1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 34
Текст из файла (страница 34)
' пружины и сила сопротивления среды, которая в простейшем случае пропорциональна модулю скорости тела и направлена противопОложно скорости: и сппр— где Ь кооффтитттстнт ситтротавленпя среды. Уравнение движения гела в прстекции на ось:г, параллельнуто оси пружины, имеет д л'уп[> и + л' сопр л ° пт,х = — осх — Ьх. где Р,„прх — — — Ьх — проекции на ось х силы сопротивления, х, т скорость и ускорение гела соответственно. Уравнение движения можно преобразовать к виду Ь, ал х+ — х+ — х=О, сп тп или х+ 2)3х+ евах = О, (44.1) где введены обозначения )3 =- ЦЪ11 коэффицпенпт затухании, свв =, тос7111 — собственная частота системы. Уравнение (44.1) называется урттстттеттем затпухитотттттх колебаний.
Используя методы решения дифференциальных уравнений мспкно пока1ать, что в зависимости от соотнслпения между вели- чинами 13 и евв сущесгвукн три типа решений уравнения (44.1). Рассмотрим эти случаи. Затухающие колебания. Если )3 ( о1в, решение уравнения (44.1) , . " в д х(т) = А(1) сов (сву + а). (44.2) ГД11 (44.3) (44Л) Функция А(1). заданная выражением (41.3), называется ампллиптудотл зтлтухатслцттх колебаний, числовой козффипиент Ав начальной стлстртгаптудоттб В спели тве оттармонических колебаний, амплитуда затухаютпих колебаний зависит от времени уменьшается с течением времени по зкспоненциальному закону.
Выражение (44.4) определяет 1111кттческуто чпстотпу заптухатотттх коитебпнттл1 1о, которая не совпадает с циклической частотой све гармонических колебаний (собственной тастотой механической системы). Затула)есзсле )со))еби!)и)) Несмозря зга то, зто с))ункпня (44.2) пс: явзясссзя периодической, вводится понятие" !)е)плод!! потухаю!а)лх колебаиисл: о),е — ~) (44.5) х=А с со!реле-си) о с сс График зависимости (44.2) координаты тела от времени при:загуха)оп!их колебаниях представ.сен на рис. 129. На рис. 130 для сравнения представлен график )анис имости от времени координаты тела, совершак)щего гармонические колебания.
Скорость тела при затухакццих колебаниях раззна 1;. = х = Аое '( — /Зс)ов(со1+и) — сояп(сор+ а)) = ,— ))! = Аое ()! сое+Ф сов (о)! +а) вш (о)с+ и) = !)'со!+)1 ,-ф = 4ое соо (сов срсоя (со1+ и) — япсрвш (соХ+ а)1 = = .4ое с)ссоо сов (со! + а + сР), где введен вспо)цнательный угол и, для которого сов ср —, яп ср =, Фпср = — †. Поскольку сов ср ( О, а вшср ) О,:значение ср:закзцочено в пределах от л/2 до л. Следовательно, при наличии затухания скорость тела )уе опережает по фазе смещение х более с = Асое (ен е-и) чем на л)2 (при гармонических колебаниях опережение составляет ровно л))2).
о Слабое затухание. Зависзихсосгь (44.3) ампли)уды затухакнцих колебанизс от в)нсме)п! хппкпс) пс!лучить пуз!)'! Строго!'О Рис. !30 1н)пи)ния дис))фсзрс)нциал!— ного уравнения (44.1). Покажем, как можно приближенно опреде'ппь вид функпии А(1), истсользуя физические соображения. Махани веонно колебания ~гл. и — = — — Е„= — 4(1Е,. Ф т (44.8) Рассмотрим случай слабого згппйхинив. Будем с ппать, что среда оказывает слабое сопро гивление движения~ тела, так что потеря энергии .гела за период колсбщшя Т мала: ) Хост/ (14.6) Е Здесь .Е полная механичгская энергия тела; ЬЕт прирахпение энергии тела за период Т, ЬЕт = Е(1+ Т) — Е(Х) < 0; ~ЬЕт~ величина эне1»ии, которую тело теряет за период колебания Т. Ниже покажем, что условие слабого зщпйхаипя (44.6) эквивалентно следучощемт соотнопюник) меж„ц коэффиииентом затухания р и собственной частотой системы аов.
Р « гоо. (4 1.7) Если затухание слабое, го движение тела можно приблизител~ но рассматривать как гармоническое колоб«шва х =- Асов(г«1 + сс). Отличия затухающих колебаний от гармонического движения состоит в тоти что из-за потерь механической энергии амплитуда А не является «ос гоянной величиной. Будем искать репи,ние уравнения затуха«1щих колебаний (44.1) в виде х = А(1) сов (шЬ, + а) „ где А(1) зависящая от времени амплитуда. В рассматриваемом примере на движущееся в вязкой среде тело дейс гвук~т две силы; консервативная сила упругости пружины и сила сопротивления среды, которая приводит к превращении~ мсхани и'.ской энергии в геплоту (диссипапии энергии). Согласно закону изменения энергии (см.
~ 28) работа силы сопротивления (стороагней силы) 1оавна «1»1ра1«ения~ пол«ой механической энергии тела. Применим этот закон к элементарной рабои: 8Аооп„силы сопротивления и элементарному прираще пию оХЕ полной мех«ни щекой энергии тепаи о)Е = бйоопя = ~'попре)г = — 6 ~'г)г = — (~'~' — о)1 = зг багз,41= ' " г)1= ' Е,сй, т 2 т В пропессе преобразований скорость тела Ъ' была предсппзлена в виде производной по времени радиуса-вектора г гела (~г = дг/Ю) и введена кинетическая энергия Е, = шУ~/2. Из полученного выражеш1я найдем производную по времени полной механической энергии тела и выразим ес через коэффиииент затухания 8: 191 За!икки!ащие колебании В условиях слабого затухания, когда энергия системы изменяетсл медленно и потеря энергии ~ЬЕт~ за один перно;! колебания являет!ся >!алой в<!личищпа, производп1!о ЙЕ/~И хп!жно приближенно заменить отношением конечного приращения энергии ЬЕт к промежутку врет! нп Т, в течение которого это прпра!цение произоп!Ло: (44.9) !де Т период колебаний.
ЬЕт С другой стороны, отношение — ' представляет сюбой! сред- Т нее за период колебания Т значение производной !ХЕ!!!41: е+т ЛЕ ~, ! /' Ж ~ Е1! -ь Т) — Е1!) ~Ет (44 10) ( — '!= — ! — Ф= ' ' = . 44.10 и! / Т т е!! Т Т Из 144.9) и 144.10) получим — ( — ) . 144.11) Здесь и ниже угловые скобки означают усреднение соответствующей величины за время Т периода колебаний. Равенство !44.11) подразумевает. что олагодаря слабому затуханщо производная по времени полной механической энергии равна своему среднему за период колебания зпачегппо.
Усредниз! по времени обе части уравнения !44.8): ( — '„)= — К и), где 1Е ) среднее за период Т значение кинетической энергии тела. Заменим левук! часть полученного урщзнения на г)Е/гй в соответствии с 144.11), а в правую подставим 1Еи) = '1вЕ, поскольку благодаря слабому затуханию колебания являя!тся почти гармоническими, и в этих условиях среднее за период значение кинетической энергии 1Е ) тела равно половине полной механической энергии Е 1ст!. !42.19). В результате получим — = — 2рЕ. !44.12) е1! 14нтегрируя это уравнение, найдем зависимость энергии затухая>щих кеглебанпй от времени: Е- Еое Ре, (44.13) 192 Механические колабинил !Гл.
и гле Ео -- значение энергии в начальньпл момент времени ! = = О. Как видно нз (41.13), полная механическая энергия гела прп затухакццих колебаниях уменыпается со временем по экспоненцпальному закону. Для определения зависимости от времени амплитуды А затухающих коло баний вновь воспользуемся предположением, что в условиях слабого затухания ко.к.бация мало от.ш юанггся от гармонических.
Как следует пз соотношения ('12.21), амплитуда пцомопическпх колебашпл пропорпиональна корни~ квадрат ному из вели 1ины полнея механи щекой энергии: А.— ~ Е. где и — жесткость пружины. Подставив Е из (44.13), получим А = — Еое з!1' = ~ — Еое 'Р' = Аое '!л, 3~ и или окончателыго А = Аое (44.14) где Ао -начальная амплитуда. Выражение (И.14) совпадает с формулой (44 3) для амплитуды затухающих колебаний. Таким образом, не прибегая к методам решения диффереш~иальных уравнений, а используя физические соображения, в частности.
закон из аенения полной механической энерпш, уда.юсь определить зависимость от времени амплитуды затухающих колебаний в условиях слабого загухания (И.14). Величины, характеризующие затухание. а 1. /3 = — " ко:~Я~~~цпенгп оопп!!иоана (здесь й — коэффици'2гп ент сопротивления среды., ьч масса тела). Коэффициент затухания определяет, насколько быстро уменыпается агшлитуда колебаний с течением времени (см. (И.З)). 2. Время аюивии колебаний т .- это прови.жуток врехпни, в течение которого амплитуда колебания уменьшается в е раз (е . основание натурального логарифма), то есть: А(1) л(! + т) Подставим в это соотношение А(!) из (44.3); Л„-!3~ ~ = е!3~ = с.
А е" рвы! 193 Затухающие колебание Отсюда т= —. )1 (44.15) 3. Хе число колебаний за промежуток времени, в течение которого их амплитуда уменьшается в е раз. Поскольку время одного колебания это период Т., а промежуток времени, в течение которого амплитуда колеоаний уменьшается в е ра к равен т (см. (41.15)), Разделив т на Т, найдем Лге; т 1 Ха = — = —. т 6т' 4. Логарифмическим декремеитом затухания Л называется натуральный лога1нгфм отпо!пения амплитуд затухюощего колебания в моменты времени, разделенные промежутком в один период Т: 4,я.-1 Л = 1п ~ ) = 1и ' = 1пс)~ = рТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
