1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Оба уравш пня применимы для описания движения твердого т>ла, которое можно рассматривать как систему частиц, расстояния между которыми неизменны. Решение уравнений в случае произвольного движения твердого тела представляет собой весьма трудную задачу. Мы не булля решать ее в обпц м виде, а ограничимся лишь частными случаями. Рассмотрим один из видов движения твердого тела — вращение вокруг неподвижной оси. й 35. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции Связь момента импульса твердого тела с угловой скоростью вращения. Момент инерции.
Пусть твердое тело вращается с угловой скоростьк> а> вокруг неподвижной оси 00', вдо.п которой нанравил| ось г неподвижной декартовой системы координат (рис. 97). Положительное направление оси з совпалает с направлением вектора в>. Найдем проекцию па ось г момента импульса тела относительно произвольной точки 0 этой оси. Мыши>нно раздл лим в<х те.>о на бе~~~ос >и> -и> ~~~~~ц массами»>„> нол>ер >астицы. Поло>кение час>нцы в п1>остранстве задается радиусом-вектором г„проведенным к ней из точки О. Траекторией движения каждой частицы является окружность с центром на оси врап>ения, плоскость которой перпендикулярна к этой оси. Обозначим через г,;> радиус окружности.
по которой движ» тся ~~~~~и~ с нол>л>рол> й Ъ',, — скорость ~~~~~и~, По определенин> момент импульса Ь; частицы относительно точки 142 Динамика тьердог» пмаа [ГП. п1 О равен: Ь, = [г, тп, У,]. Момент импульса Ь твердого тела от- носительно точки О раасн сумме ~~~с~~~~ импульса Ь; воях частиц: Ь = Е Ь' = Х [гп ' 'У ') (35.1) Момент импульса Ь, ю-й частицы не направлен, вооогце говоря, вдоль оси ж а с оставляет с ней некоторый угол О (см. рис.
97). Наидеы проекцию на ось з вектора Ь~: Ь,.~ = Л, сов 0 = [[г„гп,Ъ',)[ сов О = г;пйЯ сов О, (35.2) где Л,, = [[г,„гп;К,)[ = г,тпЯ -- модуль вектора Ь,, (векторы г, и Ч, перпендикулярны друг другу). Рвс. 97 Угловая скорость движения по окружности всех частиц одинакова и равна модулго ы пли проекции ы, вектора г» угловой скорости тела (в рис< матриваемом от~ ча~ ~> = <~,). Скорость частицы можно представить в виде: 1' 1: 6э г г1 ь (353) уравнение врон<ения вокруг нпмдвияеной оеи 143 И(! геометрических соображе!пш следует 1сх<. рис.
97): !., сов й = г(т. 135 Л) Подставим (35.3) и <35.4) в 135.2): Л,е = т(г;теле. (35.5) Проекция Ь.- нй Ось В мом()нтй иушй:!ьсй ) т<(лй, представленного формулой <35).1), равна сумме проекций А(е моментов импульса всех частиц, вычисяяе)пих по формуле (35.5): Л, = ~ Л„= ~ т,! ~~<в, = ( () т,! ~г) <й, (35.6) суммирование выполняется по всем частицам. на которые мыслепно разделено тело. Моментом инерции твердого тела относительно оси л нй:)ывается вели пша: 7 = ~ т<г;т. 135.7) !де т, масса 1-й частицы тела, г,т расстояние от этой частицы до оси В, суммирование выполняется по всем частицам.
на которые мьиленно разделено тело. Всякое макроскопи <еское твердое тело представ,шет собой совокупность бесконечно большого шсла частиц. Поэтому сумму в выражении <35.7)., строго говоря. <еледует заменить пределом суммы при !)< — ) .х. где Х .. число частиц, илн интегралом по объему тела. а момент инерции представить в виде: ав 7 = 1!п) ~~ т,г,, = ~ г~дт = ~ рг<й'е (35.8) (с )х и где ! ! ра<х:тоянне от элементарной массы (<!и до осн и. р плотность тела в данной точке, (Л' элементарный объем <й!и = р«)'), интегрирование ведется по объему )г тела 1не путать Обьех< )г с какой-либо скорость!о).
Момент инерции ! характеризует распределение массы тела по (!го <)оы;му. Из Определения сл(дйет, !То мом<)»т ин(рцип величина аддитнвная: момент инерции относительно некоторой 0('и сост(1Вн<)г<) те:!й рйВ('.и <уыме мом((итОВ ии(!рнии <(го чжтей. рж<считыВаеа1ых ОтносительнО той1 ж(! Оси. Прин!е!)ы Вычи(В1ения моментов пнер!цш будут даны ниже, а, пока приведем пх выражения для некоторых тел. плотность которых одинакова по всему об ьему тела 1однороднь!х т("л). Момент инерции однородного цилиндра 1диска) массы т радиуса 77 относительно <гго осн симметрии равен (<атЛ . Момент инерции однородного шара массы т радиуса Й относительно оси.
проходящей через центр шара, равен /-,!пЛ . Момент 144 Динамика н)аердаго наела ~1'Н. 11' инерции однородного тонкого стержня массы гг( н длины 1 относительно оси, перпендикулярной ст()ржню и проходящей через ('.ГО с()р(.дипг. раг()н ()эп(1 . л10хпп(т ин(ерции Однородного тонкого ст(.ржня массы )п и длины 1 Относительно Оси, ИР1пи;ндикулярной стержшо н проходящей терез его конец, равен '((вкп1 . С учетом определения (35.7) момента инерции проекция на ось момента импульса тела (см. (35.6)) равна: Ь, = 1(вк. (35.9) Согласно формуле (35.9) проекция па ось с момента импульса тРла (или. что то же самОР. мОМРит иыпулы:В тРла Отпо(.'нтРльно оси -)„обозначаемая чере:1 Л,, пропорциональна про(кции (ок на эту ось угловой скорости вращения тела. Коэффициентом пропорциональности служит момент инерции 1 тела относительно оси э.
Поскольку момент инерции У тела относительно оси - и проРкш(я 1чловой скорое(и В)„на э)1 Ос! Н(1 зависят О1 выбора.)ежащей на оси вращения точки О, .()тноснтельно которой расс штывался момент импульса Ь (ела (см. (35.1)). величина Ьк также не зависит От поло)к()пия то (ки О па оси в1ипц(гп(я ((и (3) 9)) Связь между вектором момента импульса 1 тела и вектором угловой скорости в), подобная связи (35.9) для проекций этих векторов. вообще говоря. не существует, то есть Ь ф й».
В общем случае вектор Ь не направлен вдоль оси вращения т(ла и нс коллинеарен вектору «). Однако можно показать. что если тело вращается вокруг свой собственной оси симметрии (рис. 98 а) а Рис. 98 пли вокруг оси, перпендикулярной собственной оси симметрии (рис. 98 б), выполняется соотношение: 1 =1(», (35.10) гдР 1 — МОмент инерции т(ла ОтнОситРльно Оси, совпада10!ц(',Й с осью вращения. Уравнение враи(енин вокруг неи<гввио(ейой оеи 145 Рассллотрнлл первый ("|учай.
Моменты импульса 1 1 = [Г|,«П(Ъ «) И 1. = [Гае наг Ъ"З) ЛЮбЫХ диуХ СИММЕтрн |НО раеположенных чйст|щ с рйвпымн»|йссйми гн| и «пе в сумме дй|от МОМЕНТ ИМПУЛЬСа Ь«о, НаПРан.|ЕННЫй ВДОЛЬ ОСИ ВРаЩЕНИЯ тЕЛа. Все обладйющее осью симм(.три|| те;п| меж(лт быть мыслеш|о р«1((делано на пары симметрично расположенных относигельно этОЙ оси '1йстиц ОдинйкОРОЙ мйссы.
51011(1««т 1лмпульсй Х~ т<ллй равен сумме моментов илшульса всех пар |яких частиц. Поскольку момент импулы:а каждой пары направлен вдоль оси вращения. тйкж< н«п|рйв:пи и молп|пт импульса телй [рис. 98 а). Аназ(яично рйссмйтривй<ется сп1'|йй ври«це«п«я телй вокруг оси. перпендикулярной оси симметрии [ршл 98 б). Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Твердое тело вращается с у|ловой скоростью а вокруг пеподв|лжной (к:и 00<, совпадающей с осью г неподвижной декартовой системы координат.
Обозначим чере| 1 момент импиг|ьсй телй отпосителык| произвольной то п(н 0 Оси ьб и и; рез М сумму моментов всех приложенных к телу внешних сил. Для твердого те||а как си( темы частиц справедл|лво уравнение молп|нтов: — ' =М. <и Запив«ел( его в проекции на ось <И<1| Подставив Аг из уравнения [35.9), получим 91х(вн(ение в1х(и1ения твердого |пела вокруг неподвижно(1 оси: 1= = ЛХе или 1~, = ЛХе [35.11) |и <!О«„- где 1 момент инерции тела относительно оси и ае и — ' |и - . проекции на ось угловой скорости и углового ускорения соответс(воино; ЛХ( момент внешних сил относительно оси г. Пример. Покажем на примере.
как трави(ение (35.11) применяется при решении задач. Однородный цилиндр ма(ты гп и радиуса «1 может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, совпадакицей с (|го осью симметрии. На цилиндр намотана тонкая нерастяжимая невесомая веревка, за ко"горую начинают тянуть с постоянной силой г'.
Найдем угловую скорость и 1тловое ускорение цилиндра [рис. 99). Динамика нгаирдакг) гасла !1'Н. 1К Направим ось и вдоль оси вращения и запишем уравнение вращения цилиндра: 9 36. Кинетическая энергия твердого тела и работа внешних сил Кинетическая энергия твердого тела. Пусть твердое тело вращаетгья вокруг неподвижной оси 00' с угловой скоросгью «) (рис.
100). Разделим мьигленно все тело па большое пп чо частиц с массами т, где 1 номер частипы. 1 1)аекторией дВнження кан'дой части" цы является окружность радиуса г;! гг, с центром па осн вращения. лежащая в перпендикулярной к оси вращения плоскости. Скорость ъ-й частицы обозначим и;рез 1'г. Кинетическая энергия 2Д твердого тела равна сумме кинетических энергий составляющих гшо частиц: Е )гг 1',а 2 (36.1) Рис. 100 где суммирование ведется гю всем частицам тела. ЛИНЕ)П)аи Ъ'г И УГЛОВаЯ 1О СКОРОСтн ЧаСтИЦЫ СВЯЗаПЫ СООтПО- шепнем: г'г — Оиг 136.2) Ер, =М,„ Вв! * ВГ 2 г11 где Х = )и!пВ момент инерции цилиндра !инск:птельно оси в, !)к = 11е)г)г)1! проекция на Ос! е уг'юВОГО ускорг)ния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
