1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Интег1эал Лэ = / Рэс(гэ равен работе силы Рэ Н1эи пе1эемещении пе1эвой частицы по своеЙ т1эаектсэ1эии Иэ то 1КИ с: кээсэ1эдэп1атэми (и ы у1, вэ) в то эку с КОО1эдинатами О (гаэ э уоэ, ваэ); интеграл Аэ = ) Рэ с1га рав1 н работе силы Рэ при Р перемещении второй эастицы по своей траектории нз точки с КООрдИННТамИ (12: 192~ 2) в ТО'1Ку 1' КОО1эдИНИТамИ (ИО2, 1102э 202). Потенциальная энергия системы равна сумме работ сил Рэ и Р2.
О О Г=Л~+А2= ~ Р сээгэ+ ~ Р2с(г2. Р Р Свойства потенциальной энергии. 1. Потенциьтэьная энс'ргия системы частиц является функцией тсэлько координат всех частиц: Г=С1(тэ,УЫ21эт2эУ2эгв.,т;,УО2;., ). (29.2) ЭТ1э свойство, по существу, озна сает, это потенциальная энергия системы зависит только от в эаимного расположения часэтиц. Закон сохранения энергии сипнемн напоил 1 29) О О ~Г =А>+А> = ~ Р>с1г>+ ~ Рэс)гэ, Р Р (29.5) где Р> н Ря действук>щие на псрвук> и вторую частицу силы: О А~ = ) Р>с1г> работа силы Р>, совершаемая щ>и переходеси- Р О стемы из положечп>я Р в положеш>е О; А..> = / Р> й>г2 .. работа Г силы Р>, совершаемая при переходе системы из положения Р в положение О.
В соответствии е третьим законом Ньк>тона силы Р1 и Рв взйимодейе>вия двух чйгзнц рйвны по ВР>>и п>не и прогивополо:кны НО пй1ц>авл1>ник>: (29.6) Р> = — Р.> 2. Работа А>> всех консервативных еил при пе реходе системы из!ц>оизвольного нача.;1ьного В щ>с>изВО.1ьно>- конечнОР положе>— ние рйвнй убыли потенцийлы>ОЙ эщ>ргии пист>мы: А<2 = Г> — Гэ, (29.3) где Г~ и 1>2 потенциальная эвеергия системы в начальном и 1<оне'Н1оы НОложРпиях, 3.
Потенциальная эш ргия системы частиц определена е то 1- ногтью до щх>нзвольной постоянной величины. До>са1>ате>льетво ОВОЙгтв 1 3 для сиетемь> чаетиц йпалогн шо их доказательству для потенциальной энергии одной частицы в консервативном силовом поле (ем. 2 25). 1. Потенциальную энер>ню системы можно выраз>ггь через потенциальную энергию входящих в эту систему частиц: 11 = -' <11> + Г, +... + 111+...) = -' ~ 1У>. (29А) 2 2 где С' потенциальная энергия е>пте>мы: 1>', — потенциальная энергия 1-й частицы в силовом поле веРх остальных частиц сиетемы, кроме> >-Й:, гуммщ>овйние Вынос>няс'тея по вс>ем >йетицйм системы.
Проиллк>етриру м ОВОЙетво 4 нй примере >истек>ы нз дгух частиц е ксп>сРрвативными силами взаимодействия. Пъсть система переходит нз >Некоторого >к>ложе.ния Р в пи>южение О, принятое за начало от>чета пот> пциальной энергии (рис. !7). Согласно определению (29.1) потенциальная энергия системы равна: 116 Занинн! сохринснин ~Г 1.!и С учетом (29.6) преобразуем выражепи!' (29.5) потенциаль- нои энергии ЕУ системы; О О О О 1) = — ~ Рздг)+ ~ Гздгз = ~ Гз!1(Г2 — г)) = ~ Ездгз Р Р Р (29.7) Р(х), у), 21) О(хс 2) Рнс.
77 интеграл в правой части (29.7) можно рассматривать как работу А2РО действующей на вторук) частицу силы Рз, совершаемук) при перемещении этой частицы в силовом п!ше н!подвижной первой частицы: О Р2 дтз,нн = А21 О. Р (29.8) Работа А2РО. по определению, представляет собой потенциальную энергин) б!2 второй частицы в силовом поле неподвижной первой частицы: (29,9) Авио = с)2. Из (29.7) (29.9) !следу! т: б' = — бь), (29.10) то есть потенциальная энергия системы частиц равна потенш)- альной энергии второй частицы в силовом поле первой частицы. Аналогично можно показать, заменив в (29.5) Гг на — Р!., что потенциальна)! энергия систен)ы частиц равна потенцналь- ГДЕ Г2 Г! = Гз сон РВДНУС-ВЕКТОР. ПРОВЕДЕННЫЙ ОТ ПЕРВОИ частицы ко второй (рис.
77). При пер!'ко;!1 системы и) полож!)ния Р и !п)пожени!'. О радиус-вектор г2„,, задает траекторию движения второй частицы в системе отсчета, связанной с первой частицей. Поэтому 117 Закон сохранения энергии ситаемн затаи« 1 29) ной энергни первой частгщы в силовом поле второй частицы: 17=и,. (29.11) Потенциальная энергия Г может быть представлена в симметричном относительно бе1 и Гг виде с помощью (29.10) и (29.11): 17 = — ("о'1+ 172).
(29.12) 2 Полученное для системы из двух частиц равенство (29.12) является частным елу таам выражения (29.4) потлщиальной энергии системы с произвольным числом часттзц, что подтверждает справедливость свойства 4. П1333ззе113. Рассзитенгм с помопгь«1 гиг формулы (29.1) потенциальну«1 энер- тг3 ГИГО СИСтьгМЫ ИЗ ТРЕХ заетИЦ, МвжДУ КО- г«1 торыми дейсгвунэт силы гравитацион- гг3 нзггзз п131ггяжения (13ис. 78).
Потенциальная энергия Г1 первой г13 частицы в поле второй и третьей ча- агз стиц: тгтг тгтз 1= — У У Риза 78 ти г'ы Потенциальная:энергия сгг второй частицы в поле первой и третьей застиц: т гаг тгтз Сгг= У У тгг г Погщщиальная энергия 1 "3 трз тьсй частицы в поле первой и второй частиц: 'шзтг га пуа й'з = — у — у 7'за г 1.3 Потенциальная энергия П системы в соответствии с (29А) равна: 1 (П + 17 + П ) танге тгт,з гогте 2 т~ газ тм Закон сохранения полной механической энергии для замкнутой системы частиц с консервативными силами взаимодействия.
Сформулируем закон сохранения полной механической энергии для замкнутой системы частиц, в кото1эой деззству«эт то31ько консе11вативньп' сг131ы. Затем обобщим его на незамкнутые системы и произвольные силы. Похзззал метаиическаЯ эззеРгиЯ загики1дттзой систелеь1 частиЦ, в которой' дейсттьвйнптз пголько коисервапзивиьсс оияьз„с тпе зтзи- За«она> аоайаноння ~г>1. П! Рм е>реме>пи п>5 'ае>ме:няе>п!ся >се>3:1«г>еяе>гпе>я): г' =- Т + б> =- с>ОНВФ, (29.13) 1«де Ь', Т. с'' полная механи сеская, кинетическая и псненциальная энергия систе мы соответс твенно.
Для доказательства предположим, "!Го система перешла нз ПРОИ;!Во.ноНОГО ПНЧВЛЬНОГО П0„10жщн1Я 1 В ПРОИЗВОЛ! НОЕ КОНЕ'.Ч- ное положение де, Согласно теореме о !Еинетичес>кой энергии рабОт> А>т ВсРх дРЙстВу«)псих на частиц11 с>ис>темы сил раВна приращенп«) кинс"ти !Рс«ОЙ знсйи ин с:истс)мы: А» = Тт — Т!.
(29.14) Пйско;>ьк> все сил>1 «01«:РрвативныР. Нх раб!)та, согласно (213.3), равна уоыли пот! нциа.зьной энергии системы: А!э = б>! — >'Гт. (29.15) Из (29.14) и (29.15) получим П> + Т, = Пт + Тт> полная механическая энергия системы в положениях 1 и Й одинакова. Песке:>ьку эти поло)кения были Выораны про!г!Вольв>к мс»кно УГВР1»«лат>ь гго по>!На>1 механическав ВИРР)НЯ с:ис'Еемы сс)храняется. Закон изменения полной механической энергии системы. Пусть система частиц, вообще говоря, не является за- мкнутоЙ. Е1а >а!пины, помимо Внутренних консервативных сил, де;Йствук)т 51«>бые д1>угие си,>ы, кс>торые Суде«с называть стс>- ронними.
Отнесем к сторонним Все онеиигие силы (напримср. силы внешнего консервативного поля его источником служит не входящее в систему тело), а также Вес. диссипотивпь>е силь! (с)ивы трения и сопротивления среды), как внутренние, так и Внсшн1«. Ъ1ким Об~)азох!. Оудем называть сГОронними сыч>1а:1и Вс:Р силы, кромР Внутрс>пних кон! ерВатиВных. Сформулируем >>икон изменения полной механичс ской энер- ГИИ С'ИСТС>МЫ. Робота стороппит. сил А!Во>с„> при перетоде сиоп>емы "шенпиц из произвольного начального о произв>>льнов ко>«'Епое >и>- ,лос)>сепие рон»о п1>про!цепи!О пол>юй механической ш>ергии систсмыс 4ш-.
=~ — Е > >29.16) где г"1, ЕВ по>)ная механи «'сная э)«>ргия С~~~~~~ В ~~~а~~~о~ И КОНСЕЧНОМ ПОЛО>КЕ>НИ51Х. До к аз а тель> тв о. ЕЕ!ли система переспла из прон;)волы!ОСЕ) на са;!нного положения 1 В пре>и>во>>ьное конечное по:11)жение 119 Занан (охранение энергии еипнеми (ае!пик 'г 29) йг в соответствии с теоремой о кинетической знсрггп( работа всех щ)илож(нных к частицаы сил равна, щ)иращени!о кин(ти |е(кой Э1П)Р! Ии СИСТЕЫЫ: Л =т — т!. 129.17) Представим работу Аш как сумму работы А|)ко„, внутренних консервативных сил и работы А!)„.ор всех сторонних сил: '1 !2 = А!2ноее + Л!2етор. 129.18) Учтем свойство 129.3) потенциальной эн(ргин системы, согласно котороыу работа консервативных сил равна убыли пот()нциа. |вней эн('1и'ии: Лш,ои, = 171 — Б2. 129.19) 11з 129.17) -129.19) получим А |2еиор = 122 + ()2) 1Г( + С?|) = Е2 где Е) и Е! .
полная механиче(кая энергия сиоп мы в положениях й н 1 соответственно. Формула 129.16) доказана. Рассмотрим пример использования закона изменения полной механической энергии системы. Прим('р. Два связанных недеформировавной пружиной тела 1 и й с массами т| и |в) находят(я на шероховатои горизонтальной поверхности 1рис.79). С какой минимальной постоянной силой Г, нащ)авленной горизонтально, нужно тянуть второе тело, |тобы и('рвое тело начало перемещаты я? Коэффициент трения скольжения между т( е!ами и поверхност| к) равен Й. При пер( и('щения те, !и 9 1 2 пружина растягивается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
