1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Как НОке1заНО ВЫШЕЕ„МОМЕЕНТ СНЛ ПНЕЕРЦИИ ОТНОСНТЕ1.1ЬНО ОЕ;И В РВВЕН НУЛЮ, Уравнение (37.2) вращения цилиндра вокруг оси г в рае:смагриваемом примере имеет е ледую1ций вид: (37.7) ГДЕЕ ЛХ,р = ГРг1е МОМЕЕНТ СИЛЫ ТРЕЕНИЯ ОТНОСИТЕЕЛЬНО ОСИ )1 — совпада10щий с 181011кЕЕН11й 'р модуль углового ускорения Цп:пп1дра (Р = Еа). 1 = ЕВ111Й ме)ме.пт пнеерЦии ЦплипДра относительно оси симметрии. В 11Т11уте:твие1 11ре11:калы11 Евания между цнлш1дре1м и нак110нной плое;костью пк1еете1я кинематическеп1 е:Вязь 11ежд1 лпнеЕЙИ11м а, и угловым 11 1чжорениями: а =рг.
(37.8) 1'сшив совмое:тно уравнения (37.5) — (37.8), получим В В1па ак1ип а = 1 а- 11геега г (1 + 11 пега) (37.9) ПЕИ ВПЕ П 11т = 1118 ех1вц. г . = 0 1 -1- оег'-'71 При отсутствии проскгми зывания между ци.шндром и наКЛОННОй ПЕП1СКОСтЬЮ ДсйетВУЮЩВЯ На ЦИЛИНДР Снла ТРЕНИЯ Г'.и,. являясь силов трения покоя. Не может превысить величины ге11' (см.
(15.8)). С помопЕью этого условия определим значения угла се, при которых возможно качение бе11 проскальзывания: та гйаа < ЙЕН8 сова, 1 -1- епгл7 180 < Й (1+ пкгз)1) . Как видно из полученного неравенства. скатывание цилиндра без проскальзывания возможно лнпп при значениях а, не превышаюге1пх определенной величины.
которая завпс1п от коэффициента трения й и параметров тела (в частности. момента инерции) . Диномино <слоонооо <>ои)<сон<со 153 Сила трения покоя приложена к точкам поверхности цилиндра., скорость которых в неподвижной системе отс и та равна нулю.
эта сила )н' совсрпгяет работы и пе вносит вклад в и;ьпчп ние кинетической:энергии тела. При больших значениях а (Ца ) й (1+ те!11)) сила тр<- ния покоя становится недостаточной для обеспечения качения 0((! Нро<кальзыВяния, и чи(то<) кяч<)ниР станОВится н<'.ВОзможным. В этих глс>овиях ня т()110 д<)йств1( т сп за тр< пня скольжения г",р — — 1(Х = Йп>й сова, направленная вдоль наклонной плоскости противопаложно скорости центра масс цилин;ц>я. Для расчета лип<'йного и углового ускорения цилиндра снова необходимо применить формулы (37.1) и (37.2).
Резул>*та!Вми (37.9) по.,п зоваз ься нельзя. В<ли угол наклоня а устремить к нулю, то. как следует из формул (37.9), ускорение центра масс и, угловое ускорение с) и сил) ТР<)пия покои Р~р СТРемитсн к пй;по. иго оз>па <Я(т, 'сто НРИ отсутствии скольжения однородное цилиндрическое тело катится по горизоптатьпой плоской поверхности равномерно и прямо. <инейно. Не испьп ь<вая сил)*1 сопротивзсения. О 1<'Видно. тако() ДВИЖШ1ИР ЫОЖРТ ПРО,.(ОЛЖЯТЬСЯ ОРСКОНРЧНО (ОЛГО.
Трение качения. Вывод о том, что однородное цилиндрическое тело катится по горизонтальной плоской поверхности равномерно и прямолинейно, не испытывая силы сопротивления, относится к идеялизиро- ВНННЫМ ЫОДРЛЯМ ТЕЛ ТР" ло и горизонта.тьная поверхность считаются абсолютно твердыми. В реальных угловиях цилиндрическое тело и поверхность деформируются. 11!з пов<рхности в месте контакта с телом возникают углубление и небольшой бугорок (рис. 105). Тело сопри- Рио. 105 кясартся с нов<)рхнос!<В10 ВР В одной точке, а на участке конечной площади. Возникает сила сопротивления.:замедляющая движение. Как отмечалось выше, горизонта.<ьная составляющая этой силы называетс я силой >прени.н ка сенин.
В р<яльных у(")ОВиях из-за силы трРния кя 1Рппя дВи крни( цилиндра по горизонтальной поверхности не может продолжаться бескон<'чно долго. Кинетическая энергия цилиндра будет израсходована на работу против сил деформации, и в конечном Динамика п>еердаго тела ~1'Н. >и счете цилиндр остановится. Из опыта известно, что сила трения качения приб.шзительно на порядок меньпп. силы трения скольжения, так что при решении многих задач счо можно превебречь. я 38.
Гироскопы Гироскопом называется облада>ощее осью симметрии масс:явное твердое тело, которое способно вращаться вокруг этой оси с: большой угловой скоростью. В дальиейшсм ось с:иммгтрии гироскопа будем называть ос:ыа аирпско»а или собссппенной осью вароскос>а. Примеры г>>рос>кос>ов разнообразны дете:кая игрушка во. Рсок. маа> ховики гироскопи.неких коьппп:ов, роторы турбин различного назначения и др. Движение гироскопа представляет собой вращеп>се твс>рдого тез>а вокррг одпой пеподвя>киой точки.
Рассмотрим поведение гирос>копа на примере волчка. И > опыта известно, что если ось бьп:тро вращающегося волчка расположена верплРие. 106 кальяо, вращение может щ>одолжаться;со- вольно продолжительное время (р>сс. 106). Если ось отклонить от вертикали. волчок ие упадет, а будет совершать так называемое прецессиопиое движенисн его ось описывает поверхность кругового конуса с вершиной в точке опоры О (рис. 107). Прс.цсс>сия это сложиое двпжеиие„которое вреде>тав»яет собой вращение гироскопа вокруг двух пересекающихся осей вокруг собственной оси с угловои скоростью 0> и вокруг неподвижной вертика;и— ной оси с угловой скоростью св .
Точка >пресечения двух ос>е>й является единственной неподвижвоп тс> ской » >рос>копи. В 1>асс мат- О рива>>мок> с>р»ьссй>с> это то >ка опоры О волчка о горизоиталь- Рве. 107 ную поверхность. В общем случае прецесх:ионного движения пгподвижиой может быть „побая точка оси гироскопа. в частности. его центр масс. Угловая скорость а> вращения гироскопа, вокруг собствеииой оси называется ягяовосл скоростью собственною про>ценил.
1'и))о(копь) 155 Угловая скорос:ть в)', с которой ось гироскопа врапсается вокруг неподвижной оси, называется угловой скороссиь)о прецессий. Обычно угловая скорость собственного вращения намного пр вышает угловую скорость прецессии: О) » О) . Из опыта извес:тпо, что чем больпп; угловая скорость собственного вращения со. 1ем ь)еньцп) угловая скорость прецес- СИИ О) . Наша задача состоит в том.
чтобы получить уравнение, с помощью которого можяо объяснить особенности движения гироскопа, в частности, преце(х:ию. Ранее было показано, что момент и. )пульса Ь симметричного тела, которое вращается вокруг неподвижной собственно)й оси симметрии, направлен вдоль оси вращения и пропорционален угг)овей скорости О) тела С( т(. форму.,)1 135.10)): 1 =1(а, 138.1) г;ю 1 момент инерции тела относитсльно оси симметрии. В прецессионном двпжс-пии ось гироскопа 1волчка) не яв.ляется неподвижной она вращается с угловой скоростью В)' вокруг неподвижной вертикальной оси Сом.
рис. 107). При этом равенство 138.1), строго говоря, не выполняетс)я. В теории гироскопов доказывается, что при вьшолн(нии условия со » со' равенство 138.1) выполняется приближенно, и можно считать. что вектор Ь момента импульса гироскопа направлен вдоль его оси симметрии (с)ри()лил(сенная теория Ниро(копи). В дальнейшем полагаем равсчк:тво 138.1) выполненным: вектор Ь момента импульса во время движения гироскопа направлен вдоль его собственной оси. Определив движение вектора 1, мы нийд('.м, как с ТР'1Рни('.м Вр('.м()пи и)мшняРт СВОР по.чож()ниР В пространств( ось г~)оскопи.
Зависимость от времени момента итшульса 1 твердого тела относительно неподвижной точки описываесня уравнением моментов: — = М. 138.2) где М .- суммарный момент внешних сил. Применим 138.2) в двух (глучаях: а) собственная ось симметрии врашщощегося волчка вертика сьна Спрецессии н(т); б) ос:ь отклонсна от вертикали 1!ц)Рцессионно(' дВижРни('). Вращение уравновешенного гироскопа. Если ось вра)цыощРгося Волчка, ра('ПО;1Ожена ВРртикй.1ьно, момР)п Вн()п1них сил силы тяжести 1))и н силы нормальной реакции опоры Х относительно точки опоры О равен нулю, М = 0 Срис. 108), В этом случае из уравнения 138.2) следует, что вектор Ь момента 156 Динамики )ииердага (нели ~ ГН.
1Е импульса с течением времени не изменяется. 1, = (опв1. Следовательно, ось волчка, вдоль которой направлен в(ктор Ь, сколь )годно дол~о бйд( т остнваты:я в в(ц)тик)ьтьном положении. Волчок не падает. Если суммарш,)и момент действующих на ГН1)оскон ВнРшних ( и.! Относите:1ьнО ()ГО н("подВижной тОчки ряв('п п)с1ю, Г1ц)оскоп называется (1равновепи)ннь)м или нен()ер(1- анкиным. В противном стучае гироскоп называют нагруженным.
Х!ы показали па пример(. волчка, что момент импульса 1 о нРнгиц)ужРннОГО Г1ц)оскопа постоянРн, ВГО о(аь сохраняет свое направлени(' в про- Рае. 108 странстве. прец(ссия не возпнка(.т. 11рецессия нагруженного гироскопа. Если о(ь вращгпощегося волчка отклонена от вертикали на некоторый угол 1обо)начим его буквой О, см. рис. 109), момент силы тяжести н)и относительно точки опоры Ь О равен: М = [г,)))ф), ~38.3) ГДР г ради('с-ВРкт01). Н1)ов(*денный из точки О к центру масс гироскопа, гн масса гироскопа. Вектор М направлен горизонтально и перпендикулярен к вектору 1.
Точка приложения силы 1)( акции ОНО1)ы 1Х1 ")в.)я(еп я неподвижной точкой волчка. мом(пт силы М относительно точки О равен нулю. Отметим, )то сила М нагц)ЯВ;пена ПОд 1н)к010рыы ( Г- лом к ВР1) Гикали и имРРт дВР сО('тявляюп1иР: ГОризОптя 1ьную (сила трения) и вертикальную 1сила нормальной реакиии о))о1)ы). Воспользуемся уравп('нием 138.2).
Из н(то следует: л,=м(н, 138.4) то есть вектор приращения момента импульса (1Ь совпадает по направлению с вектором яп)мента силы М. Так как в рассматрива( мом примере вектор М момент силы тяжести горизонтал(н н п(ц»п)нднк1ля1)ен к вектору Ь, Вектор ((Ь 1ак;к( направл(н горизонтально и перпендикулярно к вектору Ь 1см. рис, 110). Это означает, (то с течением времени будет изменяться только Гироскопы 157 направление вектора Х в пр(н:транстве, а (то длина . оставаться неизменной (аналогично вектор Ъ' скорости истицы., которая раВномерно движется по Округкности, меня(т СБОР направление, сохраняя постошшую длину).
Конец вектора Ь движется по окружности в горизонтальной плоскости, сам вектор 1., а ( нпм н Ось Гщ10скопа, Опис!1вает пОВсрхнос!ь круГОВОГО конуса, ось которого вертикальна и прохОдит н'рез тОчку Опоры Вол 1ка Л. 1рис. 110). Записанное в форм( ((38А) уравнение кк(ментов по:!воняет объяснить преце(х:ию нагруженного гироскопа: прец(ссия воз- м никает благодаря действию момента М внешних сил. О Найдем связь между момен- Рис.
1(О том импушьса 1 гироскопа, моменп1м вн(.шней сизы М и угловой скоростью прец< осип а'. Согласно формуле 111.1) производная по врем(-пи вектора Х, длина которого постоянна, а направление в пространстве меняется 1вектор вращается с угловой скоростью (»' вокруг неподвижной вертикальной оси), равна: 4~ [а/ 1,1 138.5) Приравняв правые части 138.2) и 138.5), получим так называемое уравнение прецессии (шгруаюст(ого гироскопа: [а',Е) =- М. 138.6) Здесь а' угловая скорость прецессии, Е Гш(м(нт импульса гироскопа, М суммарный момент внешних силы относительно неподвижной точки. Носпогп зуемся уравнением 138.6), чтобы найти углову(о скорое!ь нрсц(х:сш( волчка,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
