1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ь 'Т<)чка Г) не обязательно совпадает е началом н<)- подвижной системы координат с осями и, у, з. о Моментом импульса, частицы А относительно нег)одвизк:ной то чки О называется вектор Хо равный Х = ~г р), (31.1) где р = тК импульс. частицы А. рис. 83 В <Оотвегствни с Опредшп вием в<*игорного «рон;)ведения модуль вектора Х равен: О=грата=1рр, где и угол между векторами г и р, 1р кратчайшее ра< стояние от точки Г) до линии, вдоль которой направлен вектор импульса р. Расстояние 1„называет<я плечом импульса р 1рис. 83). Вектор Х перпендикулярен плоскости.
в к<второй лежат векторы г и р. .Чоменп>ом имп(<льса ь, чистицьс относи>пельнв непвдвизн:— нвй вси - называРтся проекция на эту Ось мОПРнта импульса, Х )астиць<, вычисленного относительно произвольной точки Г) Законы еаираненнл ~гл. и! оси е. Мок!Рнт е)мпульса Ха Относитель>«> оси, является ()кйлярной Величиной В от:Ен )НР от мок«*н!й нк!Нул! Сй Ь относительно точки.
Можно показать. что значснпс А, не зависит от выбора тОчки О пй Оси е, .Относит()льно которой рйссч1л1еывйРт('я моа1Рнт импульса. Пусть к частиц( А приложена сила Р [рнс. 84). Момен>пом силы Р о)лпосплпельно 5!епо()еи>ноно(1 точки О НВЗЫВВ('ТС51 ВЕКТОР, РйвПЫЙ: М= [гР]. [31.'2) Мо.(уль вектора М момента силы равен; ЛХ = гг' В1П а — —. 1г>г', где а угол между векторами г н Р, 11; = г вша кратчайшее расстояни(' От то'Еки О дО,1ие1ии дРЙствия си.,1ы Р.
1 Еи'стОяпи(1 1Л нйзываРтс51 п)п'чом М СИЛЫ. Вектор момента си- лы М перпендикулярен Г плоскости, в которой О расположены векторы г 51 Р. (г 9( " Л Моментом, силы Ма 90' относит(а гено непоеь г оиэ>спой' оси назывйРТС51 ПРОРКПИЯ ЕЮ ВТУ у ось вектора М )«пинта к силы, ра(тчитйнного относительно произвольной точки О осн г. МоЗ«>НТ ('ИЛЫ В(а ОТНО('НТ(Г!ЬЕ10 0(>И ЯВЛЯ('ТСЯ СКВЛЯРНОЙ ВРЛНЧННОЙ!. Его знйчение ИР зйвисит от Выборй точки О нй оси е. Уравнение моментов. Найдем производну!о по времени моментй им«ел>,сй Ь частины ОЧНОсительно неподви>«НОЙ точки Г), дич)ф('реннируя об(1 '!йети рййенствй [31.1): — = ~ — р] + [г ~]' = [9' р]+ [г Р].
[31.3) П1П1 дифф('р()нпирОВйнии 1~ учли, '1тО прои;)йодне>я по ВРРм( ни нтшульса р чйпт)щы равна действующей нй нее силе [(1р(Ж = = Р). производная !«) В1«>м( ни векторй г рйвнй скорости Ъ" частипы. Дл>1 докйзйте)!ьстВй НО(лРднРГО 1"1ВРржд(ения Выразим Г через провсденньп. к точкам Г) н А из на тала снст(мы коорднна"г векторы го и г,) [г = г,! — гс>. см. рис. 85), и заметим, что 127 Мам<та импульса а мал<епт силы производная по времени постоянного вектора го равна ну;по, производная по времени радиуса-вектора гл частицы по опред<.чеееееео равна «. Скоростез Ъ': «г 4гл — го) «гл с<го ягл <и и <и Носкове ку в<)итеры ег и р = ее)'е<' соееаправлеееье, первое <лй; гаемое в правой части (31.3) равно пулю.
Из (31.3) получаем уравнение момееппоо; — = М, <31.4) где М = ~г г'1. Уравнение (31.4) показывшт, что производная по времени момента импульса частицы равна мокпенту действующей на псе силы. Х Из уравнения моментов (31.4) следует закон со- Рвс. 85 хранения момента импульса част<ты: если моменп<, М дейспшунпцей на частицу силы относеппельно пеподе<езк)но<1 тазик~ <<россе)ронсепии 1лееен нулю. моменп< импульса 1 чисеееицы оп<но<)ительно <)еиой точки с п)гн чснием времени не изменяется 1сояроняется).
Действительно, е<лн М = О, то <<1 <<«е = О и 1 = соеев1. Пример. Пусть двигавшаяся по гладкой горизонтальной поверхности шййбй (кеатереейльеейя то п<й) испытывй<т 1<О)угое столкновение с неподвижной ешадкои стенкой (реес. 86). Найти все точки плоскостее. дсея коеорых момент импульса шайбы остается НЕИЗМ<'.ННЫМ ДО ЕЕ ВО ВР<'МЕЕ СТОЛКНО- всния.
Перед столкновением со степкой сумма всех приложенных к шайбе СИЛ <ГЕЕЛЫ ТЯ?КЕСТИ И СИЛЕ< ЕЕОРМИЛЬ- ной реакции горизонтальной опоры) Рис. 86 равеей нулю. <<10кеееет М перечислеее- НЫХ <И;! ОТНОСИТЕЛЬНО ЛЮООЙ ТОЧКИ плоскости равен н1<по, поэтому моки)нт имп1ьтьса Х |лайбы относительно любойе точнее плоскости <Охрйняется. Во врем)е сеолкновения на шайбу со стороны вертикальной стенки действует горизонтальная сила реакции 1к<, перпендикулярная к стенке.
Законе) соараноннз ~>11. П! ,'Е)[ох!сеет этой силы равен пуд!о относ:ителыес) л!Обой то !ки горизонтальной прямой а„проходящейс чсре:! То"Еку столкновения п!1>ЙОЕ,! со с:тс>нкой и с:овце!даю!ПЕЙ по папрегвле)еппо с вектором 1Ч1. СледОВатеь1ьеп), ВО Врех1я стОлкнОВения шайбы сО с1еикои 110- мент импульса !лайбы Ь будет сохраняться относительно:побой точки прямс>й а. Й 32. Момент импульса частицы при движении в гравитационном поле.
Закон площадей Частица А маеты Еп, движется в пояс неподвижного центра гравитации тела С массы ЛХ (ре!с. 87). Действующая на частицу сила равна: Йгт С где у гравитационная постоянная, г . расстояние от пнтицы до центра поля. В леобОЙ >10хсент Време!!и сила Л Рер нащ>еевлена к центру по- ля. плечо силы и ес х!От!сит Рис.
87 относительно пентра поля— точки С вЂ” равны пулю. Следовательно. момент импульса Ь частицы А относптелык) точки С сохраняется. Доказано важное с:Войство щ'игрального гравитационногс) ш>ля: при движении в ценпг1кгль>гол! ерави>>гационном Его)ге л!олес>1771 ил!пе)льсв. частицы относительно центрсл поля сохраняе7ися. Рассмотрим сглелствия, вытекающие и:! этого свойства: Ь Траектория движения частицы в централып>м гравитациОнном по>е яВляетс>! НлОскОЙ кривой, плоскост! дВижения проходит через центр поля. При двг!женин !астицы сц мокин! Импульса с>тноситс>!ьно центра поля равен Ь = ~г, р1, где г - радиус-вектор, проведенный из цен>ра поля к частице, р импульс частицы.
По свойству векторного произведения вектор г перпендикулярен к вектору Ь. Век!ор Ь сохраняется. сто направление в пространстве Ос'тается пеизмее1иым. СлелОВатс'лы10, при ЛВВ ке>еп1и 1ас'типы вектор г остается В одной перпендикулярной к Ь плоскости, которая прохо;!г!т че'роз !и'нтр поля. '1то и трсоовалось доказать. 2.
Радиус-вектор частнпы при ее движении в центральном гравитанионпом поле за равньп. времена описывает равньп плошади (второй закон Ке>!лера или заскон площадей). 129 Занан еавуаееенин маме)ива имауавеа Преобразует! выражение для мох!сита импульса Е частипы: Ь = [г р] = гп,[г )Г) = го,ег — ! = гп .
[32.1) Г еле ! [г еег) а! ег Здесь г радиус-век гор, проведенный из центра поля к частице А, Иг — вектор элементарного перемещения частицы за, бесконечно малый промежуток времени ей [рис. 88). Как и)вее тно. модуль векторного произведения плсленно равен удвоенной и:ннцади треугольника„ построенного на перемножаемых векторах. Ме)- дуль векторного произведения [Г ейГ[ раВРн удве)Рпек)й А площади егЯ треугольника, Рис.
88 построеш!ого на векторах г и еГГ, и приблизительно равен удвоенной площади сектора, который описывает радиус-вектор г за бесконечно малый промежуток времени ей. Обозначив площадь сектора его, най,н)м с помощью (32.1) модуль Е мохи пта импульса: [32.2) елг ел! Величина его',)Ж называется секториальной скоростью. Чиеь ленно ескториальная скорость равна площади, еп!Неъпгаемо!л за, единицу времени радиусом-вектором частицы. Из (32.2): [32.3) Пе)скольку при движении в центральном гравитационном по)!е) момент ихшулы'а Ь част!щы сохраняется, модуль Ь момента импульса и, согласно [32.3), секториальная скорость е)Ь))егг являются постоянными величинами.
Совершая финитное движение в гравитщионном поле, частипа, вообще говоря. движется по эллиптической орбите. н с течением времени расстояшле г до пентра поля [фокусе! эллипса) х!РняР'пв!. )э силу доквзаннО!'О ПОе:воинства сРкториальнОй скорости площади, описываемые ради1том-вектором г частицы за равньп. промежутки времени, одинаковы. 8 33. Закон сохранения момента импульса системы частиц Ре)ссмотрглм ! истему частиц.
импульсы которь!х в некоторой системе отсчета равны р), рв,..., рь..., г номер частицы. По- В А.П.Леденев 130 Завонв! ввирвнвнив ~Г!!. и! Рве. 89 ~Л !~ ~Л, (33.'2) ТТа каждую частицу с!и:темы действуя)т внутренние и внешние силы. Поэтому М; аннино представить как сумму моментов внутренних сил М, „„.„, и внешних сил М, „„„„„,: (33.3) М! ™! ввутр + М! вввыв Подставим [33.3) в (33г2): Л, ч — ~ М! ввтвр + ~~~ М! в~!вв1н ° [33.4) М Рассмотрим любые две частицы системы, обо:!начин их цифрами 1 и й (рис. 90). По третьему закона Ньютона силы взаимодействия Р! и Рз частиц равны по величине и противоположны по направлению: Р! = — Рв.
Вычислим сумму моментов сил Р! и Рз: М! + М. = [г! Р!] + [гв Ра] = — [г! Рв] + [гв Ра] = = [га — г!,Рв] = О. [33.5) ложения частиц в прострапс!тве задаются радиусами-векторами г!, гз,..., г,,.... провед! ннь!мн пз некоторой неподвижной точки О [п! подивижного начала). Моменсаом импульса Т системы частиц относительно не!юдвижной точки О называется векторная сумма моментов импулыа Ь., всех частиц системы относите.,!ьно той же точки: Т = ~~! [г; р,] = 2 Х,. [33.1) !.! Е ! суммировани! выполняется по всем Р. чястипам системы. О Рисунок 89 иллюстрирует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
