δ αβ ωα ω β ⎟ri2 − ∑ ωα xiα ω β xiβ ⎟ =⎟⎜ ⎜ α ,β⎟2 iα ,β⎠⎝⎝⎠⎫1 ⎧1= ∑ ⎨∑ mi δ αβ ri2 − xiα xiβ ⎬ωα ωβ = ∑ J αβ ωα ωβ ,2 α ,β ⎩ i2 α ,β⎭=(Ek =1∑ Jαβ ωα ωβ .2 α ,β(Здесь J αβ = ∑ mi δαβ ri2 − xiα xiβ)(7.13))– тензор инерции тела, характе-iризующий распределение массы тела относительно точки; δαβ –символ Кронекера.Кинетическая энергия абсолютно твердого тела закрепленного на оси:1E k = J nω 2 ,(7.14)2где J n – момент инерции тела относительно оси.В данной главе рассматриваются системы, состоящие из совокупности абсолютно твердых тел и материальных точек. Этисистемы являются частными случаями механической системы, длякоторой в Главе 3 сформулированы законы изменения и сохранения механической энергии.Закон изменения механической энергии системы – изменение механической энергии системы равно работе внутреннихГлава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии235Fi np,in и внешних Fi np,ex непотенциальных сил4:()dE = − δAnp,in + δAnp, ex = δAnp ,(7.15)или для конечного интервала времениΔE = ΔAnp .(7.16)Закон сохранения механической энергии системы – еслиработа всех непотенциальных сил равна нулю, то механическаяэнергия системы относительно инерциальной системы отсчета сохраняется:ΔE ≡ E (t2 ) − E (t1 ) = 0илиE (t1 ) = E (t2 ) .(7.17)ГироскопыГироскоп – это аксиально-симметричное тело, вращающеесяс большой угловой скоростью ω вокруг своей оси симметрии (см.рис.
7.1).ΩdtLωΩOϑdLMmgРис. 7.1. Гироскоп в поле сил тяжестиПрецессия гироскопа – вращение оси симметрии гироскопас угловой скоростью Ω под действием момента внешних сил наряду с его собственным вращением вокруг оси симметрии (см.рис. 7.1).4Определение механической энергии системы, внутренних ивнешних непотенциальных сил даны в п. 3.1 Теоретический материал вГлаве 3.236МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОсновные физические допущения элементарной теории гироскопа:- угловая скорость вращения гироскопа и его момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа;- величина угловой скорости вращения гироскопа вокругсвоей оси ω гораздо больше величины угловой скорости прецессии Ω .В рамках принятых допущений момент импульса гироскопаL равенL = J zω ,(7.18)а уравнение моментов (6.38) относительно его неподвижной точкиO (см.
рис. 7.1) имеет вид:dL=M,(7.19)dtгде Jz – момент инерции гироскопа относительно своей оси симметрии, M – сумма моментов внешних сил (в том числе силы тяжести), действующих на гироскоп.В соответствии с (7.19) ось гироскопа вместе с моментом Lпрецессирует вокруг вертикального направления с угловой скоростью Ω .На рис. 7.1 видно, что:dL = L sin ϑ ⋅ Ωdt ,(7.20)dL = [ΩL]dt .(7.21)Следовательно, прецессия гироскопа описывается уравнением:dL= [ΩL] .(7.22)dtС учетом уравнения моментов (7.19) для гироскопа получим:M = [ΩL] = J z [Ωω] .(7.23)Заметим, что момент импульса определяет угловую скорость,а не ускорение прецессии, т.е. прецессионное движение являетсябезинерционным!Гироскопические силы – силы, действующие на крепление(рамку, подшипник, руки экспериментатора и т.д.) несвободногогироскопа при вынужденном вращении оси (вынужденной прецессии) гироскопа.Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии237В соответствии с третьим законом Ньютона на креплениедействует момент гироскопических сил:M г = − M = −[ΩL] = − J z [Ωω] .(7.24)Правило Н.Е. Жуковского – гироскопические силы стремятся совместить момент импульса гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота.7.2. Основные типы задач и методы их решения7.2.1.
Классификация задачБольшинство задач, относящихся к теме "Законы сохранениямомента импульса и механической энергии. Гироскопы. Гироскопические силы" можно условно отнести к следующим типам задачили их комбинациям. Задачи на1) законы сохранения момента импульса и механическойэнергии системы (в том числе включающей в себя абсолютно твердые тела),2) гироскопы и гироскопические силы.7.2.2. Общая схема решения задачI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
