1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 30
Текст из файла (страница 30)
140.1) Н этОм Вьц)аженнп суммирование Ведется по всем !истицам, на которые разде.пно те)пц Е(- = 2,)н(г, мом!ент инерции 164 Давал(ина >аоердого тала ~ ГЛ!. !М т<1.!й Относительно ироходя|ц<гй ч(.ре> центр х|йсс <)си в<1, н), та масса тела. В иреобраз<и>аниях использовали раьенство 2, та|; = >иг<-;, |Де г<1 иеРиенДикУлЯРный оси е< вектоР. проведенный от этой| осп к центру масс тела .
точке С, это РЫ)ЕНСТВО ЯВЛЯРТ('Я ("1РДСТВН- ем 010)еделения центра мйсс 1см. формулу 118.1)). Поскольку центр масс тела лежит на оги я< э то гг = О. С учетом этого из 140.1) получим 1 = 1<- + >аа . 110.2) Это равенство выражает теорел(р< Г>ойгенса Штей>(ера. Рис. 117 О Иййй.|ЛЕ:1ЬНОМ ИРРЕНОСЕ ОСИ момента инерции: момент, 1>неРЦли<л 1 >пела, о>н>«>сии!глана п1)оивоол!ьно<1 осн Ех!оен СРмме ,л<о<мента 1(нерцин ЕС опгносат(<л|и«> параллельной ей оса, НРоходл<аей неРеа Цен<ЛР я<асс, и оелн"(инм та л где |п -- л(асса тела, а — расстояние мео<сду осями. Рассмотрим примеры использования доказанной теоремы. 1.
Зная моки!нт инРрцпи тонко|"О ст('ржня ОтнОсител| но Оси, проходящей через центр масс, 1<; = <'1211)1, где т — масса, 1--- 11, 2 длина стержня, можно найти момент инерции 1 относительно параллельной осп, |0)оходящей через конец стержня.
Расстояние между осями в данном (' |учао равно половине длины стержн)! 11<<2). Поэтому искомый момент инерции равен 1 = 1с + 71! ~ — ) = — 1п1 + — >п1 = — 7н1 1 2 1 2 1 2 2 12 4 3 Результат совпадает с ранее иолучеш|ым без непользования теоремы Г|ойгенса .Штейпера 1см.
<39.4)). 2. Мох<ент инерции шара массы т, и радиуса Л относительно прямо>1. ко!Орйя является кж;йт<.льиой к ио!>ерхности иич)й, 1"!" Рн 1 = Ен+ 77!Л = — тК +н(Л =- — тЛ . (40.3) 2 '2 2 2 7 2 гд( 1<г = ><й>пЛ момент инеРцпи относительно оси, НРоходЯШей черн) ц(>НП) шч>й. Момент инерции ци;п|ндра массы ю и радиуса Л относительно прямой, когорая пар |ллельна оси симметрии и касается ио- Тен)ор инерции 1 41) верхности цилиндра, равен: Т = 1с+ 7)яз = -л п.Л2+ гпяв = -' Л'. «ОА) 2 2 й 41. Тензор инерции Тензор инерции. Пусть декартова система координат с осями х, у н г жесгко связана с телом, а вазед)о системы координат -- точка С - с:овпадас'т с центром масс тела (рис. 118).
11айдем выражение для моълс)нтй инслрцип тела относи- ) тельно произвольной прямой СА.,направление которой в те:к; задается единичным векто- 7' ром в: гл в = сов а 1+ сов Я + с ой у1с, 1с с)ис г где а, р, у углы между векто- С ром в и осями координат т, у лл .! У е соответственно; 1, 1, 14 орты координатных осей.
Моълент инерции тела относительно оси СА равен: Е = )' гз сЬ)7,. 741.1) где г, расс:тоянне от э.п",ментарной массы ссг)1 до осп СА; интеграл вычисляетс:я по ооъгму тела. Раз.лежим вектор г = .и+ у1+ в14, проведенный к злемен- тЦ)НОй МаССС1 сйл, ИЗ Пйэйдй КООРДИПйт, Нй СОС;тйн;)Я)ОРДИЕ Г) параллсльнук) оси СА и гс — перпендикулярную этой осн; г=г~+гь. Руз прямоугольного треугольника, образованного векторами г, г~~ н гл силсдуе; 7'1 = 'à — T».
(41.2) Выразим длину вектора г через его декартовы координаты: (41.3) 7 =:г +у +г. Величину г2 можно представить в виде: (41 А) ге — — (гв) = (х с)ов а + У сой Д + е с)ой У) . Дивил!иве пгиердоги тели ~!'л!. !и Подставив (41.3) и (41.4) в (41.2) с учетом тождества: сов а+ ссж ~3+ сов у= 1 иолу !Им т, = х + у + в — (тсова+ гусов)3+ есову) 2,2,2 'г 2 =- х (1 — сов а) + у (1 — сов Я + 2 (1 — соя у)— — 2ху соя а соя (3 — 2х2 сов а сов у — 2д2 сов (3 сов у = = х (сов (3+ соя у) + у (сов а+ соя у) + х (сов а+ соя г3)— — 2тд соя а сов ~3 — 2хв сов а сову — 2ув соя ~3 сову = = (хг + у2) соягу-1- (хг + 22) сонг г3+ (д2+ 22) сонг ив — 2тдсояасовр — 2хвсовасову — 2уисоя)3сову. (41.5) Поде!авив полученное выражение для т2 в (41.1), найдем момент инерции Е тела относительно осн САг 1 = ~ т! ~еЕгп = ~ (х2+у ) соя~угЬгг+ / (тг+и2) сов~(3едгп+ + ~ (у +иг) совгаг1гп+2 ~ ( — ху) сояасоя/3е)т+ + 2 ) ( — хх) соя а с!!я у гЕгп + 2 ~ ( — ух) соя Д соя у е1тп = = Е,,сов у+1уцсоя )3+1 соя а+ + 21иу сов а сов гг3 + 21и, <ов а сов У + +2 Еггл сов гг3 соа У, (41 .6) где введены обозначения: ~ (,2+ „г),1гп (41.
7) 1 = ~ (х +я )гЕгггг (41. 8) 1„и = ) (д + 2 ) гЕтп, (41. 9) 1,л = 1„, = ~ ( — ху) сЬп. (41.10) Е,г = 1., = ~ ( — хи) дт. (41.11) 1уг —— 1,, = ~ ( — ув)гЕгп. (41.12) (навомним, что иятегрированпс везде выполняется по объему тела). Чегизором ггггергуггг! тела называется совокупность девяти величин, определяемых форхг1сгавп! (41.7) (11.12). Если начало 1б7 Тениир инерции д(',картовой системы координат, в которой вычн( !яют(я величины 141.7) (41.12), совпадает с центром масс тела, то тензор инерции н(кзыв!1(зтся глионлилл ьиенаором онер ц(ни,.
Величины 1„е., 1уу, 1л, представляют собой моменты инерции тела отно(»ггельно координатных осей я, у п в, соответственно, и называются осевыли( момен!Ними ннерцпп. Величины 1еу = 1ул 1 „= 1,„, 1у. — — 1., называются цен!!!1)обеоннылт,л(омденпгил(и. инерции. '1ен(зор шзерции может быть представлен в виде симметричной матрицы размером ЗхЗ: 1у: 1)у 11 Итак, момент инерции тела относительно произвольной осп, направление которой в теле задано углами а, Д и у, можно выразить через компоненты тензора инерции по формуле 1(:ь!.
41.6)): 1 = 1,,созга+ 1„сов Д+ 1,. сове у+ 21е совасов/1+ + 21л., совасовУ+ 21 л говДСОВУ. 141.13) Главные оси тела. Можно доказать, что для всякого твердого тела существуют три вза!лмно перпендикулярные оси, пересекакнпиеся в псптре масс 1оси декартовой системы координат ик (б и), для которых недиагональные компоненты тензора инерции 1центробежнь!е моменты шгерции) обращаются в пуль: 1еу 1у,е 1ьл 1и(, 1у 1гу Оси ж(зстко связаННОЙ с твердым т()лом д(зкц)то!)ОЙ системы координат, пересекающиеся в центре масс, для которых выполняется условие 141.14), называются главными осими тела. Главные оси обладают следующим свойством, которое доказыВаезся с помощью уравнения ыомен108: ес;1п "гсло 1ц)НВ(зсти ВО врагцениг вокруг главной оси и предоставить сазюму себе, ось вращения будет сохранял свое положение в прос!ранстве сколь у! одно долго в отутствие воздействия на нее каких-либо сил из- ВН(З.
.(4ОМ(ЗНТ!! ИН(!РНИИ Т(ЛЯе ВЫ'ПП Л( ННЬП' ОТНОСИТ(Ц1ЬПО ! Ла ННЫХ осей, называклузя глионь!мп моменпгилт инеропи тела. Если оси я, у, г д(картовой (истемы координат являются главными осями тела, то компоненты тензора инерции 1,, 1уу., 1ее являются !лаВныыи ыоментаьп1 шзе1И(ин, при этОм ыомент ин(зрцнп тела относ(!тельно произвольной оси 1см. 141.13)) имеет наиболее простой вид: 1 з 72 +1 . ар+1 ((овзу (11 1б) Дггвилгики гиигрдиги >пили ~гл!.
Нг Мс>толы О!й>едс.„юния по;!Ожепия !данных Ос!'.й в тг!.и', (методы двягонялнзяцни тснзора инерции) выходят за рамки данного курса. П1л!Недс>м ли!Нь !Н>око.!ько конкрстных примеров. Главные Осн однородного !В>ямоугол>ного парнише.ленипедй прс.дстйвля!От сх>бой Т1п! взйимпо перпспт!Икулярныс! мыс. пересекающиеся в центре мгпи: и параллельные его ребрам (рис. 119) Если тело обладает осью симметрии (например, их!еет цилиндрическую форму), одной из главных осей тела является его Ряс. 119 Ряс. 120 ось симметрии. Всякая прямая, к ней перпендпкулярнаяг также является !.ванной осъю !рис.
120). Для шара любая ось, проходящая через его центр, будет главной осью. Связь момента импульса и угловой скорости тела. ,1,оп1л;тих!, твердое тело вргппал>тся с 1тловой скоростьк> в> вокруг некоторой неподвижной оси СА, проходящей через точку С на'ся'10 ж!'.стко связанной с те:!Ом дс'.к'ц>товой пист!'.ыы координат Схйх. Найдем момент импульса 1 тела относительно начала координат. Мысленно разделив тело на больппх! (в !В>еле;!е Оесконечно бо;!ьшо!!) чнс.!о >йстнп ьгтсгой пги порядковый номер частицы. представим момент импульса тела как ыо»н*.н'!' ихш>'лы:й с1п>1!',мы чйстнц, замсп!Ив суммирОвание НО всем частицам интегрированием по объему тела: ! = ~~>~ [Гг, Гнг 11;1 = ) СГ >!', Ссгн.
(41.16) Здесь гг радиус-вектор, проведенный из начала системы коор- ДИННТ К Ча>11ИЦЕ С Ма('.СОИ !Пг, гсг СКО1ХХ:Т! ЧЯСТИЦЫ, Г радиус-вектор, ! йюведенньш из начала системы координат к элементу тела массой йгп.. >г скоропгь это! о элемента. Подставим 109 Тен,(ор инерции 1 41) в (41.16) выра)кение для скорости произвольной точки враща- ющегося вокруг неподвижной оси твердого тела )Г = [а г) (см. (5.2)) и воспользуемся формулой двойного векторного произве- дения: [г[а г~)) = г а — (аг)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
