1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Учитывая, что А>г = О, А„„= 7>)ф) (см. предыдущий пример), получим >пй)1+ Ар,р = О. Следовательно, Арв(> = — и!Ф!. й 23. Преобразование кинетической энергии при переходе к другой системе отсчета. Теорема Кенига При переходе от однои системы отсчета, к другой скорость частипы. вообще говоря, меняется. Следовательно, меняется и величина кинетической энер(ии, когорая:)авпсиг от скорости. Аналогично обстоит дело н с кинетической чнергпей системы частиц.
Рассмотрим систему частиц с массами )п( и скоростями Ъ', (1 ПОрядКОВЫй НОМЕР ЧеотИПЫ) В НЕКОтарОй НЕПОЛВПжПОй СИ- стеме отсчета Я!. Точка О . начало другой, поступателып> дви- жущРЙ(и! син1емы Отсчета Я. Ъ (> — око!)0(егь (апггемы Ь ОтнОсительно системы О). Согласно закону преобразования скоростей (см.
формулу (12.2)) скорость частицы Ъ',; в системе отсчета (5'( Сия'.)ИНа СО СКОРОСТЬЮ Ъ>ава ТОй Ж(". ЧеСТИНЫ В СИСТЕМ( Я СООТНО- шснпех(: Ъ > — Ъ О + Ъ !оти. 4 А.Н.Леденев Зппопоь пол ропенпп ~г»!. и! С ! четом этого соотношения преобра:!уев! выражепиь! для кинетической энергии Т сиь:темы чалтип в системе отсчета Ьь! т С ь»»,ъ', Г ьп, (ъ' ч-'ьь„„.з 2 (к- -) "к-',- = ьп!йь» % ' п»,1',, „пА;» + Ропп и О +,Р + Рот»»~ГО + то»пь, 2 2 2 где ки = '~ гп» масса системы частиц, Ро»п = 2, гп,Ъгь„,„итьпульс системы частиц в движущейся системе отсчета Ь, то»п = пь\ кинетическая энергия системы частип в движу- 2 щейся ь:нстеме отсчета 5': суммирование ведется по индексу ь, который пробе!нет все возможные значения номеров частиц си!:темы.
В результате показано, что кинетическая энергия Т в системе отсчета о! связана с кинетической энергий Тп,„, в поступательно движущейся системе отсчета Я формулой: т = "'~" + роппуо+ то„,. (23.1) Пусть о' является системой центра масс. Тогда скорость Ъ о равна скорости»Лег пентра масс системы частпп. импульс ро,„, равен нулю (ст!. (18А)). В этом случае равенство (23.1) упрощае'!'ся: п»1'с , о + тоти ° 2 ~23.2) Формула (23.2) подразу левает следующее ь,теь»рель»! К!!!ил; ги); кннеьннческуьо эне1»гьььо Т сьшьпемы "ьасниьиь, моэьсььо !!рсдс!а!>вьннь как сумму двух слигиемых: а) кььнепььь"ьескт»й энергии ь»ьХ;,/2 воибрпэкпемий мьлпьерььььаьььь»»1 пьо"пьп, льисси кьипьорсн1 ранг!и массе вь:ей с!леть»мь»ь,. а скь»рь»сть совнидиепь со скоросриььо цьпьпьупь мисс,: б) к!ньен!!! ьескь»й энергьиь т»,„с!лен!ел!в».
часпььльь, въиплсленнэй в с!льни!ел!с ценпьра мисс. Приме1». Рассчнтсим с помощью тео1»емы Кенига кинетическую энергшо тонко! генного пплипдра массы ьн, который катится беь проскальзывания со скоростью 1л по горизонтальной поверхности (рис. 63). Цьпьтр»пн:с С цилиндра, движется !о скоростью Ь»: 1с= и Силовое поле.
Консерваснавнне сали Условия скорость вращения цилиндра равна: 03 = —, Й' где Л вЂ”. радиус пилппдра. В системе центра масс пилнндр вращается вокруг неподвижной оси, которая является его осью симметрии, В этой системе отсчета скорости Ъ'„тн всех точек стенок цилиндра одинаковы и равны Г: 1 отн = свн = 'е', Кинетическая энергия цилгпсдра в системе. центра масс; у пЛ',„, си 1' отн Рвс. 63 Согласно теореме Кецига кинетическая энергия цилиндра р саню Й 24. Силовое поле. Консервативные силы и их свойства Силовое поле. Если на частипу в каждой точке пространства действует определенная сила, то всю совокупность сил назывгпот силоам,м полем.
Если силы не зависят от времени. силовое ноле нюывается ствциоивривсм. В дальнейгпем будем рассматривать ттюько стационарные поля. Примеры, Тело массой гп, распололсенное вблизи поверхнск:ти Земли, испытывает действие силы тяжести гпи. Величину и направление силы тяжести можно считать прибтнзительно одинаковыми во всех точках пространства вблизи земной поверхности.
Говорят, что тело находится в однородном поле силы тяжести. Планеты Солнечной системы находятся в гравита|щонном поле Солнца. Электрон в атоме водорода движется в кулоновском поле атомнгн о ядра. Силовой линией поля называется линия в пространстве. касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с: дсйству1още.'й на частн1цу сизой. Гус гота линий препкдппеонж~ьна модуепо силы. Силовые линии сгднороднсп о поля силы тяжести это распололсенные на одинаковом расстоянии друг от друга вертикаль- 100 Законы анераненин ~гл. и! Рис. 64 А) -в ь )=А! -г+Ая ь<.
(24.1) Работа АВ ь 1 < пл поля при перемещении частицы из точки 2 в точку 1 по участку Ь раппа по ве.,)ичип<! и противошыожиа по знаку работе спл поля при обратном перемеще)пи< из точки 1 в точк)' 2 по тохг< же < чистки Ь: Аг-ь-1 = — А) ь-в. (24. 2) пые прямые (рис. 64 а). Силовые линии гравитапиопиого поля, кулоиовского п<щя что семейство пересекающихся в одной точке (силовох! пентре) прямых (рис. 646).
й !Консервативные силы и их свойства. Ке)нсерепгппвиым наз11- вается поле. в котором соВер!паеь1ая 1ц)и 1герсх«)- Поверхность Земли игенув частипы из ПРО- б изволь«ого начального в произвольное копечпое п<ложение работа сил поля ис завися'! От 4)ормы траектории и характера движения, а определяется только пачальпы.,< и копечиых< пол<»к<.)п<ех! част)п<ы.
Сизы ко)«:<6)вативного п<ыя к<тсераптиеные силы. Как показано выше (см. формулы <21А). (21.7)), копсервативными являются однородное поле силы тяжести, ноле гравптациоииой силы. кулоиовское !«)ле, поле упругих сил. Моисио доказать, что Всякое", ценп)1х!лы<ое по)1е является консей)вативным (в центральном поле действу«пцая на часпщу сила, зависит только от расстояния до точки. называемой пентром поля, и иаправлеиа вдоль прямой, проходящей через центр поля.) Пример сил, которые ие являются консервативными. — силы трения.
Работа с)шы трсиия зависит, в частности, от длины пути ~см. формулу (21.8)). Покажем, что при перемещении тела в консервативном пос«1 риботп консерепппьвнь!к спл, нп зпл!кнр)вой тпраекторип равна нрлло. Пусть частппа движется по замкнутой траектории 1 а 2 Ь 1, где точка 1 .. начальное положешщ тела, точка 2 -- произвольпое 1Ч)смежу"гочпо<! По)!О)к<!Ппе, Оукв и!и и, и Ь Обозпач<)пы участки тра< кторпи между точками 1 и 2 (рис.
65). Работу сил воля на замкнутой траектории 1 а .2 Ь 1 можно представить как сумму работ на, двух ее участках 1 — а,— 2 и 2 — Ь вЂ” 1: 101 Потеициаяыная инерция частицы и ее сеайстеа Равенство (24.2) следует из соответствующего равене:тва для элементарных работ. Зей< твительно, при движении частипы пз Рис. 65 точки 1 в точку й элементарная работа на нексхтором участке дг р еввт (рис бб а) бАе ь а = Г Аг, При обратном движении частипы из точки й в точку 1 на том же участке траектории сила Г осталась прежней, а знак перемещения изменился на противоположный, — с1г (рис. 65 б).
Элементарная работа также изменит знак: ЬАв ьч — — Г( — е1г) = — Гс1г = — ЬАыь-а (24 3) Сложив между собой равенства (24.3), записанньп", для всех элементарных участков траектории между точками 1 п 2с, полу- 1 <24.2). Преобразуем (24.1) с: учетом (24.2) и равенства Аг а в = Ась.е, вытекающего из определения консервативного поля: А~ „аь ( =Ассе — Ае ь в=О.
что и требовалось доказать. Аналогично доказываетс:я об1ьатное утверждение: е:сян работа сця поля на эпяекнутое1 трсетторте регана нуянб полк .явля; ется консервативным. й 25. Потенциальная энергия частицы и ее свойства Пусть имеется консервативное силовое поле. Частипа ращюложепа в точке Р пстя с координатами т, у, я.
Выберем произвольную точку О поля (ее координаты яе, уе, ее), и назовем ее на нилом отсчс.та потенпнеьльной эне1~гии. В точке О потенпиальная энергия частипы равна нулю. 102 Зинонн( с()хранения ~Г)!. П! По!Нен(1((алы!о!1 энергпеб П частицы в точке Р консервативного !ю;!я назьп)антея работа си(! ноля, сов()1нпаемая при и(",р("- мещенин частицы пз данной точРби у,7) ки 1' в точку О, принятую !а на- П иая '!НЛО Отсчета потшп1ивльнОЙ энерия гии.
51 = ~ Р(1г, 125.1) Р 01яо,уо*яв) Где Р сила поля; интеграл выпплястся по произвольной траектории между точками Р н О '(рис 55). В силу свойств консервативного поля интеграл 125.1) нс заВи(ит ОГ (1)Орыы траек10рии и КЦ)акп)ра движения 1ас1ипы, и определяется только положением точек Р и О в пространстве. Свойства потенциальной энергии. 1. Потеици!ь!ы(ая энергия является функпией только координат х, у, и точки поля. в которой расположена частппа: 5Г = 1) 1х, у, в) . 125.2) Доказательство. Поскольку поле консерватш)ное, интеграл в 125.1) зависит только от положения точек Р и О, то есть только от координат этих точек. Поэтох(у 5Г = 5(1т:, у,в,хе,уе, .В).
Полон(ение точки О фиксировано, поэтому ее координаты хе. уе, ве можно рассматривать в качестве параметров функппи ЬГ. Следовательно П зависит то„п ко от трех переменных х, у, и. 2. Работа А!2 спл поля цри перемещении частицы пз произвольного начального в произвольное конечное положе!Гие равна убыли потенпиальной энергии частипы: А ! 2 = ~'71 ~' 2. 125.3) Здесь 1)1, с(2 потенциальная энергия частппы в начальном п конечном положениях. Д О к а '! и т е. и ь с т В О. Пусть '(истица переые!дается 1!ч нача.,1ьноГО 1то н(а 1) В к(нп'зное 1то !ка й) !ю.!О)кен!н! НО дВум траекториям, одна нз которых проходит через точку О начало отсчета потеш!иальной энергии (рис. 67 а).
Работу сил поля на этих траекториях обо:)начнм через А! 2 н А! () в. Поскольку поле консервативное, величины А!2 и А( () 2 равны друг другу: АГ) = А! о в. 125 А) ~) зв) )7ап)гнили)синая энергия наг)паин и гг гаайсанаа 1!)3 Представив Лс о в как сумму работ на участках 1 -О и О й т$)ас)кто1И1и 1 — Г) 2. иолу'псы Ас о а = А) о + -4о в = А) о — Аг о (25 5) По ОИ1)РЛРл!сгнию иотРнцняльной энс!1)гии: -41-О = Г)1 г АГ-О = ГГЗ. (25.6) Из равенств (25.4), (25.5) с у п)том (25.6) следует (25.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
