1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ма = Вг момент силы г' относительно оси и. У~л~~~~ ускорение ци.пп)дра, равно 2Е Рис. 99 т!1 Чтобы най!тп УгловУю скоРость св„г пРоинтегРиРУем УРавнеНИ!'. ВРВЩ1)ПИЯ, У П1ТЬ!ВВЯ, 1ТО В Нг1 1ВЛЫ!Ый МОМЕНТ 1ГЛОВВЯ СКО- рость равна нулю. В результате !выучим 2Г! т)г 147 Кинеглсисееиал онергил сгсаердого тела ~ ав) Подставив (36.2) в (36.1), получим е,Саге, (~: .г,'-'1 ) СОг 1СОг 2 2 2 Кинетическая энергия твердого тела, которое вращается вокр1 г неподвижной 11«и„равна Т= (. ) гДе 1 = 2; ссггг,, момент инеРЦии тела относительно оси вРа- .2 щения, со . угловая скорость.
Работа внешней силы. Пусть па вра1цающееся вокруг неподвижной оси 2 твердое тело действует внешняя сила Р. проекция на ось з момента М которой равна ЛХг (рис. 101). Найдем выражение для работы силы, вновь рассматривая твердое тело как систему частиц. По теореме о кинетической энергии элементарная работа 6А всех сил, действующих на частицы, равна оескопечно малому приращению 12Т кинетической энергии системы: е М='1Г,Р 6А = ссТ. 136.5) о1)' Р Суммарная работа всех Мг внутренних сил равна нулю, гак что работа 6А в 136.5) равна работе 6Асг внешней Г силы Р: 6А = 6Аи.
136.6) Чтобы доканать это. рас- Рие. 101 смотрим две произвольные частицы, обозначив нх цифрами 1 и дг. Силы взаимодействия Рс и Р2 частиц друг с другом равны по величине и противоположны по направлению в соответствии с тросы нм законом Ньютона: Р! = -Рв. Пу«ть в процессе движения твердого тела за бесконечно малый промежутспс времени частицы 1 и й совершили персъющения асг1 и ссг2. Работа сил Р1 и Р2 равна: 64ангаи = Р1ССГ! + Р2ССГ2 = Р2(ССГ2 ПГ1) = Р2Стг21.
где 12Г21 перемещение частицы й относительно частсщы 1, Поскольку расстояния между люсгыми точками твердого тела не Динамика»>вар<>ого тала ~1'Н. >к и:исеняются, <1га> — — О. Следовательно. работа снл Р> и Рз равна ыу:лю: ЬА„„,,р —— О. Несколь>су все внутре>о>ие силы эт<> силы с>ос~>но>о взаимодействия частиц друг с другом, суммарная работа всех внутренних сил равна нулю, тем самым равенство <36,6) доказано.
С учетом равенства нулю работы внутренних сил шеорслсн о кпвеш>гсегкоб аисрг>и< в применении к движеншо твердого тела форхсузз>>руотси га>с: 1х>бопл есет пр»лоо>< внии<и и п>елй внешн»т сил 1кшва ярвро>ценою его кцяешнческо>л сшерг>ш. Из <36.5) я 136.6) получим бл, = <Хт. 136.7) Найдем <Х'Г, дифференцируя выражение 136А) для кинетической энергии Т твердого тела: <ХТ = <1( ) = <Х( - ) = УО>,<1О>„. ~36.8) Здесь Х -- момент инерцшс тела относительно оси з.
Согласно уравнению вращ<'нпя твердого тела вокруг неподвижной оси 135.11): И<о, = М,<1С. где ЛХ, момент относительно осп действующей на тело внешне>с силы Р. Тогда из <36.8) ш>лу шм <П = <О>ЛХк<Х1 = — Р ЛХ,<Х1 = ЛХ,<Х<Р, 136.9) <и где <р -- у >:совая коорд><ната г<.ла, <С<р -- у > о.». на который >к>ворачига<",тся т<'ло за, оесконече>о малый с>1>о><е»су п>к врем<.ни сс<, О>а = <Х<Р/Ж вЂ” пйоекцс»с на ось У»новой скоР<кти.
С учетом с36.7) н <36.9) элементарная работа внепшей силы Р равна: 6Ак = ЛХ,йр. Работу А силы Р, совершаемую прн повороте тела на конечный у>ол <ро, найдем вп>есряровавием <36.10): <ро А = ~ ЛХ,<1<р. О я 37. Динамика плоского движения твердого тела Напомним. что плоским называется такое движение твердого тела, прн котором все его точки перемещшотся, оставаясь в параллельных друг другу неподвижных плоскостях. Так. тело Диномиии ало«ного ()оииоонил 149 цил)и)д1Н! юской Формы. Окатыва!Он(ееся с н.!О((коЙ нак:я)ИНОЙ поверхности.
совершает нло«кое движение (рис. 102). Выше было Показано, '1то нлоское дВиж('.ни(", х!Ожно рассматриВать как совокунностыюстунате!!ьно- ГО ДВИЖ(!НИЯ ВЬИ)СТЕ Г 1Ц)О- нзвольной точкой тела н вращения вокруг осн, проходящей чере ! эту то.(ку: ось вращения нернсндику- с У л)ця! а НИО«кости дВижени» 1«м. 3 8). В качестве точки, с которой связывают посту- нательное движение и ч(рез которую нроходит ось вра- Ри«.
102 н(Они», удобно ис!юльзога)ь центр масс тела 1точка С). В этом случае для опи«а)шя движения исполыуют(я два уравнения: уравнение движения центра масс и уравнение вращения тена вокруг оси, проходящей через центр масс (ось в). В соответствии с теорехюй о движении центра масс уравнение его движенн» имеет вид »Т 137.1) (и где Тв — ма(х:а тела. Ъ'о скорость центра масс, г" сумма всех внпнних сил. приложенных к телу.
В системе центра масс выбранная о(:ь вращения г неподвижна. движение твердого гела вращение вокруг неподвижной Осн. Дл» его они«»ни» тн>окно ис!К)льзовать уравнение 135.11) вращения твердого те.,(а вокруг неподвижной осн; 1ф, = ЛХ). 137.2) где 1 момент инерции тела относительно оси вращения в, которая является осью симметрии тела. Д, -" нроекция на ось УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ.
ЛХ> — ЦРОЕКЦИЯ На ОСЬ В СУММЫ МОМЕНТОВ в(ех внешних сил (л(омент сил относительно оси В). Ъ равнение моментов и уравнение вращения в системе центра масс твердого тела. Система центра масс представляет собой движущукхя поступательно шнтему отс н)та„жестко связанную с центром масс тела. Эта система. вообще говоря. нш!не1»!Наин на». ЕДинстгш(нОЙ си)10й инейции. ВО()ника!ОЩВ)31 ВО всякой поступательно движущейся системе отсчета, является поступательная сила инерции, пропорциональная ускорению а системы (см. 3 16).
Покажем, что в сис!еме центра масс сум- 150 Динамика )пеердого тала ~1'Н. 1(' марный момент всех поступательных сил инерпии относительно центра масс равен ну.по. Рассмотрим в некоторой «п)!Н>движпой сист(>м<! ото «)та с <>сими к(юрдинат т«, р). 1 произвольное (не обязательно плоское) движение твердого тела (рис.
103). Ускорение 1и)нтра масс т(>ла .. СистсмапситРа точки С вЂ” равно а. В С системе центра масс у точка С неподвижна а и совпадает с началом системы координат с Ося:1«1 и> у, е. >с(«п«л(>«1- )н< но разделим тело е1В большое чи<ло частиц с массамн тп,. положение которых относительноо точки С задается радиусами-векторами Рис. 103 Г<, 7, " 1Н)РЯДковый нО- мер частицы (рис.
103). В системе центра ма(ю на каждун> частицу действует только поступательная сила инерпии — п<,а. Мох«ент этой силы относительно точки С равен М,„,„= [г,, — то<а). Вычисли!! (уммарпьш а«ОМ(.НТ Мяп (.'ИЛ ИНР1П(ПП: .л! Нсподаижиая система отсчета М„и = ~~) М,„и = >) [г„— )пча) = — [тп,г„а~) = — [,'> тпнг„а] = — [>пгг)„а), (37,3) суммирОваеп!Р вы!К)лниРтс«1 НО ВсР>1 ча(11ицаал тРла. В цепочкР преобразований учли, '«то в соответствии с определением 1(витра ма<и: (см.
(18.1)) имеет мес~о равенство: тп<Г) = '<пг( > Е в котором пи — масса «астпцы> г< — радиус-вектор. задающий ПО;10ж(>ние !ВС1ицы Относ«!тельно нача.1В систРмы координ«1т. ап масса всех частиц (масс тела). г(, радиус-вектор, проведенный к центру масс пз начала системы координат. Так как в рассмат1плваемом (лучае центр масс С совпадает с началом системы координат, то г( = О. Отсюда следует. что правая часть (37.3) равна нулю: (37.4) Мии = О. Динимини плоского Оои))оонил Тем самым пока)апо, что в системе центра масс сумтиарный момент сил ин1)рции Относит1"..и но цент!та масс рав))н нул!О. Это утверждение справедливо не только для твердого тела. но н для любой системы частиц.
3оказанное свойство системы центра масс облегчает использование уравнения моментог. Е1 ли !равнин)п) моментов — '' =М, )Й где Е момент импульса твердого тела, М вЂ” сумл)арный момент всех приложенных к телу спл, записывается в системс центра масс и моменты 1 и М вычисляются относительно центра масс, в правой ')асти уравнения можно пе учитывать момент сил инерции М„и, так как. согласно (37х!), он равен ну.по. Аналогично, ес;п) уравнение (35.11) вращения твердого тела вокруг неподвижной оси )вписано в системе центра масс и о1иь вращения проходит через центр масс, то в неъ1 можно не учитывать момент сил инерции ЛХни, так как он равен пу„по. В частности. зто справедливо для уравнения (37.2).
которое мы применяем для описания плоского движения тела цилиндрической формы, изображенного на рис. 102. Роль силы трения при качении однородных цилиндрических тел. Сплошной однородный пилиндр массы )п и ради!си г скатывается без проскальзывания по НаклонноЙ плоскости, составляющей угол а с горизонтом (рис. 104). КоэффиЦИЕНТ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ между НОР))рхнОстыо цилиндра и наклонной плоскостью ранен )х Найдем ускорение а центра масс точки С„ углОРОО 1скОрсние Д ци:1инДРа и ДЕ)И)ГВУ)ОП)У)О На НЕ1О силу трения покоя г', „в заииситк)сти 01 У1.1а а.
Направим осп и) и у) неподвижной системы коор- Рио. 104 дпнат вдоль наклонной плоскости н перпендикулярно к ней. Ось симметрии ци)пшдра, которая в сис)1)мо) ц1)Итра ))асс ))в)1)итси неподвижной ос) ю вращения тела, обозна 1им )врез -. На цилиндр действуют сила тя- жЕСтИ 11)И, СИЛа ГРЕНИЯ ПОКОЯ Рир И СИЛа НОРМаЛЬНОй РЕаКЦИИ опоры 1Х7.
Уравнение (37.1) поступательного движения центра масс в щ;по ~вп)кн~Й с)п;т1)м). Ото п)та име).т вид П),а = П)И+ Рооа + )Х7, 153 Динамика тоардого тала 11'и. 1м Гдв а = ЕЕкЕС)Е11 "-. уСКОрЕННЕ цЕНтра МаСС. Эта ВЕКтОрНОЕ уранненпе. эквива:пятно двум скалярным уравне1нияке в проекциях на Осн Г1 и й1 нея10дВижной сгн'.Те",ыы коорднпйт: ИЕ а =- Ещ В(п а — Г, р, (37. 5) О = Х вЂ” тпй сов ц. (37.6) Поскольку линии действия силы тяжести пки и силы нормальной реакции опоры Х проходят через оеЕВ вращения в, моме'.нты этих е:и.,'1 е)тн01:и"Еев1ы10 е!си В 1В1Вны нул10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
