1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 24
Текст из файла (страница 24)
как г! вьп!исляется хп>мент импульса системы из двух част!щ. в! Чт!!!б!,! н;и!ти <[>изическ1!о величину, которая определяет скорость измен(ния момента импТЛ! ся (яи:темы !ястРп!. н1к)дн!Тк))ерен!!ыр1 ех! Оо! чя<тн равенства (33.1) по времени. Учтем, что для каждой частицы системы справедливо уравнение моментов сТТ !!!Ж = М;, где М; — сумма моментов всех сил, приложенных к з-й частице. Производная момента импульса системы по времени равна: 131 Зонон она[гонения мо.понто пмссуяьоо с за) Здесь г[ и го проведеш[ые из точки О радиусы-векторы частиц. Вс"ктор га — г[ направлен от первой частицы ко второй и колпин[ )рен с~лам Р[ и Ря, пс)этому в[кторпос- п1»)и)вс.дш[ис ~га — г[, Р)) равно ну)по. Из (33.5) следует, что сумма моментов сич взаимодс[[[с:твия Р[ и Рз двух частиц системы равна пулю.
Пс)с[ксив к[ все пну~».ннис[ силы это силы пс)п ц)ного взаимодс[Ъ твин частиц си[ тс мы друг с др1[.ом. и мох[сит сил в)анмодействия ка)кдой пары частиц др1т с другом, со[шаспо [33.5), равен нулю, то с:уммарный момс пт ~ М;„„,. „всех внутренних сил, дс Г~ств) [Огнях в систс)мох раГ[ вен п,лю: г[ Мс витта — О ° Е (33.6) О Л Мвиошн = Π— = О, В = сОпа1. с[с И) [ЗЗА) с учетом (33.б) име- Г) см Л ув Рис.
90 Ж Г М1вноши ™внпшн ° где через ~ Мсшн)нп, = Мпнвпш ооознанн суммарный момент асс х виси[них [[ил„дс[йству[ощнх на частицы системы, Итак, получено уравнение ясолссснтов [[ля системы частиц: Л = Монс шн ° (33,7) с[[ в соответс'твин с которым производная по времени момента импульса 1 сис;темы равна сумме мохиптов всех вшшпих сил Мвпошн; .'[ействую[цих на час ['иш [.
И) уравнения моментов (33.7) вытекает нинон со;сранения момсптс) ими[о[сот системьс частиц: момен[в импульса 1 вамкнй[пой сссшпсмь[ чве[ггац с тс-[сапсем врсмспси нс изменяеспся '[свара[с яе[пся). Действительно, если система замкнута. то есть впепшие силы о ссУтствУют, то М, п„сшн, — — О, Мвнонш = О, с[1,[[Ы = О и Ь = с)опв1, В некоторых случаях тп)мент импульса системы частиц или его проон!Сия на неко[ор1пс) Ось г[ОГут сохраняться, давке с[сли система пе явля[стоя зах[кнутой.
Рассмотрим эти случаи. 1. Если система пе замкнута, и моги нты внешних сил М,„ноп,н, вообще говоря., отличны от нуля, .по прп этом сумма моментов всех внешних сил равна пуп[0, ~ М) вноп1н = Мвношн = = О. [о как следует из (33.7), момент импульса Ь системы сохрапяс тся: 132 Занони сооо2анснин [Гл. и! Рис. 92 Пример. Летевшая горизонтально со скоростью Ъ"0 пуля массой Еп застряла в небольшом деревянном шаХю массой ЛХ.
Шар подвешен на легком вертикальном стержне, который может свободно вращаться вокруг проходящей через точку подвсса О !11ре!зе!Итальне!й оси [[я!еь 91). Рассмотрим незамкнутую систему тел, включшощую пулю и шар со стерленем. На тес ла системы те'йе'тву!От внешние силы . вертикальные силы тяжести 11!и, ЛХН, сила реакпии е'Х, ВОзника10Н13я В то'1кР ИО,[ге'са стейзжМ ня [величина Ех[ в момент удара пули может б! !ть О щнь полыней). Если:Еа в[!Рх!я уда[1а пуоеи ег ли сте[нкепь не успевает значительно отклоРис. 91 нпться от в![!тика!!и, моменты всех внешних сил ОтноситРльек! то 1ки О [)аВпы пул10 [ли1п1и действия снл проходят через точку Г)).
Следовательно, за вре. мя соударепия момент из[пульса е:истемы относительно точки О сохраняется. Приравняв между собой момент импульса пули перед соударением )г, пМВ) и момент импульса шара с застрявшей в нем пулей1 сразу после соударення [г, (ЛХ + т) ее): [г, 1!Жд) = [г, [ЛХ+ !и) ее~., [г — радиус-вектор, проведеннь!й из точки подвеса О к шару и пу.че в момент соударения, ег скорость шара сразу поеле соударепия), можно опре'делить, нащ!имер, скорость шара после удара пули. 2.
Если про!;кция на некоторую [. неп10дви:кпу10 ек:ь и х!01жнта Ве'сх внешних сил равна ну.по, М„нои„, = [Е,. то, как следует из уравнения [Зо. ! ) В щ!ОРк1[ии па Ось з, 1101!!НЕТ т импулыа Х- системы относительно Осн с сох[ЕВ1юн гся: ( — = ЛХЕ = О, Хг = СОПЯ[. ~Ы... е[Е у М Пример. Подвеппнный на нити шарик вращается с постоянной ско- ени ростью в горнзонтгнп ной плоскости по окрулсности [риеь 92). Покажем. ч[О щ)ОРк1[ия на п[)ОхОде!щу!О Еейоез точку подве са О вертикальную ось и момента импульса шарика СЕ!Х[111НЯЕТЕ:Я В Щ10![РССР ДВИЖРНИЯ. Прог>6раоггеаггис мамонтов имиулеса и силы 'з 34) ен Мвнешн сЕГ = Мвнешн, среян ' ->с !)г О Х вЂ” гопэс,.
3 34. Преобразование моментов импульса и силы при изменении неподвижного начала Преобразование момента импульса. Рассмотрим систе- му частиц, обладакнцих импульсами р> = гп~Ъ'!, рэ = п>з >г'э, ..., рг = гг>,Ъ'Сг ..., где ! уг номеЕ> !йс>ицы. Ъ, ог, рость 1-й частицы, Выясним, как связаны ме)кду собой моменты импульса систс-мы Ьо г, и Ьср относительно двух различных неподвижных точек > ) > > пространства О и О . Пусть г, и г,', Е)йгизус:ы-вектОЕ)ы, )' зйдй1опсис положепис> в ПЕ)0- странстве одной и той же Рвс.
93 гт>1 пп:типы системы относительно двух произвольных яеподвпжных то ик О и О' (рис. 93). Вектор а определяет по- ложение точки О относительно точки Г), поэтому: г,', = а+ г,. О ЕЕа шарик действуют гила тяжести спи и сила натяжения нити Т..1иния действия силы Т проходит через то )ку О, поэтому пле ю с:илы и ес. момс нт Относит! дыло ~о~~~ О Е>йвпы п>спо. Вс ктор момента силы тяжести, М = ~г, спн), где г — проведенный из точки О к шарику всзкторг горизонт!лен, так что момент силы гяжестн относительно оси е равен нулю, Мв = О. Согласно (33.8) момент импульса Ьв шарика относительно оси л должен быть постоянным.
ЕЕа рис. 92 и:зооражен вектор Ь момента импУльса пшРика относительно точки О: Ь = ~гг >НЖ), где вг пос:тс>янная по модулю скорость шарика. Вектор Ь имеет постоянную длину н вращается в пространстве вместе с шйЕплкох! вокруг осп и, опис:ывая >юверхность кругового конуса. Прсп кция на ось к вектора Ь является постоянной величиной. 3. Момспт иьшулы;а системы приблизительно сохраняетсяг ЕС' 1И МО>п Нт Мшгошн ОГЕ>йНИЧЕННОЙ ПО >СОДУ>>К) ВНЕ!ПНЕЙ ('ИЛ! ! ДействУет в течение коРоткого НЕ>ох!е>кУтка вРемени г> се то есть Ь1 = О. Из уравнения (33.7) при этих ус юанях с>ледует: с)Ь =- М,нонн, й, 134 Зинонь( оохйанонин ~Г.1.
Н! Мохн|нт имнгльса ( ист(|мы Относительно ~о~~~ О' 1г! Вен: Ьо = ~~7 [г;,771(К|~ = ~~( [а+ г,;,771|з|71] = — [а|711,'(7,]+~) [г,|7|| Кг] =. [а, (7 771|х1(з+Во =- [а|р]+Хо. гдРр = 2 771!У( и|н(улье сист(мы частиц, ВО = 2 [г|.71(7 ((,] хшмент ихн(узн,са системы частиц Относит(м!Ьно то нги О, знак суммы везде предполагает суммирование но всем частицам системы. Полу пна формула преобразования момента импульса систРм11 гй)и измРнРнии ненОдВижн010 нача|1а: 1о = Ьо+ [а р].
[34. 1) Рассмот1Н|м (шедствия полу и|иной формулы. Следствие 1. Г(г(и импульс р систен|ы равен нули|. мооннг импульса не зависит от выбора точки, относительно которой он вычисляется. Из [34.1) нрн р = О имеем: Ео = В(д. Поскольку нрн выводе [34.1) точки 0 н 0' бь|ли выбраны произвольно, из равенства моментов относительно этих двух точек гл('дует, что момент имну.1ьса ОдинакОВ ОтносигРльно ВсРх нРНОдвижных 10ч(.к. Следствие 2.
В системе центра масс момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой он вьгнп|лястся, Выше было показано [см. [18.3)), по в системе центра масс нмнулы: системы частиц равен нули|. По (шедствин| 1 момент импульса системы частиц в этом (шучае не зависит от выбора точки, относительно которой он вы |исляется.
Преобразование момента силы. Суммарный момент всех внутренних сил. действунлцих |га частицы системы, равен нулю [01!. [33.6)). Найдем формулу преобразования (уммарного момента всех приложенных к частицам системы внешних сил нри замене точки, относит(.льно которой момент вь!числяется [неподвижного начала). Пусть Р, -- р(зультируннцая внеп|няя сила, приложенная к |-й частице, г; и г',.
радиусы-векторы, нроведенньн к |-й частиц( нз нроизвольно выбранных неподвижных точек О и 0 . соответственно: а . радиус-вектор точки 0 относительно точки 0', г', = а+ г, [рнс. 94). Сух(марны|! МОмш1т Всех ВнРшних си|1 Относит(ь1ьнО '10чки О' равен: Мо = ,'| [г, 'Р,,] = ,'| [а+г„Р|] = ~7 [аР|]+~7 [г| Р,] = = [[а ~~~ Р;1+Мо = [аР]+Мо, 135 Преобразоеание моментоо мпульса и силы где и' = 2 и'е вектоРнаЯ сУмма всех внешних сил, действУ- нпцих на все частицы системы: Мо = 2, [гег',] суммарный момш|т ВИСИ|них сил Относит(>льне ~о~~~ О, сул(лп(ровапие Выполняется по всем частицал| системы.
(Рорл(ула преобразования момента вне.шпих (ил при изменении неподвижного начала имеет Г, ВИД М(н = Мс> + [а и). [34.2) Следствие из [34.2): е(ли век- (> торная сумл|а и' внешних сил равна нулю, то суммарный мол|(нт ВнРшпих гпл нР заВисит От Выбора точки, относительно которой он вычисляется. ДЕЙСТВИГЕЛЛЬНОе (>СЛИ Г = О, то из [Зе1.2) имеем: М(р = Мо. Порно. 94 скольку точки О и О' были выбраны произвольно, из равенства моментов относительно этих двух точ(.'к ("1Рдует, что сума|ярный МОМРнт Вн('.Н1них сил ОдинакОВ Относительно всех неподвижных точек. К(ши к абсолн>тно твердому телу приложена пара сил [две равные по величине, но протнвополо>кные по направ.н'нпю силы, линии действия которых параллельны и см(чпены друг относит(льно друга), момент пары сил не зависит от выбора точки о ге чета.
Хе» = , '[гни>, >с,), [34. 3) Собственный момент импульса системы частиц. Ообстаепп(о(м ли>миятом пмпрльси системы частип называется момент импульса, рассчитш|ный относительно любой точки, которая не|юдин>хна В сис|еме пс>гП>а масс. Согласно с.ндствин> 2 формулы [34.1), собственный момент импульса не зависит от выбора точки, отпосительяо которой он вы"пн(ляется [неподвижного начала). В частности, его можно вычи(пять относи- 'Г(ц1ьнО цРнтра мас(' сист('мы |Истиц. Рассмотрим две системы отс нта .
неподвижную с осяыи координат т>.(||,г( и систему центра масс с осями:г, р, в; начало которой . то рка С совпадает с центро>| ма('с систел|ы частиц [рис. 95). Найд(|м Связь л!Р>кд> моментом импулы;а Е~>, Вычис— л(|пн||м в ншюдвижной спет(|ме Отс |Рг> относн1( льне некоторой неподвижной точки О пространства, н собственным моментом имп1ьп са В„о(, систРм| 1 частиЦ. В соотВ('.тствии с ОНРРДРлениеа! молп.нта, ил(п>ль(а си('т(-мы: Зоконн( оохйиигнин ~ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
