1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Третий член разложения равен 1 ъ1 д' 1 = — ~~ ехгхе —— 2 а'е дХ)дХе!'(е ' (63 2) = 2 ~ ''!хехе 3 ' '"/Эх,дх,д,' !е) )У / 1 ея'! д* Тензор .О)л —,~ ', е (Зх;ха — тайге) (63,3) где сумма берется по всем зарядам; индекс, указываюший номер заряда, мы здесь опустили; х! — компоненты вектора г, а Х; — вектора йь Эта часть потенциала обычно называется квадрунольным потенциалом. Если сумма зарядов и дипольный момент системы равны нулю, то разложение начинается с р!е), В выражение (63,2) входит шесть величин ~ ах;хе.
Легко, однако, видеть, что в действительности поле зависит не от шести независимых величин, а только от пяти. Это следует из то~о, что функция 1/гсе удовлетворяет уравнению Лапласа 1 де 1 Л!е ' дХедХЛ Йе Мы можем поэтому написать р!е) в виде юй КВАДРУПОЛЬНЫН МОМПНТ называется тензором ггвадрупольного молгенвга системы. Из определения В!А следует, что сумма его диагональных компонент равна нулю: 7)П=О. (63,4) Симметричный тензор б!А имеет поэтому всего пять независимых компонент, С его помощью можно написать Н> йщ У 1 6 дХ!дХА Да (63,5) или, производя дифференцирование д' ! ЗХ!Хд В!А дХ!дХА !го Р) Я и Учитываа, что 3!А77!А —— 7)п — — О, у!;Ап;па 2Я (63,6) ! В„„=Ох = — — И„.
(63,7) Обозначая компоненту 7)„как 77 (ее называют обычно в этом случае просто квадрупольным моментом), получим потенциал в виде О (3„,,6 )1 (63,8) ~а где 0 — угол между Й, и осью г. Подобно тому кзк это было сделано в предыдущем параграфе для дипольного момента, легко убедиться в том, что квадрупольный момент системы не зависит от выбора начала координат, если равны нул!о как полный заряд, так и дипольный момент системы. ') Имеется в виду ось симметрии любого порядка выше второго.
Как и всякий симметричный трехмерный тензор, тензор 7)ы может быль приведен к главным осям. При этом в силу условия (63,4) в общем случае лишь два из трех главных значений независимы. Если же система зарядов симметрична относительно некоторой оси (ось г)'), то она же является одной из главных осей тензора й!м положение двух других , осей в плоскости ху произвольно, и все три главных значения связаны между собой; 216 постоянное электпомлгттитное поле (гл. х!т Аналогичным образом можно было бы написать следую.
щне члены разложения (63,1). Г-й член разло кения определяется тензором (так называемым тензором 2'-польного момента) 7-го ранга, симметричным по всем своим индексам и обращающимся в нуль при свертывании по любой наре индексов; можно покззать, что такой тензор обладает 2с+1 независимыми компонентами. Задача Определить квадрупольный момент однородно заряженного эллипсоида относительно его центра.
Р сш е н и е. Заменяя суммирование в (63,3) интегрированием но объему эллнпсоида, имеем: ,О„х = Е Ц (2х' — у' — з') стх оу сл, и т. д. Интегрирование по объему эллипсоида может быть заменено интегрированием по объему сферы, как это было сделано в задаче 2д к ф 25. В результате получим: 1)„,х = — „(2а' — Ь' — с'), е о уу. = — (2Ь' — а' — с') е уу 5 1 Всс = — (2с' — а' — Ь'), е 4я где с= — азер — полный заряд эллипсоида.
3 $64. Система зарядов во внешнем поле (64,1) Выберем снова систему координат с началом где-нибудь внутри системы ззрядов; г, — радиус-вектор заряда е, в этих координатах, Предположим, что внешнее поле слабо меняется на протяжении системы зарядов, т. е. является по отношению к этой Рассмотрим систеыу зарядов, находящуюся во внешнем электрическом поле. Посредством 3т(г) будем теперь обозначать потенциал этого внешнего поля, Потенциальная энергия каждого из зарядов есть е,1с (т,), а полная потенциальная энергия системы равна 0= '5" е,р(г,) о СИСТЕМА ЗАРЯДОВ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 211 $ б4) системе квазноднороднылг. Тогда мы можем разложить энер- гшо У в ряд по степеням г . В этом разложении У вЂ” Едб) ) (,Д) ) ) Ечб) (64,2) первый член есть Юб) = Рб ~~ ~ Е, (64,3) где эб — значение потенциала в начале координат.
В этом приближении энергия системы такова, как если бы все заряды находи.тись в одной точке. Второй член рззложения ()<)) =(йгаб у)б ° ~к~ е„г„. Введя напряженность Е„поля в начале координат и дипольиый момент 6 системы, имеем: ()н) = — 6Еб. (64,4) Полная сила, действующая на систему во внешнем квази- однородном поле, есть, с гочностью до рассмотренных членов, Г=Еб ~~ еа+ (йгай дЕ)б. Если полный заряд равен нул)о, то первый член изчезает и тогда Г=(67)Е, (64,5) т. е. сила определяется производпыми напряженности поля (взятыми в начале координат).
Полный же моыент действующих иа систему сил есть К = ~~ [г„е„Еб] = (6Еб1, т. е. определяется самой нзпряжениостью поля. Рассмотрим две системы с равными нулю суммами зарядов в калгдой из иик и дипольными моментами Й, и Йь причем их вззимное расстояние )т велико по сравнению с их собственныл)и разл)ерами.
Определим потенциальную энергию У их взаимодействия. )тля этого можно рассл)атривать одну из этих систем как находящуюся в поле второй. Тогда У= — баЕи 212 постоянное электиомягнитное пОле 1гл. хп где Е,— поле первой системы. Подстзвляя для Е, вырзжение (62,6), находимч д,а, — З (а,п)(д.я) дм (64,7) где п — единичный вектор в нзправлении от одной системы к другой. Для случая, когда у одной из систем сумма ззрядов отлична от нуля (и равна е), получаем аналогичным образом У=е —, дя А" где п — единичный вектор в направлении от диполя к ззряду.
Следующий член разложения (64,1) равен ('Г = 2 ~ ехгха д х;дха ' Здесь мы, как н в $63, опустили индексы, указывающие номер заряда; значения вторых производных от потенциала берутся в начзле координат. Но потенциал р удовлетворяет уравнению Лапласа д'т дхга дх;дха Поэтому мы можем нзписать И >= — — Р е1х;хь — — дгвг ~, 1 д'~г, %1 / 1 2 дх~дхаа~~ ( ' 3 ' )' или окончательно (ум1 11ы д те 6 дхгдха' (64,9) ф 6о. Постоянное магнитное поле Рассмотрим магнитное поле, создаваемое зарядами, совершающими финитное движение, при котором частицы остаются все время в конечной области пространства, причем импульсы тоже остаются всегда конечными. Такое движение имеет стационарный характер, и представляет интерес расслготреть среднее (по времени) магнитное поле Й, создаваемое зарядами; это поле будет теперь функцией только от координат, но не от времени, т.
е. будет постоянным, ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ 21З )(ля того чтобы найти уравнения, определяющие среднее мзгнитное поле, усредним по времени уравнения Максвелла г(щ Н О, го1 Н вЂ” + ). Первое вз них дает просто 61чЙ= О (65,1) Во втором уравнении среднее значение производной дЕ/д1, как и вообще производной от всякой величины, меняющейся в конечном интервале, равно нулю '). Поэтому второе уравнение Максвелла приобретает вид го1 Й = — 1.
(66,2) Эти два уравнения и определяют постоянное поле Й. Введем средний векторный потенциал А согласно го1 А=Й, Подставив это в уравнение (66,2), получим: игаб г)ьи А — ЬА = — 1. с Но мы знаем, что векторный потенциал поля определен неоднозначно, и поэтому на него можно наложить дополнительное условие. На этом основании выберем потенциал А так, чтобы 61ч А= О. (65,3) Тогда уравнение, определяющее векторный потенциал посто. янного магнитного поля, приобретает вид ЬА= — — ).
(66,4) ') Пусть у в такая величина, Тогда среднее значение производной лГ1лт за некоторый интервал времени Т есть г ф 1 (' лУ„1 У(т) — У(О) а Поскольку Г'(Г) меняется только в конечных пределах, то три неограниченном увеличении Т зто среднее значение действительно стремится к нулю, ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ [ГЛ.
ХП Решение этого уравнения легко найти, заметив, что (65,4) вполне аналогично уравнению Пуассона (59,4) для скалярного потенциала постоянного электрического поля, причем вместо плотности заряда р стоит плотность тока )1'с. По аналогии с решением (59,9) уравнения Пуассона мы можем написать А= — '~ фФ(, (65,5) с А1 где )с — расстояние от точки наблюдения поля до элемента объема с('ч'. В формуле (65,5) можно перейти от интеграла к сумме по зарядам, подставляя вместо ) произведение рч и помня, что все ззряды точечные.
При этом необходимо иметь в виду, что в интеграле (65,5) )т является просто переменной интег- рирования и потому, конечно, не подвергзется усреднению. Если же написать вместо интеграла ~ — с('г' сумму г —, Г ) %~ сстс 3А Аа то )т„будут радиус-векторами отдельных частиц, меняющи- мися при движении зарядов.
Поэтому нздо писать А = —,' ~,— """, (65,6) где усредняется все выражение, стоящее под чертой. Зная А, можно найти напряженность поля Й= го1 А = го1 — 1 — Ы)г. с Операция го1 производится по координатам точки наблюде- ния, Поэтому го1 мо кно перенести под знак интеграла и при дифференцировании считать ) постоянным. Применяя извест- ную формулу го( г а = г"го1 а + [дгаб У а), 1 где г и а — любые скаляр и вектор, к произведению ) °вЂ” Я Ф находим: го( — = 1ьпгаб — Ц =— и, следовательно, (65,7) (радиус-вектор )т направлен из 6(г в точку наблюдения поля). Это — так называемый закон Бпо и Савара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
