1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(1) Из этого определения следует, что если г(х) — любая непрерывная фтнкция, то у (х) В (х — а) а'х =у (а); ('1) в частности, +со у'(х) В(х) ох=у(0) (пределы интегрирования, разумеется, не обязательно должны быть -~-оо; областью интегрирования может быть любая область, заключающая ту точку, а которой з-функцня не исчезает). Справедливы также рзвенства В ( — х) = В (х), В (ах) = — В (х); 1 (а( (1У) их смысл заключается в том, что левая и правая части дают одинаковый результат, если их применять в качестве множителей под знаком интегрирования. Подобно тому как В(х) определена для одной переменной х, можно ввести трехмерную В-функцию В(г), равную нулю везде, кроме начала трехмерной системы координат, н интеграл которой по всему пространству равен 1, такую функцию можно представить как произведение В (х) В (у) В (г).
где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а г — радиус-вектор заряда е . Заряд частицы есть, по самому своему определению, величина инвариантная, т. е. не зависящая от выбора системы отсчета. Напротив, плотность р не есть инвариант, — инвариантом является лишь пронэвпдение рЫК 188 уРАВнения злсктромАГнит»»ОГО пОля 1гл х! Умножим равенство с(е=рс)И с обеих сторон на с(х": Йе сЬ" = р и» (с »Ы" = р Й (с с(1 —, Слева стоит 4.вектор (так как с(е есть скаляр, а с(х — 4-век!ар). Значит, и справа должен стоять 4-вектор. Но а»(/!(т а'хв есть скаляр, а потому р — ' есп 4-вектор.
Этот вектор аг (обозначим его через )и) назывзют 4-вектором тока: а'х" р Три пространственные компоненты этого 4-вектора обра- зу!от трехмерный вектор алое»ласти тока )=рт; (54,3) и — скорость заряда в данной точке. Временная составляю- щая 4-вектора тока есть ср. Таким образом, !""=(ср, )). (54,4) Введем 4-вектор тока в выражеш»е (53,7) для действия и преобразуем второй член в этом выражении. Вводя вместо точечных зарядов е непрерывное распределение с плотностью р, мы должны написать этот член в виде — — 1 рАР ахе с( '»', 1 Г с заменив сумму по зарядан интегралом по всему объему. Перепишем его как Таким образом, полное действие принимает вид 8= — ~~ ~ тесЬ вЂ” — „~А.„/'с(2 — —, ~ Р»„„Р'"а»(3.
(54,5) 1 Г 1 Г ф 55. Уравнение непрерывности Изменение со временем заряда, находящегося в некотором об» ме, дается производной а! ) р'((' С другой стороны, изменение за единицу времени определяется количеством заряда, выходящего за это время из дан- ьшавнение непяеяывности ного объема наружу, или, наоборот, входящего внутрь его. Количество заряда, проходящего за единицу времени через элемент г(1 поверхности, ограничиваюгцей наш объем, равно реЛ, где ч есть скорость заряда в той точке пространствз, где находится элемент Ж Вектор ай( направлен, как это всегда принимается, по внешней нормали к поверхности, т. е. по нормали, направленной наружу от рассматриваемого объема.
Поэтому ряс(1 = 1г(1 положительно, если заряд выходит из нашего объема, и отрицательно, если заряд входит в него. Полное количество заряда, выходящего в единицу времени из данного объемз, есть, следовательно, ф )г(1, где интеграл распространен по всей ззмкнутой поверхности, ограничивающей этот объем. Из сравнения обоих полученных выражений находим: — 1 р с1У= — ~ (гй. д г дг 3 (55, 1) Справа поставлен знак минус, так как левая часть положительна, если полный заряд в данном объеме увеличивается. Это уравнение, выражающее собой закон сохранения заряда, есть так называемое уравнение непрерывности, написанное в интегральном виде, Напишем это же уравнение в дифференциальном виде. Применив к правой части (55,1) теорему Гаусса: "у)г(1=) 01я)г($/ ~( ~+дг) находим: 51~)+ — Р=О.
(55,2) Это и есть урзвнение непрерывности в дифференциальном виде. Легко убедиться в том, что выражение (54,1) для р в виде в-функций автоматически удовлетворяет уравнению непрерывности. Для простоты предположим, что имеется всего лишь один заряд, так что р = ей (г — гя). Поскольку это равенство должно иметь место при интегри- ровании по любому объему, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю: урлвнения электРОмлгннт!юго пОля !Гл. х! Ток ) есть тогда ) =егд(г — г«), где г — скорость заряда. Найдем производную др,'д!. При движении заряда меняются его координаты, т.
е. меняется гь Поэтому др др 'дг, д! дг« дг Но дга!д! есть не что иное, как скорость в заряда. Йалее, поскольку р есть функция от г — г,, др др дг, дг Следовательно, — = — в ига 4 р = — д!т рт др д! (скорость зарядз ч не зависит, ко11ечпо, от г). Таким обрззом, мы приходны к уравнению (55,2). В четырехмерной форме уравнение непрерывности (бб,2) выра!кается равенством пулю 4-диверге1щии 4-вектора тока: д! (55,3) В 56.
Вторая пара уравнений Максвелла При нзхожденни уравнений поля из принципа наименьшего действия мы должны считать задзнным движение зарядов и должны варьировать лишь потенциалы поля, играющие здесь роль «обоб!ценных координат» системы (при нахождении же уравнений движения часп1цы мы, нзпротнв, считали иоле заданным и варьировали траекторию частицы). Этот вывод удобно произвести в четырехмерном виде.
Согласно сказанному вариация первого члена в (б4,5) равна теперь нулю, а во втором не должен варьироваться ток /". бакин образом, Ь8= — — '1 ! — уев„-';-- — ге"'дгс „1!«««=0 ВтоРАя ПАРА уРАВнения ИАксВеллА !9! (при варьировании во втором члене учтено, что РР"аР „ = =Р „аРР"). Подставляя в множителе 8РР, дА, дА„ имеем: 88= — — ~ ( — /~дА„+ — РР" д, 8А„— Рю д „А,)~Я. Во втором члене меняем местами немые индексы !А и ч, а также заменяем Р'Р на — РР'. После этого второй и третий члены оказываются одинзковыми, так что ( У '1Р 4 Р д 1 8А!)с1~' Далее, написав и применив к интегралу от первого члена четырехмерную теорему Гаусса !38,7), получаем: 1~(1.. 1 дРР~8А „ — — !) Р'"8А оо„.
!66,1) В последнем члене подразумевается его значение на пределах интегрирования. Пределами интегрирования по координатаи является пространственнзя бесконечность, где поле исчезает. На пределах же интегрирования по времени, т. е. в заданные начальный и конечный моменты времени, вариация потенциалов равна нулю, так как по смыслу принципа наименьшего лействия потенциалы в эти моменты заданы. Таким образом, второй член в !66,1) равен нулю, и мы нахолии условие минимальности действия в виде ~ ( — ',7~+-,-'-','„") 8А,д1)=6. Ввиду произвольности вариаций ЬА„ отсюда слелует равенство нулю подынтегрального выражения в скобках: дРРч Ля — = — — У" дх" а 1йй УРАВНЕНИЯ ЭЛНКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ !ГЛ Х! Перепишем эти четыре (р = О, мерной форме.
При 1ь= 1 имеем: ! дры ! дгх! + дРч. "+ г д! ' дх ду Подставляя знзчения составляющих ! дб„дНх дН с дг ду + дл 1, 2, 3) уравнения в трех- дд'" 4я '1 Ог с тенэора Г'", находим: 4я — хх Вместе с двумя следу!опдими (р= 2, 3) уравнениями опп могут быть записаны как одно векторное: ! дЕ, 4я го1Н= — — +— сдг с (56,3) Наконеп, уравнение с Н=О дает: 61 у Е = 4пр.
(56,4) Уравнения (56,3) и (56,4) и составляют искомую вторук! пару уравнений Максвелла!). Вместе с первой парой, они вполне определяют электромагнитное поле и являются основными уравнениями теории этих полей — элеюпродинамнкн. Напишем этн уравнения в интегральной форме. Интегрируя (56,4) по некоторому объему и прииеняя теорему Гаусса ~ д!РЯЕв!У=!)!Ед1, ф Е г(1 = 4л ) р г( К находим; (56,5) Таким обрззом, поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находяшемуся в объеме, огрзниченном этой поверхностью, умногкепному на 4!г. Интегрируи (56,3) по некоторой пеззыкнутой поверхности и применяя теорему Стокса ~ го1 Н г(1 = ф Н а1, нзходиы: $На!= — д ~ Еп(+ — ' ~ 13Е (56,6) ') Уравнения Максвелла в форме, применимой к электромагнитному полю в пустоте вместе с находя!цнмнся в исм точечными зарядами, были сформулированы Лоренцем.
плогиость и поток энвэгии Величину 1 дЕ 4я дг (56,7) называют тоном емеогенлл. Из уравнения (56,6), написанного в виде ~НЕЕ!= —" ~ ()+ — „' '~)Л, видно, что циркуляция мзгнитного поля по некоторому контуру равна помноженной на 4я/е сумме токов истинного и смешения, протекаюших сквозь поверхность, ограничиваемую этим контуром. Иа уравнений Максвелла можно получить известное уже нзм уравнение непрерывности. Беря с обеих сторон (56,3) дивергенцию, находим: ! д . 4о йч го! Н = — — йч Е+ — б!ч с дг с $ 67.
Плотность и поток энергии Умножим обе части уравнения (56,3) на Е, а обе части уравнения (52,1) на Н и сложим полученные уравнения по- членно: ! дЕ 1 дН 4я — Š— + — Н вЂ” = — — ' )Š— (Н го! Š— Е го! Н), с дс с дс с Пользуясь известной Формулой векторного знализа йч [аЬ[ = Ь го( а — а го1 Ь, переписывзем это соотношение в виде д (Е +Н) )Е й [ЕН) ! д я 4я 2с дг с или д Е'+ Н' — = — )Š— йч6, дг 8в Вектор 6= — „'.
[ЕН) (57,1) (67,2) называют вектором Пойнт!гнга. 7 Л, Д. Лаваау, В. ак Лвемяя Но його!Ни О и, подставив йчЕ из (564), мы возврашаемся к уравнению (55,2). 104 уРАВнения электРОмАГнитнОГО поля 1Гл, хг Проинтегрируем (57,1) по некоторому объему и применим ко второму члену справа теорему Гаусса. Мы получим тогда: 7У'= — ~ Р 11' — ~ ВЛ. 157,3) д Г Е'+О' Если интегрирование производится по всему пространству, то интеграл по поверхности исчезает (поле на бесконечности равно нулю). Лалее, мы можем написать интеграл ~ 1Е а 1с в виде суммы 'У',еуЕ по всем зарядам, находящимся в поле, и подставить согласно 144,7) еУВ = — й,„„. и Тогда (57,3) переходит в дг (~ 8 ~11с+~~~~~~„„~=0. 67,4) Таким обрззом, для замкнутой системы, состоящей из электромагнитного поли вместе с находящимися в нем части- дами, сохраняется величина, стоящая в написанном уравнении в скобках.
Второй член в этом выражении есть кинетическая энергия (вместе с энергией покоя всех частиц; см. примеча. ние на стр, 166Е первый же член есть, следовательно, энергия самого электромзгпнтного поля, Величину Е'+ И' вл (57,5) мы можем поэтому назвать плотностью энергвц электромаг. нитного поля; это есть энергия единицы объема поля. При интегрировании по некоторому конечному объему поверхностный интеграл в (57,3), вообще говоря, не исчезает, так что л~ы можем написать это уравнение в виде где теперь во втором члене в скобках суммирование производится только по частицам, находягцимся в рассматриваемом объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
