1611143568-6c414b7a65a7cc66444fbd70877c8701 (825027), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Второе (ыагаех»х) — это вынужденное колеоание с циклической частотой (о, равной частоте вынуждающей силы. Постоянный коэффициент В ншывается амплитудой вын)жденноГО ко'»Ош!ия, (1) сдВВГ по (1)азе ме)кду ВВРшн('Й Вынуждающей силой и вызываемым этой силой колебанием. Движение тела под влиянием внешней гармонической силь) является наложени( и (с) х!мой) дво х ко» баний —. «Небедного заТухшоп(его С ШС1ОТОй о)' = ~7)О — () И ВЫН1ЖДРННО10 С «К:ГО- той, равной )астоте внешней силы г'. Подобный вид реш('ния уравнения затухаюп(их колебаний (46.1) можно ожидать и на основании физических соображений. Действительно, вне(пняя си.!а ВыВОд)ГГ мрхани»)скую систРК11 из положения раВноВесия и тем самым инш!пирует затухающие колебания. С другой стороны. вынужденные колебания должны происходить в такт с изк»)нениями Вншпней силы г' и, ()л(.довательно, Оппсывак)тся (армониче«кой функцией одинаковой с силой частоты.
200 Махани иоки( нолхбинин ~гл. у х = В сов(ар — (р). (46.3) то есть по исте внии Вреъгепи угтапоВ,чепия колеоаний. Дифференцируя выражение (46.3) по времени, найдем скорость х и ускорение,т тела: х = Ввсов(ар — (р+ — ), 2 т — Вва сов (в1 — (р + к) . (46.4) (46.5) Колебания скорости (г, опережают по фазе колебания смегпення х на х((2, колебания ускорения т, опережают колебания скорости па ту ж() ВОли 1ин~'. Подставив выра)кения для х, т, и х из формул (46.3)-(46.5) в уравнение вынужденных колеоапий (46.1): В(о сов((об — (р + х) + 2)3Ввсов (а1 — (р + — 21 + 2 / к') 2 +„2ВООВ(а~ ) о пг найдем сг'магу трех Гарь(оиических кол(гоаний леВОЙ 1асти полученного уравнения с помощью осип)орной д(гоаралглгиг.
Представим колебание а(2)В сов ((ор — (р) в виде вектора длиной (оо2В; колебание 2)3Ва сов (вр — (р + к)(2) — в виде вектора длиной 21)Вв, повернутого па угол к((2 против часовой стрелки относительно первого вектора: колебание (овВ сов (М вЂ” (р+11) в виде вектора длиной а В, повернутого в том же направлении на угол х((2 относительно второго вектора (рис. 134).
Сумма трех построенных векторов должна быть равна вектору колебания го — сов(оо правой части уравнения (46.6). Ич (еометрических со)и Из формулы (46.2) видно, что затухающие колебания игршот заметную роль только в начальной стадгш колебательного проПесса,. С т() вени()м Вр(.мщпг из-за, зкспонегщиальпо йбывагощ('.- го множител~ амплитуда:)г)тук)поп(их колеоашгй Ао( ) ' быст1ю уменьшается. По прошествии достаточного времени й. определяемого из у(шовия Аое ()( « В, затухающими колебаниями можно пренебречь, сохраняя в решении (46.2) уравнения вынужденных колебаний то.:и ко второе ( )агаемое. Промежуток времени.
по истечении которого можно пренебре (ь гатухак)щнмн колебаниями, нтывается време»ел( рвпиноолнния холебаьи(й. Опредеггим амплитуду В н сдвиг по фазе (р в условиях, ко(- да реп»)пие уг)(гниения вынг жденных колебаний мо)кно предст))- вить в виде Вннуан:доннно ноаабанин 201 ображепий следует (см. рис. 134): ( в 1) Вв+ 4~в вВа х; н1'-' Отсюда определим амплитуду В вынужденного колебания: В = о7"' .
(46.7) Амплитуда В завщ ит от частоты гв вьшуждакпцей силы. Из векторной диаграммы на рис. 134 можно определить тангенс у1ла ср, который представляет собой разность фаз колебаний внешней силы Г = = го сов о11 и смещения тела 2 ДозВ ;г = В сов (Ы вЂ” ~р): )П 18 (р =-,, (46.8) о— При наличии в механической системе затухания (р 'ф О) угол (Р всегда положителен. Это озн п1ает, 1то колебание смещения бу отстает по фазе от колебания 2 В 2 Ве В(юа — и ) Вооо вынуждающей силы Г (напомним, что на рассматриваемой векторной диаграм- Рнс. 134 ме положительное направление отсчета углов выбрано против часовой стрелки).
В зависимости от соотношения между частотами во и го Угол ~Р изменаетсЯ в п1>еделах от нУлЯ до к. Резонанс. Всякая механическая колебательная система ~руз на пружине. маятник и т.д, характеризуется собственной частотой гво и коэффициентом затухания р. При заданных значениях гво и 6 амплитуда вынужденных колебаний механической системы зависгп от частоты гв вынуждающей силы (см.
формулу (46,7)). Явление резонанса состоит в том, что щ>и определешюм:шаченип частоты вынуждающей силы амп,штуда вынужденных колебаний механической системы достигает максимального значения. Соответствующая частота называется резонансной нашпоьпой. На рис, 135 в соответствии с формулой (46.7) построен график зависимо< ти амплит1 ды В вынб жденных колебаний от частоты о1 вын1ждаю~ией силы.
Этот график называется алаплатйдной резонансной' кртавой, Рассмотрим параметры. характеризукпште ре:юнансную кривую. 202 Мег;иничеение колебании сгл. ' 1. Ре,п>напевал >аспсота. На резонансной частоте сории функпин Вссо) Достигает максимУма. ВЫРа>кение Дла сорин легко найти, приравняв нулк) произ- В водную подкоренного выра- в„,- ---- жения в 146.7): — ~((оо ~— о)') +4р со~) =О. Отшода, получаем „= )С вЂ” г> . (жг) ио Резон>пп:ная частота отдичает ся От с обе > в(>иной за; стоты соо механической сис(') )е~ 0) ре~ темы. Однако при малых значениях коэффициента Рве.
135 затухания )3 Ср « соо) это отличие незначительно. 2. Реаонапснал амилии>рда. Значение функции Вссо) в макс:имумс резонансной кривой пред('тавля(>т сооой амплитуду вынужденных колебаний в условиях резонанса Вр„з. Формулу для Врез получим подстановкой сор,з пз 146.9) в выражени( 146. () для В ((о): Рир(н Х1)>(т (гыг (1> С)> « соо) резонансная ахшлитуда при- Врез = ВС((врез) = При слабом затухании блпзительно равна: 146.10) В идеали((нрованнОЙ механи >еской системе с коэффи1(и(>ятом зат1ха>гня 'р, стремящимся к нулю.
р(.зс>пансная амплитуда ст1н>мяться к бсскОнечности, 3. Амссл((туда прп стремлеп((и часто>аьс со к 1(рлкь Стрем.>ение о> к нулю означает, что внешняя сила Р = Ро совЫ с течением времеяи изменяется очень м()дленно, ее можно с:читать постоянной величиной Р = Ро. В этих условиях тело смещено из положения равновесия, и его координата т, мало меняется со временем. Амплитуда Во вынужденного колебания равна величине смещ('ния тела из положения равновесия: Ва)няаэе()енине но))еааннл 203 В реэ а)реэ =а)о Поскольку сила Р Во прилож(па к телу, связанному с пружиной жссгко(ни )е, и собственная ча(е)ота системы равна (оо = =,/ы/т, то из (46.11) (следует: Во =— (46.12) Равенство (46.12) означает, что амплитуда Во вынужденного коек)бания совпадает с удлинением( пружины под д(',Й(г!'вием НОстоянной силы Ео.
4. Относи)вольнов вьюо)по максимрл)О резона)(с)(ой кривой. Р1ай,(ем Огнош(пи(е Враа к Во при с)!Вбом зат)хапин (/1 «О)о). Для этого поделим равенства (46.10) и (46,11) одно на другое: !Зрээ О)а (46.13) где Т = 2К/О)о период свободных затуханпцих колебаний сист('.мы, которые мало Отли'1аются От гармони п)ского кол('Оапия, 1,) добротность. Р1з (46.13) видно, что отношение В,, к Во равно добротности мн)конической системы.
Стп.донат()льно, добротность () показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе Вре, болыпе величины Во смещения системы из положения равновесия под действием постоянной силы гш равной амплитуде вынуждающей силы. Добротность механической системы характеризует относительную высоту м(аксимума резонансной кривой. 5.
Шиу)ио)и резонансной кривой. Вновь рвххмотрим колебательную систему со слабым затуханием, когда /1 « (оо. В этих устовиях резонансная )астота практически не отличается от собственной частоты механической системы: рээ (Оо — Ф =О)о 2 2 Р ОЦеним шиРинУ Ь(о Ре- Во зонансной кривой на такой с( высоте, где аь)п)!и- туда вьшуждснн01'О колеба- о а) ния В((о) в )('2 ра(1 меньше резонансной амплитуды Рис. !36 В„„, (рис.
136). Зна )ение (о, соотвст( твуюпп)е указа)шой высоте, определяется равенством В(го) = 204 Ыаиини ееснил ниллбанил [Гл. ' Поде:тавим выражения для В(в) из (46.7) и В|„л из (46.10) и выполним преобразования: Го[и) | ~о)))и 2)2+4)32 2 6[32 2)2 1(32(2 2 Будем считать, что ширина 2.)в резонансной кривой мола по сРавнепию с величиной еоо|. л.")в « о)а.
(-16.14) Ниже будет показано, что неравенство (46.14) эквивалентно у|вовик) слабого затухания /3 « еоо, которое мы считаем выполненным. Б этих условиях в — еоа, во — ео . и множитель в правой Ласти последнего равенства можно представ|лть в следующем виде: 2 2 2 Продолжим преобразования с учетом этого соотношения: ( 2 2)2 4[32(2 2 2) ,ц32 2 а — ' а -' а; (461) [1(во — в)(во+в)] =4)3 ва Подставив в (46.15) выражения еоа + а) = 2ва) Ьв [во — в! = —, 2 ш)лу шм Отсюда найдем ширину ре:|анонс|к)й кривой Ьв: Ьв = 2[3. (46.16) Из (:16.16) видно, что ширина ре:Лопансной кривой приблизитет1ы10 равна удвоелн1к)му кОэфч)и))понту затухш1ия [3 х1ехеипл'|е'.е;1|Ой систе)мы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
