1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 28
Текст из файла (страница 28)
'!аким образом, одним из искомых инзариантов является величина Н — Е! = и!ц. (5 1,1) Непосредственно проверкой по формулам (50,5 — 6) легко убелиться, что при преобрззованнях Лоренца остается неизменной также и сумма Е,Л +Ел,Чт+Е,Пс. Таким образом: ЕН= О. (51,2) Межлу этими двумя инвариантаин имеется, однако, принципиальное отличие в отношении поведения при отражении (пнверсаш) пространственной системы координат — одновременном изменении знака координат х, у, г. Напомним, что при таком преобразовании компоненты истинного (нли, как говорят, полирноеа) вектора тоже меняют знак. Компоненты же вектора, который может быть прелставлен как векторное произведенив двух полярных векторов, при Инверсии остаются неизменными (такие векторы называют акспальныжа).
Скалярное произведение двух полярных или двух аксиальных векторов является истинным скалярам — оно не меняется при инверсии. Скалярное же произведение аксвального и полярного векторов является лсевдаскаляро.и — при инверсии оно меняет знак. Но согласно определению (44,3 — 4) Е есть полярный вектор, а Н вЂ” аксиальный вектор (векторное произведение полярных векторов 7 и А). Отсюда ясно, что НЯ вЂ” Е' есть истинный скаляр, а ЕН вЂ” псевдоскаляр (нстинным же скалярам будет квадрат (ЕН)т). Отметим некоторые следствия инвзриантности выражений (51,1 — 2). Если в какой-либо системе отсчета поля Е и Н одинаковы по величине (Е'=гтз), то они одинаковы по величине и во всякой другой инерцизльной системе отсчета.
Если в какой-либо системе отсчета поля Е и Н взаимно пер- 181 ГП1ВАРНАНТЫ ПОЛЯ $511 пендикулярны (ЕН=О), то они взаимно перпендикулярны и во всякой другой системе. Если ЕН=О, то можно найти такую систему отсчета, в которой Е=О или Н=О гсьютря по тому Ея — ууя(0 или > 0), т. е. поле чисто магнитное или чисто электрическое.
Обратно, если в какой-лнбо системе отсчета Е=О или Н=О, то во всякой другой системе онн будут взаимно перпендикулярны, в соответствии со сказанным в конде предыдушего параграфа. Исключением является случай, когда не только ЕН=О, но и Е' — гт'= Π— оба ннварианта равны нулю. В этом случае Е и Н во всякой системе отсчета рваны по величине и взаимно перпендикулярны но направлению. Глава Х[ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ $ 52.
Первая пара уравнений Максвелла Из выражений ! дА Н = го1А, Е= — — — — яга4 гс с дг легко получить уравнения, содержащие только Е и Н. Для этого определим го1Е: го1 Е= — — — го1А — го1 ягадо. 1 д с дс Но ротор всякого градиента равен нулю; следовательно, го1Е = — — —, 1 дН с де' (52,1) Взяв дивергенпию ог обеих частей уравнения го1 А = Н и помня, что дивергенция всякого ротора равна пулю, находим: 51тН=О. (52,2) Уравнения (52,1 — 2) составляют первую пару уравнений Максвелла'). Заметим, что эти два уравнения еще не опре- деляют вполне свойства поля, Это видно уже из того, что они определяют изменение магнитного поля со временем (производную дНгдт), но не определяют оронзводной дЕг'дт. Урзвнения (52,1 — 2) можно написать в интегрзльной Форме. Согласно теореме Гаусса ~ 51уНй)г=$ НЛ, ') Уравнения Максвелла — основные уравнения электродинамики — были впервые сфорл~улироааггы им в 1860-х годах.
а а31 деиствие для электяомлчч1итного пОля 183 где интеграл справа берется по всей замкнутой поверхности, охватывающей объем, по которому взят интеграл слева. На основании (52,2) имеем: фнл=о. (52,3) Интеграл от вектора по некоторой поверхности называется потоком вектора через эту поверхность. Таким образом, поток магципюго ноля через всякую замкнутую поверхность равен нулю.
Соглзсно теореме Стокса ~ го1 Е гИ = ф Е гЛ, где интеграл справа берется по замкнутому контуру, огибающему поверхность, по которой интегрируется с.чева. Из (б2,1) находим, интегрируя обе части по некоторой поверхногтщ (52,4) Интеграл вектора по замкнутому контуру называется г(гчркуляцпей это~о вектора по контуру.
Циркуляцию электрического поля называют также элемтродваагеуигей силой в данном контуре. Таким образом, электродвижущая сила в некотором контуре равна взятой с обратным знаком производнгй по времени от потокз мапшгного поля через поверхность, ограничиваемую этим контуром. ф 53. Действие для электромагнитного поля Денс~вне О для всей системы, состоящей из электромагнитно~о поля вместе с находящимися в нем частицами, должно состоять из трех частей: О = Ог+ О -1- О г О' есть та часть действия, которзя зависит только от свойств чзстиц, т. е. действие для свободных частиц.
Для одной свободной частицы оно дается формулой (39,1), Если имеется несколько частип, то их общее действие равно сумме действий для каждой частицы в отдельности. Таким образом, О = — ~ЛЧС ~ <Ь. (53,2) 134 хелвнения электеоылгнитного поля 1гл. х~ 8мг — — — ) — ~ А„г(х". (53,3) В каждом нз членов этой суммы Ая есть потенциал поля в той точке пространства н времени, в которой нзходнтся соответствующая частица.
Сумма 8„+8„,г есть уже известное нам действие (43,1) для зарядов в поле. Наконец, 8Г есть та часть действия, которая зависит только от свойств сзмого поля, т. е. действие для поля в отсутствии взрядов. До тех пор, пока мы интересовались только движением зарядов в ззданном электромагнитном поле, 8ю как не зависящее от частиц, нас не интересовало, так как этот член не мог повлиять на уравнения движения частицы.
Он становится, однако, необходимым, когда мы хотим найти уравнения, определяющие само поле. Этому соответствует то обстоятельство, что из части 8м + 8 действия мы нашли только два уравнения, (Я,1 — 2), которые еще недостаточны для полного определения поля. Для устзцовления вила действия поля 8г мы будем всходить нз следующего весьма важно~о свойства электромагнитных полей, Как показывает опыт, электромагннтнсе поле подчиняется так называемому принципу гулерпознцнш Этот принцип заключается в утвср кденни, что поле, создаваемое системой зарядов„представляет собой результат простого ело кения полей, которые создаются каждым из зарядов в отдельности.
Это значит, что напряженности результярую. щего поля и каждой точке равны сумме (векторной) напряженностей в этой точке каждого из полей в отдельности. Всякое решение уравнений ноля является полем, которое может быть осуществлено в природе, Согласно принципу суперпозиция сумма любых тзких полей тоже должнз быть полем, которое может быть осуществлено в природе, т. е. должно удовлетворять уравнениям поля, Как известно, линейные дифференциальные уравнения как рзз отличаются тем свойством, что сумма любых его решений тоже является решением.
Следовательно, дифференциальные уравнения поля долкны быть линейными уравнениями. 8 ~ есть та часть действия, которая обусловлена взаимодействием между частицами н полем. Согласно й 43 имеем для системы частиц: з Я1 деистзне для элсктяоллАГннтнОго пОля 165 Из сказанного следует, что под знаком интеграла в действии 8г должно стоять выражение, квадратичное по полю. Только в этом случае уравнения полн будут линейными,— уравнения поля получаются варьированием действия, а при варьировании степень подынтегрального выражения понижается па единицу.
В выражение для действия 8г не могут входить потенпиалы поля, так как они не определены однозначно (в 8мг эта неоднозначность была не существенна). Поэтому 8г должно быть интегралом некоторой функции от тензора электромагнитного поля Р „. Но действие должно быть скалярам и потому должно быть интегрзлом от некоторого скаляра (истинного). Таковым является лишь произведение Таким образом, 8г должно иметь вид: 8у — — а ) ~ Рл,РА" г(И Й, йl = ~(х 4у г(», где интеграл берется по координатам по всему пространству, а по времени — между двумя заданными моментами; а есть некоторая постоянная. Под интегрзлом стоит г'„„Р"" = = 2 (гтх — Еч) Поле Е содержит производную дА)д1. Но легко видеть, что (дА)д1)л должно входить в действие с положительным знаком (а потому и Р с положительным знаком).
А(ействительно, если бы (дА1'д1)х входило в 8г со знаком минус, то достаточно быстрым изменением потенциала со временем (в рассматриваемом интервале времени) всегда можно было бы сделать 8г отрицательной величиной со сколь угодно большим абсолютным значением; 8г не могло бы, следовательно, иметь минимумз, как этого требует принцип наименьшего действия. Тзкнм образом, а должно быть отрицательным. ') 11одынтсграаьная функция в Яу не должна содержать производных ог Р'„„, так ках в функцию Лагранжа могут входить, помимо коордийат системы, только нх первые производные по времени, л роль «координат« (г.
е. псрсменных, по которым производится варьнрованис в приицнпе наименьшего действия) играют в атом случае потенциалы Л поля, Это аналогично тому, что в механике функция Лагранжа дая механической свстемы содержит только координаты частиц и их первые производпыс по времени. 186 уРАВнення электРОМАгннтаюГО пОля 1гл х1 Численное значение а зависит от выбора единиц для измерения поли. Заметим, что после выбора определенного знзчения а вместе с единицами для измерения поля определяются тзкже и единицы для измерения всех остзльных электромагнитных величин. Мы будем в дальнейшем пользовзться так называемой гауссоаой спгшелсой едпнлсй в этой системе а есть безразмерная величина, равная — 17!бя, Таким образом, действие для поля имеет вид — — — ~р р"'~~ 1 1йяс и'2 = с сН г7х Ыу Ыг.
153,4) В трехмерном виде: 8я ~~~ (53,5) Другими словами, функция Лагранжа для поля есть 8 $~ Действие для поля вместе с находяпнншся в нен зарядами имеет вид (53,6) Я= — ~ ~ тстав — ~) ~ — А„баса — — „. ~ РР,Р'" ЫЯ. (53,7) ф 54. Четырехмерный вектор тока Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в целях математического удобства часто рассматривают заряды как распределенные в пространстве непрерывным образом. Тогда можно ввести ллотногть зарлда р так, что рс1'к есть заряд, находящийся в объеме Й$'1 р есть, вообще говоря, функция от координат и времени.
Интеграл от р по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме. При этом надо помнить, что в действительности заряды являются точечными, так что плотность р равна нулю везде, Ззметнм, что теперь уже заряды отнюдь не должны считзться малыми, как при выводе уравнений движения заряда в заданном поле. Поэтому А„и Р, относятся к истинному нолю, т.
е. внешнему полю вместе с полем, созданным самима ззрядами; АР и гч„„зависят теперь от положения и скоростей зарядов. четьюехмвиныи виктон тока кроме тех точек, где находятся заряды, а интегрзл ~рс(1' должен быть равен сумме тех эзрядов, которые находятся в данном объеме. Поэтому р можно написзть с помощью 6-функцийт) в следующем виде: р=,5 лай(Г Га) (54,1) ') В-функция В (х) определяется следующим образом: В (х) =0 при всея не равных нулю значениях х; при х=О В (0) =ос, причем так, что интеграл +ОЭ В (х) о'х = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
