1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Подставим в:!то уравнение Ь из (38.1) и М из [38.3) и приравняем модули правой и левой частей получиВН1РГося уравнения: /[а(, Га)/ = $[г, тд~~, а'1а я и О = Гтй а(п О. Отс(ода Угловая скорост! прецессии рагин ! шк(' Га 1.>8 Динамики эпеердаго пэели ~ ГЛ. 1У Из полу.пЭнпОГО Вы1УЭэке.ния ВиднО, 1то оэ' пеэ заВиспт От угла наклона осн ггйэоскопа к Ве Ээт икали В н бменыпги тся с увгличением ч'и:готы сеэбствшгного В1эапннпя го. Гироскопические силы и моменты сил. Рассмотрим гироскоп в виде массивного маховика, который вращается 1 постоянной по модулго Оолыпон У~левой ско1эостьго оэ вок111г:зак1ПЭП- ленной в подшншшках горизонтальной оси (рис. 1111. Будем Ось гороскопа- Попки о Риг. Ы1 повора плвать горизонтальную ось гироскопа вокруг проходшпей через его центр масс вертикальной оси 00 с постоянной угловой скоростью ПЭ' (такое движение называется еынужгЕенно11 прецессие11~. Из опыта известно.
что со стороны оги гироскопа на подгшшннки будут действовать силы, момент которых отно- снтелЭ,НО неподвижной точки С ги1эоеэкЭэпа — его цент1эа пасов отличен от нуля. Е'проскопическеллеи называготся силы, возникающие в подшипниках оси гироскопа при ее вынужденном вращ1-нии. Момент гироскопических сил, действующий со стороны осн гироскопа па подшипники и удержива1ощее их устроиство (держатель), называют апроскоппческпм л1омешпом. Об.ьяснить возникновение гироскопических сил и выяснить нх направление моэкно с помощью уравнения моментов (38.'2). Пусть угловые скорости собственного врапп'ния го и прецессии оэ' сВязаны не11ВВеэнстВОм оэ' )) оэ, так чтО мО:кнО пользОваться приближеннои теорией, считая что Ь = Еоэ н момент импульса 1 направлен вдоль осп гироскопа.
Поскольку оэ вели пгна постоянная„модуль векто1эа Ь также постояЭПЭП, Ести огь гироскопа равномерно поворачивать вокруг вертикальной осп 00', вектор 1о имея постоянную длину, будет равномерно вращаться в горизонтальной плоскости. За промежуток В1эемшзи й гект011 Ь п011учит п1эи11111цение гЕБ; вгект011 еЕБ лежит в горизонтальной плоскости н П1'рш нднкуляр1 н к вектору Ь. Как следуе1 нз уравнения моментов (38.2). записанного 159 в форме Л = Мгй, векторы Л, и М сонаправлены. Следовате;>ьно вектор М моь>ента внешних сил горизонтгпп>н и пер>пядикулярен к Т и к осп гироскопа (рис.
111). Для возникновения момента М указанного направления со стороны подшипников к оси гироскопа должны быть приложены вертикальные равные по величин( и >й>отивопп;>о>нные по наврав»сяию силы Р и — Р. (Отметим. что возникающие в результате вынугкденной прецессии вертикальные силы равны по модулю друг другу в силу симметрии рассматриваемой ме:санической системы относительно неподвижной точки С.) Такие >ке силы действу>от со стор>я>ы оси гироскопа па подшипники (гироскопические силы). Пусть известны угловая скорость с обственного вращения гироскопа О>, угловая скорость вращсния горизонтал ной оси О> (скорость вьп>у>кденпой прецессии). масса >и и момент инерции Г маховика относительно собственной оси симметрии, расстояние г от центра масс С гироскопа до точек закрепления его оси в подшипниках.
Найдем вели п>ну Р. Восп»льзу< моя уравнением прецессии (.>8.6): [О>' Ц = М. Подставим в него в(личину М = 2[г Р1 суммарный х>охи нт действующих со стороны подшипников на ось гироскопа сил Р и — Р (здесь г вектор, проведенный из неподвижной точки С к точке приложения силы Р) и величину Ь =- 1гв: [О>'.
1О>] = 2[г, Р) Векторы О> и О>', а также г и Р попарно взаимно перпендикулярны: с учетом этого приравняем модули левой и правой частей О> > гО = 2гР. Оп >ода найдек> Р: 10>'О> 2г Гироскопический эффект появление дополнительного давления в подшипниках, обусловдленпого гироскопическими силами, и во->ш>янов!ние гироскопических моьюнтов, ран простра>- пенное явление в технике. Он наблюдается у роторов турбин на кораблях при поворотах и качке.
на винтовых самолетах при выполнении виражей и т.п. 19О Динамика пгеердаео тала ~ ГН. 1у й 39. Вычисление моментов инерции однородных тел Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси можно вычис;гять по одной пз сведугощих формул (схг. (35.8)): гу 1 — 1гш ~ гггаг. — )' г Йгп — ~ рг Л'. гу — гх и рг где г; и г . 1гясшояния от шстгпгы массой гп, гг а.геьгеггта1ггигй массы Йгг до оси, р плотность тела в данной точке, Л'— эеп.ментарный объехл, суммирование выполняется по всем частицам, на которые мьплепно разделено тхкло, интегрирование ведется по оо'ьеыу г тела.
Момент инерции сплошного однородного диска. Пусть масса сплошного однородного,.гискя (цгглиндргг) равна гп; плотность ма гериала, из к<норопг изготовлен диск, равна р, радиус --. й: высота -. А (рггс. 112). Вычислим момент инерции .1иска относительно его оси симметрии. Выделим мьплепно из диска тонкое кольцо с внутренним радиусом г гг т и внешним радиусом г + гггн Поскольку все части кольца расположены на одинаковоы расстоянии г от оси диска, его момент инерции равен: И = г дпг = г р . 2хг1и1г = 2ярггг дг, где ьгасса кольца Йпг выражена через плотность материеьга р и его обьем.
Рис 112 Момент инерции диска, равный сумме моментов инерцигл всех составлгпощих диск тонких колец, подобных рассмотренному, найдем интегрированием г11 при изменении г от нуля до Й: гг 1 = ~ е11 = ~ 2пр1ггв е1г = — крlгй~ = — (рхй26)йв = — ггей~, 2 2 2 (39.1) где гп =- рхй26 - масса тиска. вырагкенная через плопюсть материала р и <го обьем.
Момент инерции шара. Вычис гим момент инерции шара массы гп и радиуса й относительно проходягпей через его центр оси х. Разделим гпар на бесконечно тонкие слои пергпгндикулярными к оси л плоскостями. Каждый слой близок по фор- гонкому диску 1гадггуса г и вьп:отой Иа Вге па1гамгет1гьг Вв( (иеление л(юл(енпгив инерции диска радиус !ц толщину О1К массу (1(п можно выраиить 0 междр отрицат(н!ьным нап1?авл( ниик! оси е проведеин(,!м к к1?а!о д~ска ра 1иусом шара Л 1рис. 113): г = ЙЗ1НО, 2 = — ЛсовО, Л7 (1в = ЙвшО(19, (1(г, р„!.'2(12 ркЛз а11,3 0(19. гд(! р п.то'!'но("!ъ ма1(!риала шара. Всей совокупности тонких ело(в 1д!Лсков), на которые разделен !пар, соответствует изменение угла 0 в пределах от нуля,!о е. Выразим момент инерции диска радиуса г и массы (1(п через параметры р, ЛиО: Н = — (1тг = — ркЛ' аш' 9(19.
Рис. 113 2 2 Момент инерции шара найдем интегрированием Н при изменении параметра интегрирования О в пределах от нуля до ли 1= ~ Н= ~ — ркЛ" аш'0(10 = — — ркЛО ~ (1 — сов20)2 е(1 .0) = 2 2 О О =- — ркЛО = — ! р — яйз) ЛЗ =- — и!Л2, 109.2) !5 5 ' 3 / 3 4 где т. = р. — НЙз масса шара, выраженная через его объем. 3 Момент и !кого однородного стержня. Вычи(щим момен тержня массы т. и длины 1 относительно оси, проходящей ч(- рез центр масс перпендикулярно (пержню. Та!!щина Й. стержня много меньше его длины. Рассмотрим два илеЙи тл(!нтарпых 1"1астка ст!!р?Кн(1 массами (1т, распаиоженРн(. 1!4 ны( симметрично на одинаковом расстоянии г от центра масс С.
Длина каждого у !ветка равна (1г. площадь поперечного с( чения стержня рагин а 11?!лс. 114). 'Л!оыен! инерции двух (~ Йи 6 А.И.Леденев 162 Динамика п(аердага тела 1ГН. 1(' рассматриваемых участков равен: й1 =- 2ттйьч =- 2т ~райт, где р плотность материала стержня. Момент инерции стержня, равный сумме моментов инерции в(ех пар симметрично расттоложепных элементарных участков. подобных рассмотренному. найдем интегрированием й1 прн изменении расстояния т в пределах от пуля до 1,'2: т!2 У = / й1 = ~ 2рят йт. = — ря1' = — (ря1)1 = — тгт! е (39.3) 12 12 12 о где тп = ря1 масса стержня, выраженная через плотность мат(риала р н его обьем я1. АналогичнО Вычи(лпяРтс)т момент инерции стержня ОтнОсительно оси, перпендикулярной стержшо и проходчщей через его конец.
Пусть элементарный участок стержня массой йтв н длины йт расположен на расстоянии т от оси, р —. плотность материи; ла стержня, я площадь поперечного сечентля. Момент инерции участка ! У = ! т йтв = ! т. ряйт = — ря1 = — (ря1)1 = — тв1 . (39л1) д г Д 1 3 1 2 1 2 3 3 3 0 Аддитивность момента инерции. Момент инерции т(- ла относительно оси обладает свойством аддитивности: лн)ллент инерции составного тела равен сумме моментов инерции его частРЙ. Проил.лтостртлруелт свойство на нескольких примерах. 2 2 Момент ин('.рнии ! ст(лржня длины! и массы тв относительно Осп, проходит((('Й чсрРз цРнтр масс, мо)кно щ)едставттгь как Рис. 115 СУММУ ЫОМРНТОР ИНРРЦИН ОТНО- снт(льне тоЙ же Оси двух (то частРЙ Одинаков((К стРр)кней длины 1 = 1 (2 и мтк'.Оьт тп = т,'2 каждый (рис. 113).
Применив формулу (39л1) для расчета т ! 2 2 й1 =- т йт = т райт. Момент тлнерции стержня найдем лтнтегртлрованиеат й1 ттртт изменении расстояния т от оси до участка в пред(лах от нуля до 1: Теорема Гн)йгенеа Шн)ейнера мом(.пт) инерции ка)идой части стержня, нийд(!м Е: 139.5) 3 3 2 )2 / 12 В(!ражсние 139.5) совпадает с формулой 139.3), полученной выше бе) использования свойства аддитивности момента инерции. Свойство аддитивности позволяет Выч!и !Нт! Момен) инерции Е!72 части тела цилиндрической формы, которая обраэуется при его делении проходяшей через ось симмец)шл плоскостью 1«по)!Впо, ) (рис.
11б). Пусть са масса, Л - радиус, Е = — )ПЕ() момент 2 инерции «нерассеченного» тела. П силу аддитивности момента инерции и симметрии тела величина Е()2 вдвое ьшньше Е; 1,'2 Е)~2 — — — Е = — !х — 11)Е1 е! = — )ПЛ, . 1 171 21 1 2 2 2 4 й 40. Теорема Гюйгенса — Штейнера о параллельном переносе оси момента инерции Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Ось гс !0)оходит и!Р(',3 Ц(!Нтй масс т()ла, ось в НВРН!!ле)пна ян н находится от нее на расстоянни а, а перпендикулярный к обеим осям вектор., проведенный от В к гс (рис. 117), )!ьнв!енпо разделим и:е тело на частицы массой п(,„где 1 -порядковый ном(р. К кз)идой частице пров(едем От Ос(ей! В!) и в !Нрпендпкулярные к этим осям векторы г, н г,',. Учтем в далы)ейшнх вычислениях, что г'( — г, + а. В соответствии г опреде:п)нием момент инерции тела относите'и но осп В равен: Е = ~~) )п,г,' = ~~) )п;1г, + а) = ~~) 1!)1(г~+ 2т(г(а+)п;аз) = = ,') т„г~+2а~~) )п;г, +а ~~) пга = Ес +2а>пг( +!)!а~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
