1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 20
Текст из файла (страница 20)
д. д ! дГ. дГ. дГ ди ду дс дт ду д= (27. 9) С учетом введенных обозначений (27.8) и (27.9) связь потенциальной энергии и силы поля (27.7) можно представить компа1 теп)Й форме: (27.10) Р = — гас1 (7 = — )7(7. Рассмотрим примеры. Свлзв иоп1внииилвноя внелгии и иилв1 ив л 109 Пример 1. Задана потенциальная энергия ХХ частицы как функция ее координат Хв' = — ссср, где а постоянная. Найдем компоеп1цты си11ы, деЙству10щей на частицу в то'1ке прОстранства с координатами (:г,, й, и): Хл иц Гв пу ° Гл О ° дС дС дС Вектор силы равен Г = а(1д1+:г)). Пример 2.
Зная потенциальную энергию частицы массой гп в гравитационном поле тела (материальной точки) массой ЛХ, ЛХ1н ХХ = — у —, найти действуюшую па частицу сп.,1у. Пусть начало н<,нодвижноЙ декартовОЙ системы координат совпадает с центром гравитационного поля -- телом ма1юой ЛХ.
Расстояние г от центра поля до частицы можно выраз1пь через 11е д11картовы координаты л, у, и: , =-,~..в, .вл. Зависимость потснциа;иной энергии 1Х от декартовых координат вг, у, и частицы имеет вид вн,не=-т Найдем компоненты дейгтвую1цей на частицу силы как функции координат и, й, и. Г. = — — = — уМгп дн к дл 1.;-+,-+ив)1~-' ' Га = — — = — уЛХ111 дС а д, 11 „, „.л)вг1' дц Зв' 1 л+ 1 „.,;)зг1 ' Вектор силы Г выразим через компоненты Г, Х"и, Г,: — '1Мп1, .
Зг 1 1ЯХп1 .; 3/1,1 У 1)зД 1 ., „1)111 — уМгп 1, 1с = — уМ п1 ' ",,1 — — — уМ1п —,. х1+ д3 -ь лк г (ив -ь и- -ь 1)в~ (. -ь 111 -ь л')" г' Здесь г — радиус-вектор, проведенньпл из центра поля к частице. Эквипотенциальные поверхности. Расслп1трим консервативное силовое поле с потенциальной энергией ХХ(:г,у,г).
110 Зоионь( сохринанил ~гл. и! П(хт й, г) = сопв1. Ъ 1!ВВИ(эн1п! (экВИ(ютенциальной поверхности в однородноъл ноле силы тяжести: (э (х7 р, г) = тпн г = с(тпв1, г = сопв1. о Эквипотенцивльные поверхности в однородном поле силы тяжести — горизонтальные плоскости в = сопв1 (рис. 74). НЕ!йдем уравнение эквипотенциальной поверхности в центральном гравитационном поле: ЛХ7п (7 (г) = — у — ' = сопв1, г = сонары. Эквипотепциальные поверхности в центральном гравитщнонповл поле - сферы (т = сопИ., рис.
75). Век!пор с(ллы, д(тйстт!((уто(ц((й на тнэл(г(((ент(йто в поле част!((!((ву, всегда нат!1х(((летн порт!ендтлкулярн(г акен!поп(епйиольно(1 7!(Э(эгрхностпп в с!ворону йлтенъшвння 7!Отт!Ст(тттт(ОЛ Ьт!Ой ЗЕНРгн(1. т (Окаж(!М ЗТО УТВ(ЭРЖДЕ.'Н!!Еь Пусть частица совершила бесконечно малое перев(ещепне йг 7 — СОПМ ВЛОль е!кВипоте!щиалы(ОЙ НОВе'.рхнос'1'п. Поско:1ьку ВО Всех то 1ках этой НОВ<й)хности поте(нциальная энергия имеет одинв- М ковос значение П = сопИ, приращение потенциальной энергии частицы равно нулю: д<7 = О. Гравитанионный пснтр 7 — СОПИ Рнс.
75 Элементарная работа силы поля г, которая в соответ< твин с (25.3) равна убыт(и потенциальной энерпш, при перемещении Эк(э(!пот!и!в(17!ат!ьт!(7(1 назыВВ(Ется 1п)Ве!рхность7 ВО Всех тОчклх которой потенциальная энергия име(тг одно и тоже значение (поверхность постоянной потенциальной энергии). Получить у1!Ввнепне зквипотенцна.:!ьной поверхности можно,приравняв функцию потенциальной энергии некоторой по(<гоянной величине: Занан еаараненил ан(тггии "(аетпиян (Истицы вдоль эквнпотенциалз,ной Поверхности такж(з равна Н)СПО; 8А = Р йг = — аьт = О.
Из равенства нулю (к(мзярнозо произведения Раг (ледует взаимная нерненликулярность векторов силы Р и нерсмещеьн(я ((г. Поскольку ((г принадлежит эквипотенциальной поверхности, В(зктОР Р пеРН(знг1ик)'лЯРОИ к э10Й НОВОРХИО()тн. Из курса векторного анализа известно, что градиент скалярной функции указывает направленп() наиболее быстрого Возрастания этой функции. Поскольку си.па поля Р равна взятому со :знаком ътинус градиенту потенциальной эперне 1см.
127.10)): Р = — йга(1 15, то вектор Р направлен в сторону убывания нотснциа.пьной энер- ГИИ. я 28. Закон сохранения полной механической энергии частицы Пусть частица находится в консервативном силовом ноле, ее скорость Р, нотенциа:зьная энергия задана функцн(зи бт(ачу,в). Лог(ной ллвяанпческой энергией Е ча("плцы называется ( умма ее кинетн зескОЙ Т и потенци(1льнОЙ 7У э1Н'.рГии: Е = Т + 1,( = и + 151 2 Сформулируем закон ( охранения полной механической энергии частицы. Если на '(астт)и()и дейст()вй)от(1 п(олька консерва)(и(вныв силы, ев полл(ая месгаипгнескал знвргпл с тпеченпел( времени пе изменлетт((аа 1соиранлетп(гя): Е=Т+и =: Дока()атель('ТВО этОГО утВ('р)кд('1Н1я ООНОВВНО на т( Ор('м('.
О кинетической энергии и свойствах консервативных сил. Пусть частица переместилось и:5 про)5:зво н НОГО начальноГО положения 1 в произвольное конечное по.тож(зние Й 1из ")очки 1 в точи: 2 пространства). Согласно теореме о кинетической энерпзи 1см. Ч 22, 122г1)) работа А12 сил поля равна нриращеншо кинетической энергии частицы: А12 = Т2 — Т1 г 128.1) Гд() Тз и Т2 кин(зтическая энергия гоств((тств(".Нно В на за;п,нем и конечном положениях. 112 Закона сохронониг ~ГЛ. Н! 511 — и2 =т, — т,, 1У! + т = и2 + т2.
128.3) Равен!тво (28.3) озна !ает, что полная механическая энергия частицы в нача.п ном и конечном положениях одинакова. Поскольку не!альное и коне шов положения были выбраны произвольно, можно утверждать. что полная механическая энергия частицы в процессе движения !К1храняется. Что н требовалось доказать. Пусть на расположенную в консервативном силовом ноле !истицу. помимо сил этого почв, действу!От л100ые.
другие сил!!, которьк, мы назовен! Сторонними. Например, для частицы, находящейся в гравитационном цо:и1, сторонними можно ! читать л!лы кулоновского поля. Отнесем к сторонним силам действующие на частицу силы трения и сопротивления вязкой среды.
(В отличие от консервативных силы трения и сопротивгн1ния называются диссииапи1лнылт. поскольку они приводят к диссипации механической энергии — — превращению ее в теплоту). Закон изменения полной механической энергии частицы. Работа сп!ОРсопп!х сил Л12ого, пРи пеР! глешюсни частийо! иг пРО- игаольнога на лального иож!хюсниья в С!ранги!альп!ос канечт1е палогясенпе ранна, прираигени1а полной ллеханическай энсрг1ги час!пицьс А12 о ~ар Е2 Е1 ° где Е1, Е2 -- полная механ1гкская энергия 1астицы в начьвьном н кон!1ЧнОм полож!!ниях.
Докаж! м это утверж:иппк. Соглгп но теор! и! о кин! Тп !вской энергии работа А12 всех приложенных к частице сил нри ее перемепвлп!и из начального в конечное положения равна прпраще11 пк1 кин!1Тической э!»1р! Ни: -'112 = г2 о1 ° (28А) где 12, Т! . кинетическая энергия частицы в конечном и начальном положениях. Работа Агг складываетсЯ из Работы А12ко„о сил консеРватпвного поля н работы А!го,„р !Торонннх сн.п 2112 = Л12ноно+ А12. р. (28.5) В процессе перемещения на питицу действуют только копсервативныс силы, работа которых равна убыли потенциььп ной энергии (см.
З 25, (25.3)): 112 = ь! В2; (28.2) где Г! и !з2 -- потенциальная энергия част1щы в начальном и конечном положениях. Р1з (28.1) и !'28.2) следует: Занан соараненин энергии сиестами наппии Работа А!2 „.„„, коне!'рватцвпых сил равна убыли потенциа.льной энергии тела; А!2,„с = П! — Г2, (28.6) где Г! и П2 потенциальная энергия тела в начальном и конечном положениях. Подставим Аг2нонс из (28.6) в (28.5): А!2 = У! — П2+ А!2,и (28.7) Приравнивая правые части (28А) и (28.7), по.!учим О! Г2 + А!2 со ! = 22 781; А!2 соор — (т2 + П2) — (2 ! + П~) = Е2 !то и требовалось до~а~а~~. я 29. Потенциальная энергия и закон сохранения полной механической энергии системы частиц До сих пор мы ограничивали! ь рассмотрени! м движения однои частицы в силовом поле. Поле, в котором движется !а!- тица, возникает олагодаря на:!ичик!,трэ тих тел. Чтосйы это поле было стационарным н<'завися!цим от вре!ьп'ни, порождая)щие поле тела д!шжны оыть и!.подви2кными.
Рис! мотренный! вып!е зшз)н гохран!.нпя полн~й механи !еской энергии *!истицы относится именно к такому прост!"йшему случаю: одна !астица движется, а все оста!!ьньп покоятся. Закон сохранения энергии может быть сформулирован в общем случа<., когда име! тся несколько движущихся частиц (система частиц). 1'ассмотрим замкнутую систему частиц, в которой действуют то„!ько конеервагивньп'.
си.,ты. Прим!'и произвольное положение си! т!'.мы (полов!они! О), кот!орое характе1пг!уеет! я определ! нных! набором координат всех ти;тиц тш, уа!., ва!; гез; у02; 202: - - лег !!э!, ве,,.... (3 порядковый ен)ые'.р '!истицы), за на'!э,,)о от!"и'та пот!!нциа;!ьной энергии. В положении О потенциальная энгр)ия равна нул!о.
Пусть система находится в произвольном положении Р. в котором задань! координатами всех *и~тип я!, у!. с2, .г2, у2, ., и!., уь ьп По!пази!палы!ой онсаргисе!1 системы частиц в псыожении Е' называется работа всех консервативных сил. совершаемая при пер!.ходе с!и:темы из положе!ния Р и принятое за на !ало отс !ета потенциальной энергии пош>жение О: О О О П = ~! А; = ~ Р! а!г!+ ~ Р2дг2+...
+ ~ Р,с!г!+...., (29А) 114 Заноноэ сооуинонин ~Г 1. 1П где Р, равнодсйствуэощая всех п1эи.зсэжепных к 2-й частице О конс'ерватнвных сил: Л, = ( Р;,с(гэ работа силы Р„соверша- Р емая над частицей с номером 1 прн переходе системы из положсэния 1 в полоэке!ние О (кажд11Й интег1эал суммы Вы'1исля1этся вдоль траектории соответствующей 1-й частицы); в сумму входят иптстралы, вьгпплс'.нные вдоль траектории движения всех частэщ системы. Рисунок 76 пллюстрирус т определение (29.1) потенциальной энс1эгии на примере систелэы. состояппой из двух 1астээц. Здесь =о ) Рнс. 76 Рэ и Р2 действукэщие на пе1эвукэ и вто1эукэ частиц1 силы (по третьему закону Нькэтона онп равны по величине и противо- О положно направлены).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
