1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Для неограниченной силы утверждение" несправедливо. 79 Тсорсма о с7ииосссснии цсоиира мисс 1 18) Пример. Во время взрыва в воздухе артиллерийского снаряда на него действует внешняя сила сила тяжести. Время взрыва ма,чб, так что импульсом силы тяжести можно прснебре 1ь. Следовательно, импульс снаряда непосредственно перед взрывом равен суммарному импульсу образовавшихся оскочков сразу после разрыва. В заключение отметим. что в данном параграфе:1акоп сохранения импульса был выведен ич законов движения Ньютона (см, формулу (17.7) и счсдующий за ней секст). Существуют физические системы и ооьекты, для описания поведения которых законы Ньютона пе применимы.
Это, например, взаимодействующее с веществом злсктромагнитнос излучение. Как показывает опыт, закон сохранения импульса справедлив и для таких систем. Являясь фундаментальным законом природы, закон сохранения импульса обладает большей общносчсю, чем законы к,часси и ской механики. й 18. Теорема о движении центра масс РаССМОТ17ИМ СИСТСМУ '1аСтнц С ЫаССаЗЛИ 7П1. 7пгп ..., 7Пс, (7 порядковый номер частицы). Положения часггиц в пространстве,:заданы радиусами- вскторами г1, гя..,., г,, ..., сои проведенными из на 1а са системы координат (рис. 51).
ЦЕ71771РОМ .МПСС 71ЛН ЦС1Н; тром инерции системы частиц называется гсометри и скан точка, положение которой в пространстве опрсделсно радиусом-вектором гоп гн гс: = ~ ' ', (18.1) П7 где 7п = 2 т, . масса системы, суммирование проводи гся по всем частицам системы. Центр масс обладает ря- Рис. 51 дом важных свойс1в.
1. Импульс р системы частиц равсн произведению массы т системы на, скорость чгсс ее центра масс: р = тУсз. (18.2) 80 Законы сохранения ~гл, п! Доказывается это соотношение дпффг,ренцированием по времени обеих засгсй равенства (18.1): ааь ас еп т п2 1п что и требовалось доказать. 2.
Центр масс замкнутой системы частиц движется равномерно и прямолинейно. Действительно, если система замкнута, се импульс сохраняется, р = сопа1. Из (18.2) следует, что скорость згс центра масс в этом случае постоянна. 3. Сформулируем теорему о двизкении центра масс. Центер масс системзн чиспшц двион:ется как язигпериильная тпочки, в которой, заключена мисси всей системы, и к которой прилсзмтнзя сила, ровная сумме.
всех внкипних сил: лес 7гг =- х внешн ° аг (18.3) где' хвнешн = Ехевнешн:, игвне1нн — сумма веех внешних сил, приложенных к 1-й частипе системы. Доказательство теоремы получается с покгогцью дифференцирования по врепзгни обеих частей соотнопзения (18.2) и с учетом равенства (17.7): П «йр ГП вЂ” = рвнешн. Ж А Система центра масс. Для описании движения иногда удобно использован сисгему отсчета, в которой центр масс покоится.
Гно>за рассмотрим систему частизк Систгзлсой центра мисс называстс:я жестко связанная с центром масс система отсчета, которая движется поступательно по отношению к инерциагзьнойз системе ото юга. Указанная система отсчета обладает рядом интересных свойств. 1. Импульс системы частип в сзитеме центра масс равен ну.но: р = О. (18.4) Поскспьку в системе центра масс скороси центра масс равна нулю, чггз = О, то в соответствии с (18.2) импульс системы также; равен нулю, р = О 2. Если система состоит из двух частиц, го их злмпульсгя рг и ра в системе пенгра масс равны по величине и противоположны по направлению: (18.5) Рз = Ра.
81 Двилсгвие пыла е гггтгамввггой массой 'г 19) Действительно. импульс системы равен суъгмс импульсов частигт: Р=Р~+Ря. (18.6) В системе центра масс импульс р систсмы равен нулю (см. (18.4)): р= О. (18.7) Из (18,6) и (18.7) с юдует (18.5). й 19. Движение тела с переменной массой. Реактивная сила В настоящс м пара рафе, как и во всех предшествующих, рассматривается .движение гсл с малыми по сравнению со скоростью света скоростями. 51асса лвижутцегося тс па мсняс тся только за счет потери или п1ттлобрететгия вещества. Например, падение дождевой каггли в перссьпцснном водяными парами всгздухе сопровождается увеличсниетл массы капли:та с тет процесса конденсации. Масса лстящей ракеты илп самолета уменьшается встледствтле сгорания топлива.
Уравнения движентля тел с псременной массой не содержат ничсто принципив тьпо нового, по сравнению с законами Ныогона, и являются сщедсггвиямп этих законов. Ъ равнение Мещерского. Уравнение движения тела с персменнотл массой впервые было гголу и;но русским механиком И.В. Мегцерским (1859-1935), н носит его имя. Выведем это уравнение па примстре движения раксты. Приншш действия ракеты прост: ракета с боттьшой скоростью выбрасывает вещество (газообрнзныс' продукты сгорания топлива), которос с силой воздействует на ракету и сообщает сй ускорение. Предположим, чго на ракету действует внсгпняя сила Р.
Это может быль сила тяготения, сила сопротивления среды, в которой движется ракета, и пр. Рассмотрим движение ракеты относительно неподвижной инерттиальной систс;мы ото тета. Пусп в момент времени т.(г) масса ракеты, Ъ'(г) . ес скорость, ссгпо' . импульс ракеты. Спустя промежуток времени 111 масса гп и скорость Ъ" получат приращения г1гп гт гЮ, пргл этом гйн -- величина отрипательная, так как масса ракеты уменыпается за счет сгорания топлива.
Импульс ракеты станет равным (гп + с1гп)(К + с1Ъ'). 82 Зано»»а» сохранения ~ГЛ. П! Импульс образовавшихся:за промежуток времени Ж газов равен »171»»аз а»азз гДс »177»»а, — масса газов, зг„„, скоРость газов в нспоДвижной систеа!е отсчета. Масса оорес)овавшихся газов равна убыли массы ракеты: »»тсаз = — !177». Приращение импульса системы, в состав которой входит ракета и обра:зовавшиеся )а время Ж газы, равно импульсу внешней силы Р: »1Р = (7)1 + Я»771)(Ъ'+»1 )Г) + »177»ха)К,нз — п»У = Рг»». Раскроет! скобки, пренебрежем малой величиной»1п»»Юз заи!'ниа! !171»сиз на — с»77», и ввсдех1 О'1носительнУ10 скойость ист!"1сния ~азов из ракеты Уоен —— а»аз — Ъ'.
В ре)ультатс имеем п»»1)»' = Ъоха»17н+ Р»11. Поено деления обеих частей равенства па гй окончательно ПОЛУ »ИМ (19.1) »Й»Й Уравнение (19.1) называезся уравнением движения тела с тгре.тиной массой уравнением Мегде1)са>оао. По форме уравнение 119.1) похоже на уравнение второго закона Ньютона.
Отличия состоят в следующем: а) масса т тела (а!атсриаяьной точки) явтшется функцией времени; б) кроме действующей на тело внешней силы Р в правой части уравнения имеется слагаемое »7»н Ъ'„х„—, »»! кото1зос называется рсяк»1»71»»7»ой силоЛ,.
Это ст»агасмос может быть нгтслконяно кяк гиля, с которой )гсйсггну»о» ня, рякггу вытскак)щис из нес газы. Формула Циолковского. В качестве примера использования уравнения Мсщерско»о применим его к движению ракеты, на которую внешнис силы не действуют. Положив в (19.1) Р = 0 и умножив уравнснис па с»1, получим гн»1К = Ъ»о»,зз »17П. (19.2) Допустим, ракета движется прямолинейно.
Учтем, что век- тОР 'Ко„СКОРОСтн ГаЗОВ НаПРаВ)»ЕН ПРОтИВОПОЛО>КНО ВСКтОРУ Ъ' Пйаееденнан масса скорости ракеты (рлллс 52). '1огда уравнение (19.2) в скалярной форме будет иметь вид лплЛ' = — 1'„,ийт, (19.3) где 1~се„л модуль относительной скорости газов., Ъалл| ) О. Рис. 52 я 20. Приведенная масса Рассмот1лихл замкнутую систему их двух взаимодействующих между собой частиц с ллассами тл и те.
Запишем уравнение движения для каждой из нпх: й гл лпл —, — — и'л., Ме и ге лллв, .— — Рве 4Ле (20.1) (20.2) где гл и гв — радиусы-векторы, проведенные к часгипам Предположим, что относительная скорость газовой струи 1' н не лленяется во время движения, то есть 1'иги = голлями. Проинтегрировав прн ятом условии уравнение (19.3), найдем зависимость массы ракс ты от ее скорости: пл = лпоехр ( —— Г (19.4) — ), где лпо .
масса ракеты в пачальпьш момент времени, когда ее скорость 1жвна аулки Соотношение (19.4) называется формулой Циолковского (1857--1935). Формула (19.4) позволяет ллллллнллть относительный запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной скорости Ъ'. Допул титл. ракете надо сообщить первую космическую скорость 1" 8 ьм,'с. Еллли скорость газовой с:трулл составляет приблизительно Ъа,и -1 км,'с, то из (19.4) получим — "' = е = 2980. га 11ачальная (стартовая) масса лпо ракеты примерно в 3000 раз превылпает ее массу в моллент, когда, скорость достпплет нужной величины. Практически вся стартовая масса ракеты приходится на топливо.
Из формулы Пиолковского следует, что относительная полезная малюа ракеты т~/пъв быстро увеличивается с увеличением скорости газовой струи. Зононот тохйонтнин ~Гл. и! ИЗНЕПОдннжНОй ТОЧКИ О, Р! П Рт дв|П)тау|Ощнс На ЧаетИцЫ силы (рнс. 53), Поделим перво!' уравыение на |В|7 второе на оа)т н вычтем из второго первое.
учитывая, что Р! = — Ро в соответствии с греты|и законом Пьютона. В результате получим 71 (г — гт) Р та| + ттт и! Введем обозначения: г = га — г| радиус-вектор, проведсн- т|птт ный от первой частицы ко второй; 1| = так называе- тат + тат мая п1)введенная масса. от т Тогда уравнение (20.3) будет иметь вид гт 11 —, = Ра. (20.4) тй7 от Фора!Вльно уравнение (20.4) можно рассматривать как уравнение движения воображаемой чати тнцы с массой 1| под действием силы Рат то есть как уравн!'нис движения част|щы с матт:ой ьь в силовом поле ПЕРВОЙ Чает|ЩЫт ИТЛЕЮЩЕй МаССУ та!. Одно уравнение (20.4) не может быть нквивалентно двум исходным уравнениям движения (20.1) и (20.2). Чтобы сохранить равносильность преобразований, кроме (20,4)7 необходимо учить|Вать уравнт|н1п) ЛВпткь)ппя центра масс: тт' )ттт (тн! + Пт)) — ' = Р„„„о„т (20.3) тй Гд!'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
