1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Например, А"не есть тензор 2-го ранга, А"„В' — 4-вектор, А" „ — скаляр и т. д. Единичным 4-тензороы называется теизор Ь.", для которого имеет место равенство (38,3) Ь;,А»=А" при любом 4-векторе А». Очевидно, что компоненты этого тензора равны / 1, если 1»=ч, 110, если р~ч. (38,4) Его след: $=4.
Остановимся, наконец, на некоторых дифференциальных и интегральных операциях четырехмерного тензорного анализа, 4-граднент скаляра о есть 4-вектор дха в1, с дс' »)' При втом необходимо иметь в виду, что нзписанные произ. водные должны рассматриваться как ковариантные компоненты 4.вектора. Действительно, дифференциал скаляра г(с» =:с — с(х'" дт дх" ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ !47 тоже есть скаляр; нз его вида (скалярное произведение двух 4-векторов) и очевидно сделанное утверждение. Вообще операторы дифференцирования по координатзм х», д!'дх'", долл'ны рассматриваться как ковариантные компоненты операторного 4-вектора. Поэтому, например, является скаляром днзеогенцня 4-вектора — выражение дА','дм»,в котором дифференцируются контравариантные компоненть! А'", В трехмерном пространстве интегрирование может производиться по объему, по поверхности и по кривой, В четы.
рехл|ерном прострзнстве соответственно возможны четыре рода интегрирований: 1) по кривой в 4-пространстве, 2) по поверхности (двухмерной), 3) по гиперповерхносгн, т, е, по трехмерному многообразию, 4) по четырехмерному объему. Аналогично теоремал! Гаусса и Стокса трехмерного векторного анализа сушествуют теоремы, позволяющие преобра. зовывать друг в друга четырехмерные интегоалы. Из них нам понадобится лишь теорема о преобразовании интеграла по 4-объему в интеграл по гииерповерхностг!. Элеменг интегрирования по 4-объему г7Г» = г(ха Ых' гух» а!ха = с г7! !(1' (38,5) является скаляром; это очевидно нз сопоставления ззконов преобразования ннгервалов времени (35,1) и пространственных объемов (Зб,о).
Элемент же интегрирования по гнперповерхности г1ОР— 4-вектор, по величине равный «плошади» элемента гнперповерхности и по направлению нормальный к этому элемент!у (так, составлявшая г(ОЯ = г)х г(у Нг, т. е. представляет собой элемент трехмерного об.ьема й~ — проекцию элементз гиперповерхности на гиперплоскость ха= = сопя!).
Интеграл по зачкнутой гиперповерхности можно преобрззовать в интеграл по ззключенному в ней 4-объему путем замены элемента интегрирования г!ОР на оператор г(ЭР -» и'2 —. д Например, для интеграла от вектора АР имеем: $ АР г1ОР= ~ — й2. (38,7) Эта формула является обобшеиием теоремы Гаусса. Глава 1Х РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА 3 39. Энергия и импульс Как и в классической механике, для вывода релятивистских уравнений движения частиц мы будем исходить из принципа наименьшего действия.
Начнем с нахождения интеграла действия для свободной частицы. Этот интегоал не должен зависеть от выбора той или иной япеоциальной системы отсчета, т. е. должен быть январиантом относительно преобразований Лоренца. Отсюда следует, по он должен быть взят от скаляра. При этом под интегралом должны стоять дифференциалы в первой степени. Едннствен. ный такой скзляр, который можно построить для свободной частицы, есть элемент интервала г(з, илн сопя( г(з, где сопз1— характерная для частицы постоянная.
Обозначим эту постомн ную через — тс; смысл такого обозначения выяснится ниже. Итак, действие для свободной частнпы долзкно иметь вид: а 8= — тс ~ 0з, а (39,1) 8- — тса11/1 ' а. аск б а где ~ обозначает интеграл вдоль мировой линии между О двумя заданными событиями — нахождением частицы в начальном и конечном местах в определенные моменты времени 1, и 1ь С помощью (35,1) это выражение можно переписать в виде интеграла по времени 149 ЭНБРГИЯ И ИМПУЛЬС Сравнив его с обгцим определением (2,1) и 8=) ЕФ, мы видим, что релятивистская функция Лагранжа свободной частицы Е = — гига 1 1 — —,—.
сл (39,2) При малых скоростях, в нерелятивистском пределе, можно разложить Е по степеням о/с. Опустив члены выспиих порядков, получим: /ив' Е = — глс 2 Постоянный член в функции Лагранжа не отражается на уравнениях дви кения и может быть опуцген. После этого мы вернемся к классическому вырахгению Е=гло'1'2, В то «ке время выясняется смысл введенной в (39,1) постоянной т, которая совпадает с массой частицы.
Импульс частицы определяется как проивводная р= дЕ/ду. Продифференцировав выражение (39,2), получим: (39,3) л'р м л'я яг еч Ж' "~/ 1 — — ' с' (39,4) Если ке скорость меняется только по величине, т. е. сила направлена по скорости, то др м лу лт ( Ф)тм сЫ' (39,о) При малых скоростях (очх, с) это выражение переходит в классическое р=ту. Производная от импульса по времени есть сила, действуюцгая на частицу. Пусть скорость частицы ивменяется только по направлению, т.
е. сила направлена перпендикулярно к скорости. Тогда и'л. $х Рвлятнвистская мяхАпнкА Мы видим, что в обоих случаях отношение силы к ускорению различно. Согласно общему определению (6,1) энергия частицы Е=рч — Е. (39,9) Подставив сюда Е и р из (39,2) н (39,3), получим: (39,7) Эта очень важная формула показывает, в частности, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не обращается в нуль при о=О, а остается конечной величиной, равной Е=тс'.
(39,8) Ее называют энергией покоя частицы. При малых скоростях (п«~с) имеем, разлагая (39,7) по степеням вас: я 1 аю' Е гггса — —, т. е., за вычетом энергии покоя, классическое выражение для кинетической энепгии чзстицы. Подчеркнеи, что хотя мы говорим здесь о «чзстицегч по ее «элементарность» нигде не используется. Поэтому полученные формулы в равной с~висни применимы и к любому сложному телу, состоящему из многих чзстиц, причем под т надо понимать полную массу тела, а под и — скорость его движения как целого, В частности, формула (39,8) справедлива и для любого покоящегося как целое тела. Обратим внимание на то, что энергия свободного тела (т.
е. энергия любой замкнутой системы) окззывастся в релятивистской механике вполне определенной, всегда положительной величиной, непосредственно связанной с массой тела. Напомнил~ а этой связи, що в классической механике энергия тела определена лишь с точностью до произвольной зддитивной постоянной, и может быль как положительной, тзк и отоицательной.
Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергии покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодейсп1ия друг с дру- ЭНЕРГИЯ И ИХ!ПУЛЬС $ 391 Ее ,— „=р -!-т с. е ~ а я (39,9) Энергия, выраженная через импульс, называется, как известно, функцией Гамильтона Н: Н = с) ' ре -1- тесе. (39,!Й Прв малых скоростях р((п!с и приближенно Н шс -1-,—, Р' йа' т. е. за вычетом энергии покоя — классическое выражение функции Гамильтонз. Из выражений (39,3) и (39,7) вытекает также следующее соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной частицы Еч р=— с' (39,11) При в=с импульс и энергия часчпцы обра1цаются в бесконечность, Это значит, что частица с отличной от нуля лгассой т не может двигаться со скоростью света, В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой, равной нулю, движущиеся со скоростью света' ).
Из (39,11) имеем для таких частиц: Е е (39,19) Приближенно такая же формула справедлива и для частиц с отличной от нуля массой в так называемом улыпрарелигппвистсмол! случае, когда энергия частицы Е велика по сравненшо с ее энергией покоя тс'. ') '!иковы световые кванты — фотоны, а также 1клтр1то. гом.
Лругими словами, гпся не рвано сумме '5' „т„ся (ш„— массы частиц), а потому и гп не равно ~~ш . '!'аким образом, в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса сложного тела не равна сумме пасс его частей. Вместо этого имеет место только закон сохранения энергии, в которую включается также н энергия покоя частиц. Возводя выражения (39,3) и (39,7) в квадрат и сравнивая их, найдем следующее соотношение между энергией и импульсом частицы: 152 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Ил. ~х 9 40. Четырехмерный импульс Произведенные в предыдущем параграфе выводы сами по себе еше оставляют открытым вопрос о законе преобразования энергии и импульса частицы при переходе от одной системы отсчета к другой.
Пля ответа на этот вопрос необходимо выяснить четырехмерную природу этих вели«те Из обычного трехмерно~о вектора скорости частицы и можно образовзть и 4-вектор. Такой «егиарстлирной сьоростью (4-скоростью) является (40,1) Выразив элемент интервала г(з через дифференциал времени й согласно (35,1), можно написать: Отсюда видно, что компоненты этого 4-вектора (40,2) Компоненты 4-скорости не независимы. Заметив, что Ылаг(ха = г(за, находим: и„и" = 1.
(40,3) С геометрической точки зрения и' есть единичный 4-вектор касательной к мировой линии частицы. Чеглырехмернмлг гьилульсом (4-импульсом) частицы называется 4-вектор (40,4) р' = тси'*. Ваяв компоненты 4-скорости из (40,2) и сравнив с выражениями (39,3) и (39,7), мы увидим, что компоненты 4-импульса иа = ( —, р), (40,3) Таким образом, в релятивистской механике импульс и энергия являются компонентами одного 4-вектора. Отсюда сразу следуют формулы преобразования этих величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
