1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е„сонаправленный с г единичный вектор. Работа кулоповс:кой силы при перемещении заряда йз пз точки 1 в точку й траектории вычисляется аналогично работе гравитационной с:илы: 4)ссо со )о г 1 сл)оо 1 б 1 1 — — сй =- — д)й су — — — ~, (21.6) 4ясо )'о 4ксо ) ) со с) где г) и гз расстояния между зарядами, соответствующие поло)кения'л 1 и й дви)ку'щегося заряда. Еак и в предыдущих случаях (скл. (21.4), (21.5)), работа кулоновс:кой силы (21.6) не зависит от формы траектории движения точечного заряда, а определяется только его начальны)л лл конечным пололсением. Работа упругой силы, Один конец спиральной пружины с жесткостью )с закреплен неподвижно, а другой лложет перезлещаться горизонтально под действием внешней силы.
Направим координатную ось х параллельно оси пружины и выберем начало ото тета координаты х (х = 0) в положении незакрепленного конца недеформировапной пружины (точка 0) )рис. 56). ~впиши Рис. 58 При расгяжении или сжатии пружины возникает упругая сила Р) пло = )СГ ° ГДЕ Г Рали )С ВС КТС)Р. ПРОВЕДЕННЫЙ ИЗ ТОЧКИ О К незакрепленному концу деформированной пружины. Пусть под действием внешней силы Г„пп„п, работа которой нсн) интересовать не будет, незакрепленный конец пружины, к Закона! сохраваниа ~го!. и! которому прилож!'на также сила Ру„р, переместится вдоль оси л нз гочки 1 в точку й с координатах!и и! и ла соответственно. Бек! траекторию точки приложения силы Р „р необходимо разбить на элементарные участки.
вычислить элементарную работу на каждом из них и сложить (проинтегрировать в соответствии с (21.2)). Рабе!а бА упругой силы Руан на одном из таких элементарных у !астков с1г равна ЬА = Рхпр дг = — осг дг = — оси г1и, где скалярное произведение гнг выражено через произведение компонент и и с!и перемножаемых векторов. Благодаря тому. что элементарная работа ЬА зависит только от координаты т, вычло.п'вие интеграла по траектории то !ки приложения упругой силы сводится к ннтегрнрованшо по переменной и в пределах о! и! до и: а о вв А = ~ ЬА = ) Р„п,дг = — )' осгдг = — ~ осиял = — (х! — л',) .
~21. 7) Из полученного выражения видно, что работа упругой силы на конечном пути зависит только от начальной и! н конечной лэ координат точки ее при.ноженпя. Работа силы трения. Расположенный на шероховатой и>- ризонтальной поверхности брусок массы и!, который можно с !нтать материальной точкой, Вид спереди перемещается под дей!ств!ием некоторой горизонтальной силы Р по криволинейной траектории из точки 1 в точку й поверхности (рнс.
59). Х!одузш прил~~ женно!! к 01)усну силы т1ю— ния скольжения равен; 2 1 тр 1" ~ и!г!!с: М где Х . — модуль силы норма.!ьной рсакнии опоры (Х = !пй). До!я вычн! !ения работы силы трения вшо траекторию движения бруска необходптло мьпленно разбить на элементарные участки, рассчитать работу на каждом из ннх н снложитсь то есть вычислить Вад сверху 'Зеорегии о нинепззз"зеенозГ энергии А = ~ 8А = ~ Рирдг = — ~ азий еЬ = — Йгззйг ~ еЬ = — Ьп8'Б„ (21.8) где о пройденньпл пу|ь. В отличие от работы силы тяжести, гравитационной, кулоновской и уз|1зузхзй снл (сзз. (21.4), (21.5).
(21.6)., (21.7)). работа силы трения (24.8) зависит от длины пройденного телом пути Я, н, следовательно., от формы траектории. Таким образом., среди рассмотренных нами сил можно выделить такие, работа которых не зависит от формы траектории и характера двплгенпя (нгзззрихзезр, от скорости) частицы, а определяется только ее начальным и конечным положением относительно других тел. Это сила тяжести., гра|зитацнонная, кулоновская п ущзугая силы. Обзлгздазощззе укгюизным свойством силы называются киэнсервиппсеныл|и, 8 22. Теорема о кинетической энергии '1ас|нпа массы га „нзижег| я со скоростью Ъ'.
Кз|ззепт'|вской энергией "сасппгйы низы||нет<:я величина: Т = — ""' 2 (22.1) Кпззепт'зескеля энергия, сноп|изми| чезсптц, массы которых ЗП|, ПЗгя, ..., ГИ,, ..., а СКОРОСТИ ЗГЗ, Ъв, ..., Ъ';, ..., Раапа суыхиз кинетических энергий каждой из частиц (з номер частицы): Т=Е зп "и 2 интеграл (21.2).
Работа силы трения на одном из алехзентарных участков равна 8А =- Рир еХг = Риз,~сЬ~ сов 180" = — Ит8 еЬ, где )е|г) = еЬ модуль вектора э„|ементарного ззереззещения., |грибипзигелы|о равный элементарному пути Аг: в любой момент времени вектор Ртр направлен противоположно вектору г|г эле- ментарного перемен|ения бруска. поэтому уню ззззжду перемно- жаемыми векторами равен 180'. Благодаря тому, что элементар- ная работа 8А заьо|югг только от переменной я пути бруска, вы пиление интеграла по криволинейной траектории сводится к интегриро|занию по переменной в. Работа силы трения на пути бруска из точки 1 в точку й рюзна: 2 2 2 Законы сетраненалс !Гл.
п! Пусть плотина массы т движслтся под дслйс,твиспл с:илы Р. Если к частице приложены несколько сил. то Р их равнодейстлуюплсля. Согласно таеореме о кинепт июкой! анересги: работа, равноделйслс!вуюлцесЪ всех прплооюенных к частице сил равна прпуалцетпо кпнепт !есной онергт! чсссллтцлеь Утверясдение справедливо как для элементарной работы, так и для работы на конечном пути: 1(тр ) 1Т ( са! е ~!~лес Т Т 2 2 где ссТ вЂ” приращение кинетической энергии на э. «!ментарном перел«сщенни; Ъ! п Ъ2, Т! п Т2 скорости н кинетические энергии частипы в начальном и конечном положениях соотллетственно.
Работа силы Р на ьплементарном перемещении с(г равна ЬА = Р с(г = т — йг = т с(Ъ' — ' = тК ЛГ = тЪ'дЪс. (2222) с!! с!с сЖ В преобразованиях учли. что Р = т — по второму закону ссл слг Ньютона; ЪГ = — по определению скорости: кроме того, !ссХЪ' = с!с = (Ъс!)сЛЪс)соей = Ъ'сЛ'.
где О угол между векторами Ъ' п с!а' (рис. бй). В правой частлл (22.2) модуль Ъ' скорости внесем под знак дифференпиала и окончательно получим; ЬА = илЪ" с1!с = с7 ( — '" ) = с1Т. 2 (22.3) Согласно (22.3) элементарная работа бА силы Р равна бесконечно малому прпращенсллс! с(Т кинетичслс;кой алий!гни чаплины. Пусть Ъ'! п Ъсэ — скорости частипы в точках 1 и й траектории. Вычислим работу силы Р па пути часплцы между точками 1 и 2 2 А = ~ бА = ~ с1Т = ~ с((л" ) = — "' ' — — "' ' = Т2 — Т! = йлТ, ! ! !'л (22.4) где Тл — Т! = ЬТ прллращение кинетической энергии частицы прн ег перемещении из точки 1 в точку й траектории цод действием силы Р.
Согласно (22А) работа А силы на конечном пути '|еорема о кинопоочоокоа энергии равна приращени|о ЬТ кинетической эпер| ьш частипы. Теорема о кинетической энергии доказана. При доказателы:тве теоремы нс делалось каких-.тибо предположений о свойствах силы й', например. о том, что она консервативна. Теорема справедлива для произвольной шллы. Рассмотрим систему частиц. Фиксированное распололппп|е частиц в пространстве, заданное набором координат всех частип, будем называть положеш|- ем или конфигурацией системы. Каждое положение системы, помимо набора координат, характеризуется наоором скоростей Ъ"ы Га, ..., Ъ;;, ..., | номер частицы.
Теорема о кинетической, энергии дл|а системы: при переходе системы час|па|ц из произволы|ого начал;ьного в про|гэволькое копотное поломсение работа,4 всех прилхеэн:енных к лат|и|цам гил равна прира|ценин> ЬТ кипени|невкой энергии системы: А=ЬТ. Для доказательства учтем., что работа А всех приложенных к частипам сил равна сумме работ А,, совершенных над каждой частипей системы: А=~Ао Здесь А, работа равнодейств| |ошей в|'ех приложенных к |-й часпп|е сил.
Чтобы вычи|.шть А.;, применим к каждой частнпе теорему о кши;тической энергии (22А): т,К т|„, 2 2 где Ъ;;|з Ъ",;„- скорости |-й частицы в конечном п начальном |нтожениях системы. Тогда раоота А всех сил равна А='~'А| =")'(""" — и"'--) = — ( |и ' - ) — ~ ~' ('и ' - ) — Т. — То — ЬТ, где Т„= 2, ( '" ),Т„= 2, ( ' '" ) — кинетическая энергия системы в конечном н начальном положениях.
Теорема доказана. Пример 1. По гладкой поверхности произвольной формы, плавно |юрсходящей в гладкую горизонтальную и. пн:кост|в с высоты и с нулевой| начальной скоростью ол|ускастти т|',ло массой |и (рис. 61). Найти скорость г' тела на горизонтальном участке траектории. Законы сохранения ~гл, пг В пропессе двигкения на тело действуют направленная вертиказьно вниз сила тяжести епи, н сила но1гаеальной 1ге,акшги г=й Рис. 61 сиюры Х. По теореме о кинетической энергии работа всех при- ложенных к телу сил равна приращению кинетической энергии тела: А, =О.
Работа силы тяжести равна (см. (21А)): Ан,к — — гпу(л~ — лв) = гпя Ь, (22.6) (22.7) — ве1гтикальнвя коо$гдьгпата тела в на гальие~м и конечном положениях. Из (22.5) (22.7) получим: т1ей =- гп1: /2. Отсюда находим скорсгсть тела на горизонтальном участке траектории: Ъ' =- ~/2в1ь Пример 2. По шероховатой поверхности произвольной формы, плавно переходящей в шероховатую горизонталыгло плоскость.
с высоты 1е с нулевой начальной скоростью спускается тело массой т н останавливается на горизонтальном участке траектории (рпс. 62). Найти работу силы трения. А к + Аьч = тХв/2, (22.5) где Р— скорость тела на гори:юнтальном участке, Ан,к и А ив 1габота силы тягкех:ти и силы но1гмальной 1геакг1нп опо1гы соответственно. Так как сила Х перпендикулярна скорости, работа этой силы равна нулю: '1 23) Прео(>раеоеание ниненеииесной энергии. Теорео(а Кениеа 97 В дш1ИОм (луч'1(.
на тРлО, !П)мимО силы тя)кости 7НЯ и (пл11 нормальной реакпии опоры 17, действует сила трения скольжения г 71>. По теореме о кинетической знергип работа вс(.х сил за Рис. 62 Врех!51 спуска !))п)на Н1)и!)И(пению к1лнети !ескОй внер!'и!1 тРла, то есть — н(лю. Носкольк) тело остановилось: А~к + Ак+ Ар р — — О, )д(1 Аи>ры А;;, Артр 1)абОТ) СНЛ тяяп)С!Н, НОр)!аПЬНОЙ 1)() П цни опоры и трения соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
