1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тогда о,+(о„=вне-гг '+'), и, отделяя вещественную и мнимую части, находим: не = ее~ соз(не+ а), о„= — ое, з!п(ма+ а). (48 4) Постоянные тел и а определяются начальными условиями, а есть начальная фаза; что же касается ом, то из (48,4) видно, что оег = у ее + нее г т. е. оы есть величина скорости частицы в плоскости ху, остающаяся прн движении постоянной Из (48,4) находим, интегрируя егце раз: х=хе+ гамп(м8+а), у=уе-,'-г сов(мг+з), (485) где е'ее оекч еРе (48,6) в ееег' еИ (р, — проекция импульса на плоскосгь ху).
Из третьего уравнения (48,2) находим о,=о„и а = ае .+ нее д (48,7) Из (48,5) и (48,7) видно, что заряд движется в однородном магнитном поле по винтовой линии с осью вдоль магнитного поля и с рздиусом г, определяемым (48,6). Скорость частицы при этом постоянна по величине. В частном случае, когда нее=О, т. е. заряд не имеет скорости вдоль поля, он движется по окружности в плоскости, перпендикулярной к полю.
Величина а, как видно из формул, есть циклическая частота вращения частицы в плоскости, перпендикулярной 174 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 1ГЛ. Х к полю. Если скорость частицы мзла, то мы можем приближенно положить гу= леса. Тогда частота ю превршцзется в еП лш ' (48,8) Задачи 1. Найти адиабатнческий пнварпзнт для движения заряда в однородном магнитном поле, величина и направление которого медленно меняются со временем. Р е ш е н и е.
Поскольку в однородном магнитном поле двюксние в плоскости, перпендикулярной к полю, псриодично, то адиабатнческим инаариантом являетсл (см. ф 32) интеграл 1 У= — Ургп), 2я,')' взятый по полному периоду движения — в данном случае по окружности (Рг — проекция обобщенного импульса иа указаннтю плие скость). Потгставив Рт =рг+ — А, имеем; с = — ~ рт л'1+ — СР А гу1. 1 Г е Г =йя~ 2яс 1 В первом члене замечаем, что рт посталнпо па величине н направлено па гу); ко второму примением теорему Стокса и заменлем го1А =Н; г'= грг+ — Пгл 2с где г — ради) с орбиты.
Подставив г из (46,6), находим: 1= —, Заре йеН ' Отсюда видно, что при медленном изменении П поперечный импульс рг меняется пропорционально )гй. 2. Определить частоты колебаний заряженного пространственного осциллятора, находящегося в постоянном однородном магнитном пале; собственная частота колебаний оспилтятора (при отсутствии полн) равна ям Р е ше н и е. Уравнения вынужденных кояебаний осциллятора в магнитном палс (направлегшом вдоль аси л) имеют вид еП еП . .Е+н,'.г= — тА )г+н,'-'у= — х, л+ ь'-„'я=о. глс шс Умножая второе уравнение на 1 и складывая с первым, получаем: еП „.
'1' + м3'.= — 1 — с', лк движение запяда в скРещенных пОлях 175 а 491 где с=х+!у. Отсюда находим, что частоты колебаний осцнллятора в плоскости, перпендикулярной к полю, равны Ксан поле тт' мало, то эта формула переходит в етт ш = ма ч- —.
2тс Колебания вдоль направления поля остаются неиэменнымн. $49. Движение заряда в скрещенных полях тч=еЕ+ — (чН] с напишутся в виде тих = — рст, ту= еŠ— — хО, ту = еЕ„, (49,1) е е с с Из третьего нз этих уравнений вилно, что влоль оси х варял движется равномерно-ускоренно: х = —,'„' 1'+ ть,й еЕ, (49,2) Умножая второе из уравнений (49,1) на 1 н складывая с первым, находим: — (х+(Р)+(ю(х+ тР)=1 — Е (ю= ео/тс). Интеграл этого уравнения равен сумме интеграла этого же уравнения без правой части и частного Наконец, рассмотрим движение заряда в случае одновременного наличия однородных и постоянных электрического и магнитного полей. Мы ограничимся при этом нерелятивистским случаем, когда скорость заряда о« с, и потому его импульс р= тч; как мы увилим пихте, лля этого необходимо, чтобы электрическое поле было мало по сравнению с магнитным. Направление Н выберем за ось г, з плоскость, проходящую через векторы Н и Е, за плоскость ух.
Тогда уравне* ния лвижения !тб ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ (гл х интеграла уравнения с правой частью. Первый из них есть ае-™, второй равен еЕэ1тм= сЕ„/О. Таким образом, еЕ„ х + (ут = ае- '"'+ Н Постоянная а, вообще говоря, комплексная. Написав ее в виде а =Ье'" с вещественными Ь и а, мы видим, что поскольку а умножается на е — ' ', то, выбирая соответствующим образом начало отсчета времени, мы можем придать фазе а любое значениц Выберем ее так, чтобы а было вещественно. Тогда, отделяя в х+(р мнимую и вещественную части, находим: Е„ х=асозм(, с —, р а,щ„й (49 3) а! При этом в момент времени г=О скорость направлена по оси х.
Мы видим, что компоненты скорости частицы являются периодическими функциями времени; их средние значения равны е7 Рпс. 30. сЕР и„= —, тх = О. (49,4) Эту среднюю скорость дви кения заряда в скрещенных электрическом и магнитном полях часто называют скоростью электрического дрейфа. Ее направление перпендикулярно к обоим полям и не зависит от знака заряда. Все формулы этого параграфа применимы, если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света; мы видим, что для этого требуется, в частности, чтобы электрическое и магнитное поля удовлетворяли условию Ет — «- 1, П (49,5) абсолютные же величины Еэ и гт' могут быть произвольными. 177 ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Интегрируя еще раз уравнения (49,3) и выбирая постоянные интегрирования так, чтобы при г=О было х=у=О, получаем: а, сЕ а х = — Гдп мс + — й у = — (соз мт — 1) .
(49 6) Рассматриваемые как параметрические уравнения кривой, эти уравнения определяют собой так называемую трохоиду. В зависимости от того, больие или меньше абсолютная вели- чина а, чем абсолкжпая величина СЕРН, проекция траекто- рии частицы на плоскость ху имеет вид, изображенный соот- ветственно на рнс.
30, а и рпс, 30, б. Если а= — сЕ,, Н, то (49,6) переходит в сЕ сд, х = — ~ (м( — тдп мГ), у = — (1 — соа ма), (49,7) мП т. е. проекция траектории на плоскость ху является цнклоидой (рис. 30, в). Формулы (44,3 — 4), выражаюгдие напряженности поля через его потенциалы, представлены в трехмерных обозначениях и потому неудобны для выяснения закона преобразования этих величии прп изменении системы отсчета.
Легко видеть, что совокупность всех компонент обоих трехмерных векторов Е и Н может быть предоставлена как совокупность компонент антисимметрнческого 4-тензора дА„ дАР ю дав дл" (50, 1) (его называют тенэорож элснщоэгагнитного полн). Смысл отдельных компонент этого тензора легко выяснить, подставив значения АР=(9, — А) в определение (50,1). Результат можно вапнсать в виде таблицы, в которой индекс р =О, 1, 2, 3 нумерует строки, а шгдекс т — столбцы: О Е Е„ Ек 0 — Нс Ею = Н, 0 (30,2) — Е, л — Е, ф 60. Тензор электромагнитного поля Е, Н„ — Н„ О злияд в электиомлгнитном поле ггл.
х Контравариантные компоненты того же тензора отличаяпся изменением знака при поднимании одного пространственного индекса: — Е„ 0 Е„ Е Н, Е, — Н„ (50,3) Отметим, что уравнения двилгения заряда в поле записываются с помошью тепзора Е „з виде лдя е ла с -' — = — Е" пг„. Раскрывая выражения в обоих сторонах равенства с помошью трехмерных обозначений (40,2), (40,5), (50,3) (и заменив пз=сг(( и' ! — и'-~'с'), легко убедиться в том, что при р= = 1, 2, 3 мы получим три компоненты векторного уравнения (44,6), а при р=0 — уравнение работы (44,7).
Формулы преобразования полей Е и Н можно найти теперь в соответствии с общими правилами преобразования 4-тензоров, )(омпоненты 4-тензора второго ранга Р'" преобразуются как произведения координат х"'х'. При преобразовании Лоренпа (36,3) координаты х'=у и хл = г не меняются; поэтому не меняется и компонента Ем: .яа Лм Далее, по той же причине компоненты Еаа, Еаз и Егз, Егз преобразуются соответственно как координаты ха=с! и х'=х: ла„Ь' „„ы г,м+ У Е,м н аналогично для Раз, Е1'. Наконеп, компонента Еа' должна преобразовываться как произведение х'х'! отсюда получилось бы 179 тснзОР электРОмлгннтного пОля Но поскольку в данном случае тепзор ЕР" антисимметричен, то Е' = — Г н потому о! ооо Выразив теперь компоненты тензора гчо' через компоненты полей Е н Н согласно (50,3), получим следующие формулы преобразования для электрического поля: ~г 91о (50,5) и для мапштного поля И' — — — Е' 1' 'С о Ео (50,6) Таким образом, электрическое и магнитное поля, как и большинство физических величин, относительны, т.
е. нх свойства различны в равных системах отсчета. В частности, электрическое нли магнитное поле моасет быть равно нулю в одной системе отсчета и в то же вреооя присутствовать в другои системе. Если в системе К' мзгнитное поле Н'= О, то согласно (50,5 — 6) между электрическим н магнитным полями в системе К существует соотношение Н = — 1ЧЕ) . 1 (50,7) Если же в К' поле Е'=О, то в системе К Е= — — 1ЧН). (50,8) В обоих случаях, следовательно, в системе К магнитные и электрические поля взаимно перпендикулярны. Эти формулы имеют, разумеется, и обратный смысл: если в некоторой системе отсчета К поля Е и Н взаимно перпендикулярны (но не равны по величине), то суоцествует такая система К; в которой поле чисто электрическое или чисто магнитное.
1ВО злгяд в элвктгомлгннтном полз 1гл. х ф 51. Инварианты поля Из векторов напряженностей электрического и мзгнитного полей можно составить инвзриантные величины, остаюшиеся неизменными при преобрааоззниях от одной инерциальная системы отсчета к другой. Мы получим таку!о величину, обрааоваз четырехмерный скаляр Р„„Р". Раскрыв его з трехмерных обозначениях, найдем, что Р„„Рз"= 2(НЯ вЂ” Е').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
