1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 19
Текст из файла (страница 19)
О 0' б Ряс. 67 3. Потенциалысая энергия частицы определена с точностью до произвольной постоянной величины. поя«пим смыл ! ~~о~о утвсй)хкдс)пия. Заки)ним точку О пач)тла отсчета потенциальной энершш на другую точку О' и выразим потенциальную энергшо Г)', начало отсчета которой находится в точке О, через потенциальную энергшо Г)', начало отсчета которой в то )ке О. С этой целью вы пялим работу сил поля АРО ири перемещении частсщы из ирои:)вольной точки Р в точку О по траектории Р— Π— О', проходящей через точку О (рис. 67 б): (7' = Лро = г41 о+ Лоо = 1) + С. (25.7) Здесь Гн = АРО потенция.лыгш энергия, начало от«челн которой находится в точке О', равная работе сил поля при перемещении час"!ъщы по произвольной траектории из точки Р в точку О', Г) = Аис) -.потенциальная энергия, начало отсчета которой находится в точке О, равная расботе сил поля при перемещении частицы ио произвольной траектории из точки Р в точку О; О' С = Лс)су = / и'11г работа сил поля, совершаемая ири ие- О ремещении частицы из точки О в точку О): величина С зависит только от иолоткс;еи1я то кчк О и О и ИР завис'ит от' тра!!кто|и!и перехода.
104 Закона( оохйананин ~Г.1. П! Равенство (26.7) означает. что при нзмепешли Начала отсчета О на О' потенциальная энергия 17 частицы в произвольной точке Р поля изменится на величину С' п стан(зт равна ср. Ве, пгшна С не завн(пт от положения точки Р. Следовательно. Прп изменении начала Отсч()тй потенциальная:энРЙГпя ВО вс('.х то 1«ах поля а!()ня(ггся нй Одну и ту жР вю(ичин(' С . Поскольку начало отш)ета потенциальной энергии выбирается произвольно, можно утверждать., что потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной вели и!ны. Й 26.
Вычисление потенциальной энергии частицы Д)!я в( ! П«нзния !«)т(".ИцийльнОЙ эперг)п( Ейстицы в копсервйтпвном (Вьловом поле, в соответ(твин с опредн«;нпем (25.1), п(.обходимо прндержпвьегься (следующей схемы: 1) выбран положение начала отсчета потенциальной энергии, то есть точку. в которой поте(щивг1ьная эпРЙГия шстицы ('Н1тйе.'т('я 1)авнОЙ н('лю '(точка 0): 2) вьгп«!ить работу спл поля, соверш!«)мую при перемещении ча(тнцы по произвол ной траекторнп из точки Р поля в нача.ло отсчета потенциальной энергии " точку О. Полученная величина равна потенциальной энергии частицы в точке Р поля. Потенциальная энергия в однородном поле силы тяжести.
Частица массой т находпгся в точке Р однородного поля силы тяжести. Направим ось и д()кйр!Овей (и«:!((мы координй! Н(Й)тпкально вверх, координатную плоскость ху совместим с поверхностью Земли (рис. 68). В кй«1«)ве нйчй:!В Отсчета потенцийльной )н('ргнн выб(',$)см '1'о'!ку 0 начало декартовой системы координат. Потенций.,п пая энергия ь( пн:тицы в Точке Р пол)! Рйвнй Рйботе Ар() си- Х !ы '(яжести. (««5(рп1ги!ЫОЙ 1ЙИ! Ис~)сн!Р" Рис.
бб щенпн частицы нз точки Р с координа- тами:г. у, и, в точку 0 с координата11и хо = Йо = ЯО = О. Вош«)льзовавшись Ч)ормулой (21А) для вычнш«ния 1)йботы сил!! тяже)сти, (и!ред()лпм пот((нциальну!О энергию: С( = Аро = тй (и — яе) = тн и. (26.1) Рйбо)а си:!ы тяже(-)н гпьо1Я вЂ” зо), В ("«лова!Н)п,но, и потенциальная энерГия нР пзменятся, е)с;)и НРЙРЫ()щйть частицу и:5 точки Р не в начало системы координат (точку 0), а в любую Вьггггсггение потенциальной онеги«иге чатаицы другую точку плоскости ту, так как здесь везде -в = О.
Следовании но, в кап!ство на.гас!а Оте'чгэта иотенцисс!ьной эне1ггин в однородном поле силы тяжести можно рассмат- и ривать спобую точку этой плоскости. Согласно (26.1) потенциальная энергия частицы в Одн01)однОм поле си- О е лы тягкссти зависит только От Одгюй. Ве1)тикальной коордгп!аты в.
График зависимости ЕУ1в) представ- .11;н па 1гис:чике! 69. Рвс. 69 Потенциальная энергия тела в гравитационном поле. Рассмотрим частицу маеты пг, расположенную в точке Р на раг'стоянии г от ноподвижного тела (мате7риально11 точки) массы ЛХ источника г1гавитационного поля. В качестве на !и;га отсчета потенциальной :энергии выберем точку О на бесконг'чно болыпом е!\ удалении (ео = оо) от тес ла массы ЛХ. Потенциальная эпе1ггия сг !истицы в М ео =" о то псе Р поля равна работе Лгсг гравитационной Рнс.
70 силы., совершаемой ири перемен!енин частицы из точки Р в точку О по произвольной траектории (рис. 70). Вычислив работу гравитационной силы по формуле (21.6), найгдем 1ютенцнази*ну!о энергию частицы: Г 1 1 1 111777 ХХ = А1 о = 7М711 !Ч вЂ” — — 7! = — 7— ео со 7' (26.2) Ка!с сз1едчет из Н01!учегнного выражения (26.2), если начало отс и!та потенциальной энергии точка О выбрано «в бесконечностио (гсг = Ос) . потенциальная энергия тела во всех точках пространства отрицательна. График зависимости потенциальной энергии частицы Рвс. 71 106 Зиноние сохрининни )гл. Н! от расстояьшя до центра гравитационного поля представлен на рис. 71.
Потенциальная энергия тела в поле упругой силы. Рассмотрим одномерное движение в поле упругой Г'илы. Пусть левый конец п)ризонтально расположенной сшц1алып!й пружи- Н11;лелкрелп:1Г.Н., а Г: праОГл. — О) РГЕ) вым свободным концом свя!лана ластица А, которая может перемещать- Г:я вдоль о!и х, совпадающей с осью симметрии пружины (рис. 72). Ко!- Ряс. 72 да прл жина не деформирована, частица 21 находится в точке О с координатой Гх =- О.
Примем точку О за начало отсчета потенциальной энергии. ПОте.'нцпальная энгр!"ия Г7 частицы в произвольном положении Р с координатой х равиа работе АРо упругой силы. совершаемой прп перев!ещен1л!л частицы из точки Р в точку О. Работу упругой силы вычислим по формуле (21.8): ГГ=А о — — (хр — х'Г1) — " 2 2 (26.3) Здееь ос жесткость пру- О х жины. График зависимости от координаты:г потенциальной энергии ьГ частицы в поле упругой силы представлен на рис. 73.
Модуль х равен величине удлипепия исш сжатия пружины. 'й' 27. Связь потенциальной энергии и силы поля. Эквипотенциальные поверхности Пусть частица находится В консе!РВативном Г'нлОВОм ПОле. ЕГли зависимость действующей на частицу силы и от координат х, у, х точки поля Р, в которой находится частица, известна, легко найти потенциальную энергию П (см. (25.1)): Г) П(х,у,х) — ) г Г(г, Связь поп)снинильнон онсуиии и силы поля 107 где интеграл вычи(ляетгя вдоль прои)вольной траектории между точкой Р и то «кой О началом отсчета потенциальной энергии. Посташ«м другую зада «у.
Пусть задана потенциальная энергия 11 как функция почо кения 'Г1стиц«1 В поле.: с) = с«1х) у) я). Нужно опрсде:шть силу, действующую на частицу в каждой точке пространства. Для этого достаточно определить компо- НЕНтЫ Ги. ГУ, Ги ВЕКтОРа СИЛЫ Г' В ДЕКаРтОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИ- нат. Как было показано выше (си«. 125.3)), раоота сил консерватнВного поля при !И«ремРщении чапт1щ11 из про«гзвольнОРО начального в произвольное конечное положение равна убыли ее НОт(енциальнОЙ э«п',ргип. Это сВОЙстВО ('прйВсдл««ВО, В тоы '1исле, и для элементарной работы сил полл на перемещении дг, то Р('т1 е(''1и наченп нос и кОне! 1Иое !П)ложе1П1я частицы рагпо!ОжР- ны бесконечно близко друг к другу: бА = Рдг = — (1б«, 127.1) где (1᫠— бесконечно малое приращение, ~ — (1е)') — убыль потенциальнойй энергии частицы.
Скалярное произведение Р дг равно: Р(1г = Гид:г + Гу(1У+ Г. (1и. 127. 2) Где Ри. 1'",, Гя КОЫПОНЕНтЫ ВЕКтОра Р, д(С, (1у«. (1» — КОМПОНЕНТЫ вектора дг в декартовой системе координат. Из 127.1) и 127.2) получим: Г дх + 1'„()у + го (1я = — дь«(х) у) я). 127.3) Чтобь« опреде.п«ть компоненты вектора силы, поступим (;«еду10щиы Ооразоы. Пусть, сОВершая э.п:м(«птарнос 1н«РРЫВ1це«шеь частица движется параллельно оси х 1вектор дг параллелен о('и х). В этом ш!у !ае координаты у п» т(с!а 0(та!Отея н(1«г«ме".Нпыми (у = сопв1,, » = сопв1), поэтому (1у = д» = О.
Равенство 127.3) при 1 каза!шОы у('тОВНН иы('.е)т ('ч(«дз 10И«ий Вид. Ри "1» «(1Г«««) у: Х))УЙ=сои(( ° От(!Оде! находим Е,: = — [ ~'~х'У' )1 = — 'ех'У' ) 127 1) ~ «ь =сопи( (Чс где дП,)'дх так называемая «астная производная функции Г1хлу,») по переменной х 1чтобы вычи(л«гп де)',)'дх, нужно найти произвол««у«0 функции П~хту,я) по х., с «итая переменные у и я постоянными параметрами). 108 Зинонъ) сохринснин ~ГЛ. И! Аналогично можно иоказатлн что компоненты силы Ру и Рс равны взятым со знаком минус ластным производным функции потенциальной энергии ио соответствуюпсим координатам: ~дГ(х,у,с) 1 — (27г ) ду ~..
. ду он=соко! Г = — ( ' ( "У' ) ) — — — ' 'У' ) . (27.6) 7 ( с1с г,у=сопл! до Зная заВисимость иотее1циальпОЙ энергии тела От коордй1нат, ио формулам (27А) (27.б) легко найти компоненты силы, дей- ствующей на частлщу в любой то па пространства: ди ду Вектор силы Р можно представить в виде: Р = — ~ — 1+ — л + — 1с7), Е дГ. дГ. дГ (27. 7) дг ду дс где 1, 1, 1с — орты осей л, у, В декартовой прямоугольной системы координат.
Градиент скалярной функции. Грод!)ентодс скалярной фуепсции (7(и, д, В) (обозначается йгас1 (7) называется векторная функция. которая ио определению равна: йгас1(7 = — '1+ — 1+ — '1с. дГ. дГ. дГ ди ду д 1'радиепт представляет собой оиерсииор, то есть правила, ио которому всякой скалярной функции 17(уа у, В) ставится в соотВетс:тВие Вс'.кт01и1ая функция тс.'х )ке! ислрс)мс)нных. Формально градиент функции 17 хюжно представить в виде произведения векторного оператора )) (называется нибли) па саму функцию: )с = — 1+ — 1+ — 1с. (27.8) ди дч' д= 81ас1 17 = Т7Е1 =- ( — 1+ — ) + — 1с) 17 =- — 1+ — 'л + — 1с. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
