1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 33
Текст из файла (страница 33)
' где Де = лр проекция на ось в углового ускорения гела. 1 момент ллнсрции тела относительно оси вршцсния, ЛХ- — момент всех внешних сил относительно оси . Внешних сил две: сила тяжссти 7щ и сила реакции )51, действу!Ощая на маятник в точке подвеса. Мох!сит силы М огпоситсльно оси в равен нулю. поскольку равно нулю плечо силы. Величина ЛХе в уравнении вращения равна моменту силы тяжести: (43.5) М, = — 7777!а.
Вш лр - — ш8 а7р. (Воспоельзовались приближенным равенством влп7р = 7р для ма- ЛОГО 1Гла <Р.) Подставив ЛХе. преобразуем уравнение вращения к виду: лр+ Ви р = 71. (43.6) 1 Уравнение (43.6) по форме совпадает с уравнением (42.6). Следовательно, рассматриваемое движение тела представляет собой гармоническое колебание. Угловая координата 7р зависит от времени по Гллсдующему закону (ср. с (42.1)): лр = А сов (лоор + и). Здесь амплллтуда колебания А зто угол наибольшего отк,юнепия лгрямой ОС От Вертикив7и. Пикличоская частота Гоо равпгс 7нй 77 ело = З Х (43.2) Период колебания физического маятника: Т =- — =- 2к! ~ (43.
8) ело !7 тра Период зависит от величины 1 момента инерции тела относительно оси вращения. массы Гп тела, расстояния а между точкой подноса и центром масс, а также от величины ускорения свободного падения в. пения прямой ОС от вертиклши. Рассмотрим малые колебания физического ма!пинка (угол 7р мал).
Выведем тело из положения равновесия, отклонив его на малый угол ер, и предоставим самому себе. Пусть трение отсут- СТВУСТ. Дсиоьнсл!Шсс ДВИЖСНИС ОПИСЫВВЕТС5! УРИВНЕНИСМ ВРЫЦ!. ния Твердого тела вокруг неподвижной оси (св!. (35.11)): 1р = Л17, 183 Мигиематииееиий и фиеииееиий мангиииии Приведенная длина.
По определению, приведенная длина, физического маятника 1ир равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. В соответствии с определением, если известна приведенная длина 1ир физического маятника, период его колебаний расс ш.гывается по формуле: (43.9) В этом случае не требуются какие-либо другие.
помимо 1ир, параметры маятника мохи,нт инерции 1, масса ти расстояние а, от то ~ки подвеса до центра масс. Знание приведенной длины 1ир равносильно возможности вычислить период колебания физического маятника. Выражение для ггриведенной длины 1„р найдем, приравняв периоды колебания физического (43.8) и математического (43.4) маятников: 2л = 2л Отек>да гледусч 1ир — —— (43.10) ти Выразим в соответствии с теоремой Гкпйгенса Штейпера (см.
С 40.2) ) хнгмент инерции 1 маятника относительно оси враще- ния, проходящего чсрне точку подвеса, через момент инерции 1с; о гпосительпо параллельной оси, проходящей через центр масс: 1=1с +та,. Подставив 1 в (43.10), п<щучнм 1пр а+ с 43.11) спи, Из С43.11) видно, что приведенная длина, и, следовательно, период колебания фйзического маятника. зависят только от расстояния си между '!'очной подвеси и ценг1)ом масс.
Следовагельно, геометрическое мегто точек в плоскости движения цсентра масс С, расположенных на одинаковом расстоянии а, от точки С, то есть окружность радиуса а, с центом в точке С, представляет собой множество точек подвеса., для которых период колебания физического маятника одинаков. На рис.
125 показан построенный в соотвесствии с (43.11) график зависимости 1„р от и. Из графика видно, гго фиксиро- ванному значении> 1ир ссэответствуктг, вообще говоря, два раз- 184 Мехпии еееиие иолебинил П'л. ' (43.13) ~ер Тп„п = 2п " "'* = 2к Период колебания равен Ти„п,когда расстояние а от центра масс до оси подвеса, согласно (43.13), равно: пр Еетиип Е2 И2 ~/ Если точку подвеса приближать или удалять от центра масс С (то есть, уменыпать или уве:пп2ивать расстояние и по срав- личных значения а.
Действительно, равенство (43.11) можно рассматривать как квадратное уравнение относинльно а: в — 1прее+ —" = О. (43.12) Это уравнение, вообще говоря, имеет два корня; 2 4 пе Физический смрисл существования двух различных корней а2 и а. квадратного уравнения (43.12) состоит в том, что для двух то рек подвеса, расположенных на разных расстояниях ее~ и аз от центра масс С, приведенная длина физического маятника имеет одинаковое значение.
Одинаковыми являктгся и периоды колебания маятников, подвешенных за зти точки. Существует миниъяльная вели нине периода, колебания твердого гела, которое служит физическим маятником. Заметим, ~то когда дискриминант квадратного уравнения (43.12) обраща- ется В нуль и его ко1н ~пр ни совпадают друг с другом, приведенная длина и период колебания маятника принимают нанти ньпеее возможное зна ронне (сие.
рис. 125). Из условия пр ппп равенства нулю дискри- минанта найдем наимень- О пеую приведенную длину Пе п2 и 1пр иип ° С 2пжее2щьк2 (43.9) о2212едшеим 22аимепыпий возможный 22е12и- од колебания 7„ип: Магасматическай и физический маятники ненлпо с ал;„,„), период колебания маятника будет во>!раста!В по Сравн«НИК) С Tмаи (43.15) Оборотный маятник. С)зойсг!)о сопряженных точек подвеса физического маятника, распозп)женных на расстслянии при- Теорема Гюйгенса о центре качания. На проходящей через точку подвеса 0 и центр масс С физического маятника прямой Г)С отложим в направлении от 0 к С отрезок Г)Г)' длины 1„р.
ПОСКОЛЬКУ 1ир —— а+ — ' ) а, ТОЧКИ Г) И 0 ОКажутСЯ ПО Раэ1с та ньи. с ! ороны от центра масс (рллс. 126). Точка 0 и 0' наплваются сопряженными. Цени>ром ка >ат>я физическо- О го маятника называется точка О, >ар расположенная на расстоянии 1„, от точки подвеса 0 на прямой, со!',диняклпой тОчку 0 и цен'!'р масс С. С Представим себе, что ааятник подвешивае гся:за осли проходяплую через центр качания --. точку О>. Приведенная длина полученного таким образом нового маятника буди! равна: >а а Гс> >43 14) Рис.
126 '"р ' ига ' где а' — расстояние ог точки О' до центра масс С. Заметим, что по построеникх > )с )с а =1ил,— а=а+ —" — а= —, >на т,а, Подставив (43.15) в )43.1 1), получим та пг)с/пга та Из (43.16) видно, что приведенные длины 1ар и 1'„р маятников, подвешенных за проходящие !врез точки 0 и 0' параллельньн: Оси, Одинаковы. СледоВательно, ОдинакОвыми )пзляк)тся и периоды колебаний этих маятников. Мы доказали тсср«му Г)с)йгенса с цснпгр«качан>гяг приведенньи: длань! н, пер>и)ды нол«баниГ! маятнлвксв, псдвеии.нных ва па1ягллельных ссяхз 1ягсггс)лсс>с«нных на расти>оянка 1ар др))г ст друго, одинаковы, Мехини се!нине колебинил (Гл. м ведепной длины, используется д.ля точных измерений ускорения свободного падения с помощью оборотного мс>ятннна. Оборотный маятник состоит из стального стержня, на котором жестко закреплены опорные призмы О и О' и стальная чечевица А> расположещ>ая (з между ними (рис. 127).
Другая сталь- О ная чечевица т>' находится на одном из концов стержня (не между при>>- и> С мами), она может перемещаться по стерясню и зак1хзп.,>1>Г1'ься в ну>кнОм ( пОлорксзнии. Пс!рс!'и',щс',нисм этОЙ чс. чевипы достигают совпадения перил> Одов кО;1Роаний маятника, когда точкамп подноса являются ребра опорных призм О и О'. При совпадении О' периодов колебаний расстояние между то >ками подвеса равно приведен- ПОИ Д-1И!Н> Унр ф~з~~~ско~о Мантника при условии, что центр масс С расположен между призмами.
а расеи>яния а> и аа от центра масс до точек подвеса не равны друг другу сох!. рис. 127). Измерив Унр и соответствующий этому расстоянию период колебаний Т. можно вычислить ускорение свободного падения й по формуле: 4к'( р которая следует из (43.9). й 44.
Затухающие колебания В предыдущих параграфах рассмотрены гархюнпческие колебания механических систем. Понятие механических колебаний является широким и вклк>чает в себя, наряду с гармоническими колеоаниями, другие виды коле бательного движения. Колебсипеленоиеи называс'!.ся ~~~~~ двияп"ние, козт>1яи многокра!Ио повторяется или приблизительно повторяется через определенные промежутки времени. Ууеу>подол! колебиннб называется минимальный промежуток времени, черс>з который движение механической системы по!Норяется. Алаплитйда колебинал эго величина наиоолыпего отклонения механической системы от положения равновесия. Свободныенн называк>тся колебания, которые механическая система совершает около положения устойчивого равновесия (сх!.
~ 30) после того, как она была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. За>иуяа>>шиа колобаииа 187 Свободные колебания в отсутствие трения (сопротивления среды) являются гармоническими. Примерами свободных гармонических колебаний служат рассмотренпьн. вылив малые колебания тела под дшлствием упругой силы пру>кипы, колебания мате11ати >еского и физи п>ского мая1ников в поле силы тяжР- сти, совершаемые в отсутсгвие трения и сопропивления среды. Как уже упоминалось при изучении гармони н>ских колебаний, частота свободных колебаний и отсутствие сил трения и сопротивления среды называется собствеги>ой' часто>воп механической сист1>х1ы.
Зпп!8>вв>оп11!з>п, называк>тоя свободньп> колебания механической системы щ>и наличии сил трения или сопротивления среды. Колебашгв называются мао!ымп, если возпика>ощая прп отклонении тола от положения равновесия сила, которая стремится вернуть тело в положение равновесия и па;>ывается воссшанв>эливаюи>е>1, пропорпиональна величине отклонения. При колеоаниях свж>анного с пружиной тела упрутая сила г"а =- — >от пропорциональна смещения> я тела из положения равновесия. ЕХа математический маятник во время движения действует пропорциональная смещения> т, тела пз положения равновесия ьк>сстанавливаклцая сила, в качестве которой выступает проекция силы тяжести Р, = — (тй/1)т !см, !'13.1)).
МО1!Рнт восстанавливак>щей силы >сит!ы тяжести) физического маятника л|1 = = — >п8 в>р пропорционален у>.лу >р отклонения маятника от равновесного положения >см. >43.О8)). Таким образом, все рассматриваемые колебания являются малыми. Перейдем к собственно затухакиппм колебаниям. Во всякой р1>альной колебательной системе имеются силы трения и сопро'!ивления с1х>ды, в которОй1 дю1жется тРло. Д!',йсгви1', э!их сил щ>иводнт к уменыпеник> механической энергии системы.
Если убыль энергии не восполняется за счет раоо!ы внешних сил, ко.п:банна затухают. При этом механическая энергия будет переходить в тепло!у. Уравнени! затухая>щих колебаний получим на примере тела (х!атериальной точки), колеблюще- СОСЯ В вязкой СРРД11 ПОД ДЕЙ- с!вием упрттой силы пружины (рис. 128). Выведем тело из по.южония равновесич, ра>>тя- Рис. 128 нув или сжав пру>кину, по!же чего предоставим механическую систему самой себе. В процессе дальнейшего движения на тело действует сила упругости Мехони тесине нолебонил ~гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
