1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(44.17) А(1+Т) 4ве гнету 5. Добротиосгпью Я называется умноженное на число к количество колебаний за время, в течение которого их амплитуда уменьшаетгя в егъ раз: (44.16) б) = яХе = —. ~1' (44.18) Определим, какими должны быть параметры механической системы, чтооы выполнялось 1< човие (44.6) елабгно зат1 хапин. Продиффсренпирусм по времени выражение (44.13) энергии затухающих колебаний: )аЕт~ 2 ,х (44.20) 7 А.Н.Ледеввв 1 (1Š— — = — 2)1. Е 41 Будем с ппать условие (44.6) слабого затухания выполненным, п, согласно (44.9), заменим производн1ю эне1яив по в1юмени отношением агют к Т: 1 1Ет Е т ЬЕт (44.10) Е = 2рТ.
Е Выразим нз (44.19) относительное уменьшение энергии за один период через параметр Хе (см. (44.16)): ~~1Ет~ Е 194 Ме гинические колебаниа [Гл. к и через параметр б~ .-- добротность (см. (44.18)): ~~Ет ~ 2я 144.21) Е Подставляя последовательно в условие слабого затухания (44.6) величины из (44.19), (44.20) и (44.21), найдем кри!ЬЕг/ Е терни слабого затухания. Постановка (44.19) дает: ~ЬЕ~~ 21, й~р йк ~Я:Р, нб»37: 16кз « ( — ") — 1, 1<1+16 2«( — "') .
Х Отсюда критерий слабого затухания: р«юо, (44.22) то есть коэффициент затухания р должен быть много меньше собственной частоты системы во, что совпадает с (44.7). Подстановка в (44.6) выражения (44.20) приводит к неравенству: )ЬЬт! 2 Е Л', Отек)да критерий слабого затухания; Хь » 1. (44.23) то есть пило колебаний, < овершенных за время их жизни, должно быть велико.
Подстановка в (44.6) выражения (44,21) дает: )~Е2 ~ 2п «1 Е Отсюда критерий ппаоого затухания: Я » 1, (44. 24) то есть добротность системы должна быть вьн:окой. Формула (44.21) поясняет энергетический смьил добротности Я механической системы. Из нее следует: О Е 2к ~ЬЕт~ добротность Я равна (с точностью до коэффициента 2к) отношению энергии Е колебаний к величине потерь энергии за один Зи(!)укиюиги( коя(баиия п('риОд ~(1(Е2 (.
Вел)) гигга О да(".т пр >бую Ог((гику 'ги()та периОдов, в п)ч(',ни(- которых ~)акти и)ски вся мсханнч((скан эн(4)пия системы превращается в теплоту. Апериодическое движение. При увеличении коэффициента сопротивления среды Ь и, соответственно, коэффициента 2к затухания (3 п('риод затухагощих колебаний Т = ваз- е)й )3 растает. При приближении )3 к а)о период Т должен был бы стремиться к бесконечности. Это означает, что прн достаточно Оольпгох( коэффициенте затухвтгия /3 колебанггя в м(гх(пп('и)- ской сист()ме н(гвозмОжны.
При этом Вывед(',иная из положения равновесия и пред(х:тавленная самой себе механическая система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Хара((тер дви)к()ния системы Таков, что и гг()м отс1тств3(эт основной признак колебанглй( повторяемость.
Такое движение называют а(гер(го(3инеским, С помощью методов решения линейных дифференциальных уравнений не(ло)кно найти точные ре)пения уравнения затухак)- щих колебаний 144.1) при сильном затухании. Приведем результаты. Если коэффициент затухания р превышает собственную частоту системы (оо ф.ь(во), то решение имеет вид т, (4) = С(с~)(+ Сзс~-', 144.26) где Лг 2 = — (3 ~ )((3 — о)о, С( и С) — постоянные коэффипнен- 2 2 гы,;гависящи() 0т нвчатьных услов(гй движ("ния.
По(козгьк; параметры Лг и Л2 являются отрицат(шьпыми пилами, а функпия к)г) ~)одотин!гнет собой с3 мм3 убывак)щих экспонент. Не„п(чина Отклон(ггпи) снст(.:(ы от полож()ния равнове(ия быстро приближается к нулевому значении) (рис. 131). х Если вьшо:(нено условие )3 = = а)о, рсшсни() уравнопия затухакнцих ко:гебаннй и)п)(.т вид о гк 1(4) = Сг е )3~+С21(г (3~.
('14.26) ! где Сг и С2 — п(н:тоянныс коэффициенты, зна юния кото1)ых можно о(гределить нз начальных Рис. 131 условий. При выпо)шенин у(шов(()! 'р =- а)о (швед(.ние механи (вской сист(гхгы называется кр(г(ггггнеским рел)с(гмом, а пар(гх(етр )3 кр(гьчинескил(. коэ())ф(г(((геншом лап)ухания. 196 Мохини )сонно ноллбинин ~г)!. м Описываемое функциями (44.25) и (44.26) движение является апериодическим. й 45. Сложение гармонических колебаний одинакового направления.
Метод векторных диаграмм Напомним (см. з 42), что всякое гармоническое ко„н)бание т, = Л сов (О)1+ и) можно представить на плоскости в виде вращающстося вокруг неподвижной точки О вектора А, модуль которО1'О равс)н амплитуд!) колеоания Л. углоВая с:корос1ь пращ!)- никли )с.ской частот!. ~од~ба~и~ св, 1го..) мс;)кд1 вектором А и проведенной через точку О осью х численно равен фазе коси)оания сОХ + и. Зависит!Ос)ть От Врем!)ни про!)1сции 1и Ось т вектора А описывается гармонической функцией: Ли = х = Л сов (Ы+ а). х! = Л)с)ов(а)4+ а)), )Г2 = '12 соя (ы1 + о2). (45.1) (45.2) Аьсплитуды Л) и .42 и начальные фвс)ы а) и а2 колебаний, вообще говоря, различны, Найдем сумму кс)лсбаний х = т! +х2.
не прибегая к трип)нометрическим преобразованиям. Поставим в соответствие колебшсиям:1;! и х2 векторы А! и А), которые вращаютс:я па плоскости с одинаковой угловой скоростью а) вокруг общего нап)ла точки О. Модули векторов А) и А2 равны ахпщитудам соответствующих колебаний. На рис. 132 показано положение векторов А) и А2 в момент времени 1 = О. Временная зависимость проекций Л1, и Лв, векторов Точка Аг, которая является проекпней на ось т, точки ЛХ кош)а радиуса-вектора А (ряс. 121), совершает гарь)опическое колебание вдоль этой оси.
Движение точки Ас может соответствовать колебательному движеник) реально сущес:твующего физического тела, например, груза па пружине. В то жс; время вектор А никакой реально существую)цей физи сескои ве:)ичнне не соответствует, это только геометричес:кий оораз, по:)воляющий наглядно представить !Ирхсоничс)с:КОс) кол!)оани1ь Часто па чертеже, который называется иекьнорной днаграммой колебацсля. изображают положение вектора А в момент времени 1 = О. При этом угол между вектором А и осью,т, равен начальной фаз!.
колеоания и. Пус:ть нмс)ются два гармонических колебания одинакового направления (движение происходит вдоль осп:г) и одинаковой частоты: 197 Сложение колебаний на ось х описывается функциями (45.1) и (4ое.2): 21гх = х~ = Л) сов(о)1+а)), Лзх = хв = Л.сов(о)1+ав). Ъ)'левая око))ол'.т) вралцспия векторов А ~ н А2 одинакова. Поэтому и — (и» вЂ” и~) угол между ними остается неизменным в )но- А|Б)пи~ ) А е)пи» бой момщп времени и раАа вен разности фаз колебаний (а2 — а) ).
ПостроА 1 нм на векторах А ) и Ав параллелограмм. одна из диагоналей кото- и рого представляет собой и) векторную сумму А = Ал + Ав. Вектор А = = Ал + А) вращается вокруг точки О с угловолй скорое)ью о). Длина векРпс. 132 то))а А остается не)изменной. Ее можно найти с лловлощью тел)1)емы косинусов из векторной диаграммы на рис. 132: А|соеи) л-А)соси) Ф3) н представлю)т собой сумму колебаний х) я т). Сравнивая (45.5) и (45).6)» получим т ~ + х) = Л ~ сов (Ы + а ~ ) + Л2 сов (о)1 + ав) = Л сон (о)й + а)» ) де Л и а оллределяются по формулам (45.3) и (45 4). Как видно из ри<унка» в момент времени б = 0 вектор А составляет с осью х угол а, определяемый условием: А) е)па) + А) е)пас 'о А) сов а) + Аа сов а Вектор А = А) + Ав соответствует гармоническому колсоаллию с лл)лкллл лескоЙ частотоЙ о), ахлллл)лг)»долл .4 н пачальпоЙ фазой а, вы шсляемым по формулам (45.3) я (45.4).
Проелсция вектора А на ось т, есть гармоническая функция времени: 1х = Асов(о)1+а). (4".' ) С Г)1)1»гл)й с)ойоны» лй)<)екпив Лх 1)ивнев Лх = Л)х + 212х = .с) + т2 = Лл сов (о)г + а)) + Л2 с()в (о)г + а2). (45.6) 198 Меиини"(некие нолебинил ~Г)1. Ь Таким образом, сумма двух гарм(пшческих колеоаний одинаковой частоты а) пред(г)1)вля()г соооЙ 11)рх!Они')еское ко;И!бани(! тОЙ яг( )астоты.
)1тобы найти сумму гармонических колебаний ее( и сея, достаточно (л(пкить векторы этих колебаний А! и Аз описанным вьнпе гпо(обом, определив амплитуду и начачьную фазу резугп*- тирующ(гго колебания по формулам )45.3) и (46).4). Такой метод сложения колебаний широко исполь:!устоя в разш)х областях физики и пж)ываегся меишдом ьекторныи доаграмм. Й 46. Вынужденные колебания.
Резонанс Мы рассмотрели закономерно(тп свободных колебаний механически ( систем), то е.сть колебаний, которые возникают в сист(- ме посгп; тО! О, как Она Оыла ВыВед()на из НОложения устой 1иВОГО равновесия и предостав,чена самой се(ж. Как уже подчеркивалось ранее, в результате действия сил трения и сопротивления, которые всегда присутству)от в реальных колебате.!ьиых спет('- мах, механическая энергия системы в процессе свободных колебаний уоывает, превращаясь в тепло. Поэтому свободные колебания.
в(жнпкшие под влиянием начачьного толчка, с течением времени затухакп. Для того чтобы возбудить в системе незатуха)ощие колебания. необходимо компенсировать )ютери энергии. обусловленные трением и сопротивлением среды. '1акая компен- СВЦИЯ МОЖЕТ Щ)ОИЗВОДИТЬСЯ За Сгп)Т ВНЕШНИХ Ш! 01НО1Ш)НИЮ К КО- лебатсльной системе источников энергии. В частности, энергия может Восполняться за счет расо)ы Внепп!ей силы Р. Рассмотрим простейший случай, когда на систему воздействует переменная внешняя сила Г, изменякпцаяся со временем по гармоническому закону: Г = Го сова)й где Га . положительная постоянная (амплитуда силы), (о . циклическая частота. Риянйаюденнь)мп колебаниями называются колебания.
возникаю!цие в механической системе под действием внешней периоди и'(.'КОЙ си,чы и щ)оисходяп)ие В такт с изменением этОЙ силы. Если внешняя сила описывается гармонической функцией с циклической частотой (о, вьшужденными явля)отея колебания механической системы, совершаемые в такт с внешней силой. )о есть на частоте о). Получим уравнение вынужденных колеоаний, вновь воспользовавшись моделью физической системы в виде тела (материальной то )ки) массы го,. связанного со спиральной пружиной Вь(нуа)аданаиа но))абанил жесткости )г и движущегося в вязкой среде вдоль параллельнои оси НР1)кипы О(и х. 1хРОК») си:)ы 1НР1!Ости г'хар — — — 7(г, на тело действует сила сопрО- тивлення ср(.„1ы г (орр †))Ч, пропорцнональная скорости )Г тела (!) коэффициент соп1)ОтиВлсния сре- о х ды), и внешняя сила и' рин !ЗЗ и о сов о)7, направленная вдоль о(лл х (рис.
133). В положении равнове(ия тела координата т, = О; радиус-вектор г проведен к телу из точки х = О. Уравнение движения в проекции па Ось х; их».ет вид )пт = — мх — 1)х + го сов о)й Ото!ода получим йрпонен(ле ок(н(7:нсден)!к!и ко.)ебон(И1: х+ 2(Зт+ о)о — — —" сова)7„ (46.1) т где )1 = Ь)7(27п) коэффициент затухания, о)о = „~м7т, собственная частота си( темы. В теории линейных дифференциальных уравнений показывается, что решение уравнения (46.1) имеет ()чедующий вид: х = Аос !'(соа (о)'1+ а) + Всов ((оо — (р) . (46.2) Первое (гдагж)мое является реп!ением уравнения затухающих кол()бкп!Нй и пр()дставля()т «ооой свооодпое («)т) хаю!Нее) кол(Напив с частотой ()' = )))а~~ — !)з, начальной амплитудой Ао и пача.льной фазой (х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
