1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда получим: Ь = а ~ г ()))1 — ~ (аг)г(!гп. (41.17) В д(',к'ц)тОВОЙ системе координат, ж(к:тко связвпной с телОм, векторы а и г выразим через орты 1, 4, 14 к(л)рдннатпых осей: о) = о)„)+ а„4+ о).1с, (41.18) г = х)+ У1 + Лс, (41.19) и с помощью (41.18) н (41.19) преобразуем комбш(ации, которые входят в формулу (41.17): г =х+у +в, (41.20) Ли = в., ) (х + у + в ) (1т — ~ (вих+ в„у+ а,в) х(1)п = =вг ~ (у +в )(1)а+а ~ ( — дх)(1гг)+(ое ~ ( — вх)(1)п = = Тгио)е + 1ичву + Теев„(41.22) Лналогично, все (ва! асмыс в (41.17). содержащие в качестве общего множителя вектор 1, определяют проекцию вектора Ь на ось д: Аи = (од ~ (х + д + в ) ((гп — )' ((о,х+ вид + в,в) у(1)г) = =о), ~ ( — хд)(1)г),+в ~ (х +в )(1тг(.+(о [ ( — дв)(1п) =. = Ти в, +7( в, +Тига,, (41.23) (аг) г = ((о,:г + (оду + вес) х1 + (со х + (о„у + вес) у4+ + ((о х + (о, д + сое а) Лс.
(41.21) Подставим (41.20) и (41.21) в (41.17) и раскроем скобки. Сгруппировав все (вагаемые, которые содержат в качестве обще! О множите)!я вектОр 1, найдем про(!кцию на Ось х момента импульса Ь: 170 Д!?вал!ива твердили !вела ~ ГЛ!. 1?л Ана.|огично, все 1' !агаемые в (41.17), содержащие в качестве общего множителя вектор 1?, определяют проекцию вектора Ь на ось и: Ьа = о?а )? (х + у + и ) ?)гг! — )' ??Вух+ !в, у+ В?.г) гг)ка = = О?а ~ ( — ХВ) ?ЬГ! + В?и ~ ( — Ух) Г)1!! + В?, ~ (Х + У ) СЬН, = = 1,,!в„+ 7у,!о,! + 1„?ву.
(41.21) олесь )аа, 7д, ?аа осевые, ?,у|1 — — 7||у, 7уа = 1уа. 1уа = 7у?1 . центробежные моменты инерции твердого тела (комНОн!|н! ы т(|нзора инерции). Из (41.22). (41.24) видно, что компоненты Ау, Ьи, Аа вектора мок|сита импульса тела являются лнн| иными однородными функциями комноне!и еэ„!о,.
!о в|ктора угловой скорости. Связ|, межд1 моментом иа!ц!с!ьс!1 Ь те;|а и его у|левой скоростью Оэ можно 'Зацисать в ИОм1?антиох! Видех Х,„„1.,„ Ь = 1?., 1?„ 1„, В? = лу?В. (41.25) где Х вЂ”. ?1атрица тшг|ора инерции. те:1В Формулы (41.22) — (41.24) и (41.25) подразумевают, что в общем случае вращения твердого тела вокруг произвольной оси наврав:и|ния векторов Ь и в? !н" совпадают. Если оси декартовой системы координат являются |лавными осями тела, центробежные моменты инерции равны нулю ?'Е! = 7уа = 7ч, = 0), и формулы (41.22) (41.24) упрощ?потея: Бу = 1„,О!а Ьл!|1 — — 7ууе?у, Ьа = 1,.Е!а. (41. 26) Пу< ть тело вращается вокруг одной нз 1-лавных осей.
например, вокруг оси х. Тог,?а, вектор угловой скор|к'.тц в? сонаправлен с осью х, !В| = !а. = О, .и из ?41.26) слег!уст: (41. 27) Ьа '= 7|уыа = 7аув! Ьу = Ь! = 6. Связь (11.27) между 1 и В? можно за|ни|ать в векторной форме; 1 =- 7аав?. (41.28) Выра?кение (41.28) показывает, что е!Ин? твердое тело вращается вокруг одной и:з своих главных осей, направления векторов момента цмнульса Ь и угловой скорости гв тела совцадают (ср.
со свойством гироскопа, выраженным равенством (38.1)). 171 Тениор инерции Задачи 4.1. Однородный цилиндр массы ЛХ и радиуса Л вралцается без трения вокруг горизонтальной оси под действием груза весом Р, прикрепленного к намотанный на цилиндр легкой нити (ре)с. 4.1). Наегги завигимость от времени угла, лр поворота цилиндра, если п1п1 1 = 0 лр = О. 4.2. К КОНцу ВЕРЕВКИ, НВМОтаННОй На цн- 111 линдр и переброшенной через блок, прива:зан груз массы ЛХ (рис. 4.2). Найти знеиления коэф- фИЦНЕЕЕТВ Т1ЬЕНИЕЕ йл ПРП КОТОРЫХ КВЧСПЕП; цилиндра по горизон)альной поверхности будет р происходить без скольжения и со скольжением.
Определит) ускорение груза в этих условиях. Ъйе)осой Веревки„едока и трением В Оси едока Рллс. 4.1 пренейре и . 4.3. На покоящемся однородном горизонтальном диске массы М и радиуса Л находится человек массы 111, Диск может вращаться без трения вокруг вертикальной осил проходящей через его центр. Н некоторый момент человек начал двигаться по окружности радиуса гл концентрической диску, го скоростью Ъ' относепельно диска. С какой угловой скоростью а) будет Вращаться диск? 4.4. 1онкий обруч радиу- са г скатился без скольжения е1а горизое1та)1ьпую плоскую ВОВе!рхе10сть с горки ВысОты гп' (рис. 4А). Пренебрегая потерямн на трение, найти скорости и рис. 4.4 17'2 Дииилгики п)иердиги )пели ~ГЛ 1И уг корения точек А и В .-.
копцов горизонтального диаметра обруча. 4.5. Вращающийся с угловой скоростью Еов сплошнеи1 одпо- 1)о;шый цилиндр массы Еи) поставилн боковой поверхностью на длинную доску массы шзг лежащую на гладкой горизонтальной плоской поверхности. В вачальнын момент времени скорость оси цплин„ц)а и скорость доски равны нулю. Пренебрегая трением качения, е10 у 1итывая ТЕ)е)1ек! скольж1'.И1!я между доской и цилиндром. найти угловую скорость вращения цилиндра после того, как его движение перейдет в чистое ЕОПП'НИЕ.
4.6. Симметри шый волчок массы ш, ось сиыыет1)ии кон)1)е)ге) наклонена пол углом а к вертикали, совершает прецесси)о под действием силы тяжести. Расстояние между неподвижной точкой Рне. 4.6 опоры О волчка и его центром мает: рав- ПО И. ОП1)ЕДЕЛнтвг ПОД каким ) ГЛОМ Р К ВЕР)тниг)ЛП Нац1)аВЛЕНа сила, с которой волчок действует на горизонтальную плоскость опоры. Момент инерции волчка относительно собственной оси симметрии 1)авен 2. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ й 42. Гармонические колебания. Колебания тела под действием упругой силы Физические процессы, которые характеризуются той или иной степенью повторяемости, называются колебашельнььми процессам«.
В зависимости от природы повторяющегося п1юцссса разливают механи инские, элект1>ические. э:и;ктромагнитпгяе колебания и т.д. Качания маятника часов, движение струны музыкального инструмента, изменение напряжения па обкладках конденсатора в электрической цепи — все это примеры колебательных процессов. Колсбательные процессы лежат в самой основе различных отраслей техники, например, радиоэлектроники. оптики, вычислительной техники и т.д. Колебания широко распространены, но пе всегда они цршюсят пользу, Так, колебания моста, возннкакпцие из-за толчков колес передвигающихся по нему автомобилей, вибрация корпуса корабля, вызванная вращением гребного винта„или вибрапня крыльев самолета, связанная с работой двигателей и взаимодействием с воздушным потоком могут привести к разрушительным последствиям. В подобных случаях задача состоит в том, 4тобы предотвратить возникновение колебаний илн воспрепятствовать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров.
Кинематика и динамика гармонических колебаний. Простсйпптм типо~ колебательного движения являются га1~~оническнс колебания - движение, при котором колеблкнцаяся величина (например, угол отклонения нити маятника ог вертикали или координата прикрепленного к пружине груза) изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Гармоническим килебанмлыгы,м двпаюениг и (гармоничссктьм колебанием) называется движение, при котором координата тела (материальной точки) изменяется по закону: ,~: =,4соя(ыо1+а), (42.1) гле А, ые н и постоянные величины.
174 Механических колсбаиил ~гл. ' Т= —. Оха Величина Т называется периодам колебания. '1испютов колебания и называется число колебаний в единицу времени: 1 т' где Т -- период колебания. Е;1инипа частоты -- герц (Гц); 1 герц зто частота колебания, период которого равен 1 с. При гармонических когибаниях скорость тела (в проскпии на ось л) равна: Й. б к~ Рк — — — — Асзо сов ~ охоб+ а + — ) . Ф 2 (42.2) При изучении колебаний, имея дело„как правило, с одномерным движением, проекции на направление движения скорости.
УскоРениЯ и силы (Рк, ак, 1х) бУдем называть скоРостькк Ускорением, си.лой. Колебания скорогси происходят по гармоническому закону и опережакхт по фазе колебания координаты на к/2. Амплитуда скорости равна Асов. Прн гармонических колебаниях ускорение тела (в проекции на ось:г) равно: а, = " = — сзс~Асов1схсб+ а) = сз~~Асоз(сзс1+а+л). (42.3) 41 Колебания ускорения опережают по фазе колебания координаты тела на к, амплитуда ускорения равна Аохс. Ускорение ак Здесь А в.мплипхйда колебания. сзс циклическая чистота, с>с1+ а фаза колсбвипл, а качпльпал фаза.
Единица циклической частоты обратная секунда (с 1). Поскольку наибольшее значение косинуса равно единице, в (42.1) наиболыпсс по модулю значение координаты т тела равно А. Отскц1а н название А амплитуда колебания. Амплитуда прсдсттихляет собой величину наибольшего отклонения тела от положения равновесия. По определению амплитуда А положительна.
В момент времени 1 = О координата тела равна: :гс = -4 сввп Следовательно, па сальная фаза а определяет положение тела в начальный момент времени. Гармоническая функция (42.1) является периодической с периодом Т, равным: 175 Гит нонилеекие ко>ееее>вин может быть выражсно через координату х тела: е>те =- — с>сх. (42А) Силу, дсйствующук> на тело при гармони <вских колебаниях„ можно опрсдслить по второму закону Ньютона через ускорспис (42А) 1' = пгое =- — пповх. (42.5) 11ак видно из (42.5), для гого чтобы тело совсршало гармопичсскис колебания, действующая па него сила Р должна быть пропорциональна всличинс смсщсния х и паправлсна в сторону, противоположную смсщснию. Примсром подобной силы служит упругая сила пружины, которая пропорпнональна вслнчнпс дсформации х и направлена так, лто пружина стрсмиться принять нормальную длину: гдс >е жссткость пружины.
Из (42.5) слсдуст, что уравнснпс движсння тела, совсршакь >ного гармоничсскис колебания, имеет вид гпа =Г,, >пеа> = — >во>от,. 2 Будем обозначать пронзводпук> по времени точкой над днффсрснцирусмой величиной. вторую производную двумя гоче1 х камн. Тогда ускорспис тела а...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
