1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 32
Текст из файла (страница 32)
= — = >15 н уравнение двнжспня 4>> можно записать в и;п.дующсй формс: .ё + с>дх — — О. (42.6) Уравнснис (42,6) называется а»ав>ес>кчсм аирлолпачсеких колебпнп>1. Мы показали, что если тело совсршаст гармонические колебания, закон дни>копия тела (42.1) явллстся рсшсписм уравнсния (42.6). В теории линсйных диффсрснциальпых уравнений доказывается, что вто рсшснио являотся обидим и друз их решений зравпсння гарь>оннчсскнх колебаний пс сущсствуст.
Геометрическая интерпретация колебательного движения. Пусть гсомстрнчсская точка ЛХ равномерно вращается с угловой скоростью с>в по окружности радиуса А с центром в точке О (рис. 12!). Ось х совпадает с одним из диаметров окружности; х = 0 в точке О. Положснис точки Л4 на плоскости в люб>ой момспт времени задав>ся радиусом-всктором А, проведенным к ной из точки О. Точка Х проскция на ось,т, точки М будет совершат гармонические колебания между двумя 176 Мииини сникни нолибинил ~гл. и крайними поло>копиями, координаты которых равны А и А. Действительно, зависимость от времени координаты и точки )51 описывается функцией: ии = А сов ср = А сов (свор + а), (-12. 7) где ср = (свор+а) - - угол, который составляет к моменту времени б радиус-вектор А с осью тп при 8 = О ср = а.
Из ( 12.7) следует, что движение точки Х вдоль оси л имеет характер гармоничоского колебания. Прн атом длина радиуса- вектора А равна амплнту- ~Х де колебания, угловая скорость о>о его вращения— циклической частоте колебания. мол ср = (сооб + а) >и1жду радиусом-вектором А и осью т в момент времени б представляет собой фазу колебания, в начальный момент 151х.'мени 1 = О угол ср равен начальной фазе а. Таким образом„ всякое гармоническое колебание имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Его можно представить с помощью вращающстося на плоскости радиуса15ектора.
Гармонические колебания под действием упругой силы. Рассмотрим спиральную пружину, один конс111 которой закреп.1>ен неподвижно, а к другому прикреплено тело (материальная гочка) массы пс, которое может двигаться в горизонтальном направлении вдоль оси пружины, нс испытывая „Ссйсгвия силы трения нли сопротивления среды (1нсс.
122). Составим ура1>пение движсн1ия тс!ла Рвс. 122 вдоль оси он с1овпадаюпсей с осью пружины. Если за на сало отсчета координаты:г принять положение системы, в котором пружина нс деформирована (положение равновесия), то, согласно закону Гука, проскция на ось л силы упругости Р,, возника>ощсй при смещении тела на 1>ечичину х, 1>дс>на: л'>ири— где >с — жесткость пружины (см. формулу (15А), в которой по- 177 1 лв) Гоумонинеекие нолебоние ложили лв = О).
Напомним, что закон Гука выполнястся, если всличина дс(1)ормации пружины нс слишкОм вс)1ика, Уравнснис движения т(;)а в проекции на ось ас )пв» = Р,лр» )по' = — жг. Это уравнснис можно привссти к виду :г + — га = О. 142.8) )и Сравнивая 142.8) с уравнснисм гармоничсск)лх колебаний (!2.6), приходим к выводу. что движение тола под дсйс)н)исм упругой силы прсдставляст собой гармоничсскос колсбапис с цикличсской частотой О)О, зависящсй от жесткости пружины и массы тола: (42.9) Частота (ЛО пазывасгся собсгпвет(о(1 чвсп)оп)ой ъшханичсской системы.
в данном случас тела. движущсгося под действием упругой силы пружины Рсплснис уравнснил ?42.8): га = А сов ?(ОО?+ а). (42.10) ?'армоннчсская функция ?42.10) представляет собой закон движсшля тела зависимопоь координаты л от врсмсни. Зависимоп)ь скорости гела от врсмсни получим диффсрснцированисм ( 12.10): ?» = —.4(во в)п 1(ОО1 + а) ?42.11) Амплитуда колсбапия А и начальная фаза а могут быть опрсдслсны, осли заданы пачальныс у(вювия дви>ксния, то есть в начав)ьный момснт времени 1 = 0 известны координата тв тола и ого скорость )»О.
Записав начальныс условия в виде системы уравнсний: ')'О = '4 (-ов а1 ?'О = — 4О)О вп1а, найдем А и Ф8 а: рг ()' О + с))) (8а =— и С)о.ео 178 Механические колебания ~ГЛ. !' Энергия гармонических колебаний. В данной главе, посвящс!шой колебаниям, потенциальную и кинетическую энергию тела будем обозначать соответственно через Еп и Е,.
поскольку буквой 7' здесь обозначен период. Зависимость от врсмснн потенциальной энергии Еп тола. совершающего гармонические колебания под действием упругой силы, найдем. воспользовавшись формулой потенциальной энергии растянутой (сж пой) пружины и законом движения (42.10): Ьп = — = — сов2 (!оо4+ а) = —" (1+ соя (2!Ссб+ 2а)]. 2 2 4 (42.12) Кинетическая энсрп>я Ь тела, совершающего гармонические колебания, с учстом формулы (42.11) скорости тела, равна: е а Е„= '"' " = и" и вшэ(!СОХ+а) = "' " (1 — соя(2шсб+2а)]. 2 2 4 (42.13) Из (42.12) и (42.13) видно. что потенциальная и кинетическая энергия изменяются с течением времени по гармоническому закону с частотой 2ыв, вдвое прсвьппающсй сосютвснную частоту системы.
Наибо>>ьшсс вс>зыожнОс зпачснис потенциальной энергии: м.4 Ьп макс— 2 (12.14) Наибопьшсс НОзыож1юс зпа'>снис кинсти'1сской энсргии: ш.1'о>а Ьк макс— 2 (42.15) ,41„- '(,я/й)е кс 2 2 2 Ьп макс. (42.16) Колебания величин Еп и Е происходят около средних за период значений, обозначаемых через (Ь;,) и (Е,) (см. (42,12).
(42.13) ): (Е.) = '-: тхбеы,', 4 (42.17) (42.18) С учетом выражения (42.9) для о>с видно, что Еп макс и Ек макс равны м!ежду собой: 179 Гармониксскис кивсбааиа Средние за период колебания значения потенциальной и кинетической энергии равны между собой; Вычислим с помощью (42.12), (42.13) и с учетом выражения (42.9) для све полную механическую энергию Е тела, совершающего гармонические колебания под действием упругой силы: 1а Е = Е„+ .Е, = — ' совв (сас1+ и) + 2 .,1, - '( мl=)' = — сова (ыюб+ а) + 2 2 12 а " в1п" (све1+ ст) = 2 я1г1~ (свой+ и) = — ' . (42.20) 2 Полная механическая энергия Е тела, совсршиощсго гармонические колебания.
равна Š— = сопвФ, мй 2 (42.21) (42.22) Š— Еи макс — Ек макс Из сравнения (42.21) с (42.17)-(42.19) видно, что средине за период колебаний значения потенциальной и кинетической энергии равны половине 1юлной механической энергии тела: Жд = Ф.) = —,Е. (42.23) где ас жесткость пружины, А — амп.питуда ко„тебания. Энергия Š— постоянная величина.
Этот результат предска:зуем, поскольку упругая сила, под действием которой движется голо, является консервативной, епсдоватсльно, вьпюлнягтся закон сохранения энергии — полная механическая энергия тела сохраняется, При постоянной величине полной энергии Е происходит непрерывное превращение потенциальной энергии Еи в кипетическую Ек и обратно в соответствии с (42.12) и (42.13).
Как ш1сдуст из сравнения (42.21) с формулами (42.14) (42.16), полная механическая энергия тела Е при гармонических колебаниях равна наибольшему возможному значению потенциальной энергии и наибольшему возможному значению кинетической энергии: 180 Мссх)ни )сснис нилсбинил ~гл. и й 43. Колебания математического и физического маятников. Теорема Г|ойгенса о центре качания Х вЂ” — П>О В)П|Р— П)>| с " ' | (13.1) Здесь мы воспользовались прибли>ксииым равенством вш для малого угла |р, гм. рис. 123.
Колебания математического маятника. Под л)итв>ли- ПИШССК))ля Л|иЛПИ>ГИКОЛ) НОПИМаЮт ПОдВГШСццОГ. Па цСВССОМОй исрастяжимой нити тсло (матсриальную точку), способвос под дсйствисм приложенных к исму сил совершать колебания около положсиия рав«о|и)сия. Обы шо хшя|иик совсрп|аст кот|)баиия под дсйствисм силы тяжести. В положении равновесия нить всртикальпа (рис.123). Реальное тсло можно считать матсхлатичсским маятником, 1)сли ого размеры малы по сравпсвию с длиной подвсса (нити), масса велика по сравцспшо с массой ипти, и нить могкио считать практ тически исрастяжимой.
Дви>ксиис маят))) ника в процсссс колсбапия вращсцис материальной точки вокруг исподвижиой горизонта;|ьной оси, проходящей чср|лз т О'|ку подвсса. О Гт Выведем маятник, масса которого |и Р и дл|ша пити 1, цз поло>кспия р|циювссия, отклонив нить от вс1никали на некоторый малый угол )р, и затем отпустив сс (рис. 123). На тсло действуют силы тяжести Р = )1)и и иатягксния нити Рис. >23 Т. Разложиы силу тя>кссти на двс со- ставляющис: Р~ цаправлснпую вдоль пити и Рт псрпсцдикулярпую к виги. Составляющая Р вмсстс с силой ватяжсиия Т вызывает измоисиис направления скорости тола и опрсдсляст величину цсвтрострсмитсльного ускорсиия. Состш)ляющая Рт приводи| к измснспию модуля скорости тола и определяет сто тапгснциальиос ускорспис.
Пусть |г -- измеренное вдоль траектории движения смсщсиис т|ла из положения равновесия. Инвчс говоря, т зто дуговая коордипата, иа 1вло Отс 1ета кото|>ой соотгстствувт положсиин) равиОвссия тола. Проскция силы тяжссти Р па направлснис касательной к трасктории движсция тела в рассматриваемом случае малых колсбаний равна: Ма»ае»еа»»»и'>еекгей и 1!!изичеекий мал»!!»»ики Запишем уравнение движения тола (второй закон Ньютона) в видо 77>а=Г+Т, гдс а — ускорснис тела. Проекция зтого уравнения на направлснис касатсльной! к траектории: 7>>т; = Рт = — щ1»вЂ” Приводом зто уравнсн>>с к виду урш>нсния >а1>ыони»!сивик колебаний: >2+ к:, =О. (43.2) Из сопоставлсния уравнений 143.2) и (42.б) глоду>тг, что движснис математического ма>ггника прсдставляст собой гармоничсскос колсбанис.
Зависимость от времени координаты х колсблюшсгося тела описывается выражсннсм (42.1). Циклическая частота с>с равна: Твсрдос тело„подоси и способное со- Колебания физического маятника всшсннос на неподвижной горизонтальной всршать колсбания около положения равновесия под действием силы тяжссти.
Называсггя ф7>в>>чееск>>>и ме>япишком. Дни>конно физического маятника прсдставляст собой вращение твердого тела вокруг нсподвижпой горизонтальной оси. которую будем называть осью подноса и обозначать буквой (рис. 124). Точку О на осн ", расположсннук> в плоскости дви>кония пснтра масс С тела. пазовом шочкой подвеса >ие>лгпи>лкв. Обозначим буквой и расстоянис мсжду цснгром масс С и точкой О (осью е). Положсннс тола в пространстве задается у>лом <р откло- Рс 124 Псриод колсбания математического маятника: Т = — — 2к!~. (43.4) в>о Циклическая частота н период колсбання зависят только от длины подноса 1 и величины ускорспия свободного падсния й. 182 Мехппинеекие колебании ~ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
