1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ц. Поскольку скорость света в системах К и К' одинакова, то, аналогично (84,!), имеем: (хя х~) +(Уя У1) +(гя — гг)Я вЂ” с (1я — 11) = О. (34,2) Если хь уь гь 1~ и х„уф гя, 1а — коордиааты каких-либо двух событии, то величинз згя = [е~(гя — 1~)я — (хя — х,)' — (уя — уг) — (-,— г1)") ~ (34,3) называется пнгаераалолс между этими двумя событиями.
б л, Д. ландау, в. и. лнфшяч гзо пппнц|гп относнтвльностн ~гл кгц Таким образом, из инвариаптности скорости света слелует, что если интервал межлу двумя событиями равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и во всякой лругой системе, Если два события бесконечно близки друг к другу, то лля интервала т(з межлу ними имеем: став = счсгтв — пхв — сгув — иггв, (34,4) Форма выражений (34,3) или (34,4) позволяет рассматривать интервал, с формальной математической точки зрения, как расстояние между двумя точками в воображаемом четырехмерном пространстве (на осях которого отклалываем х, у, г и произвеление ст), Имеется, олнако, сушественное отличие в правиле составления этой величины по сравненг|кт с правилом обычной геометрии: при образовании квадрвга интервала квалраты разностей коорлинат по различным осям суммируются не с олипаковыми, а с различными знаками ').
Как было показано иыше, если г(з = О в некоторой инерциальной системе отсчета, то игз' = О и в другой системе. С лругой стороны, т(а и г(з' — бесконечно мзлые одинакового порялка. Из этих лвух обстоятельств слелует, что игзв и игам лолжны быть пропорциональны лруг лругу: с(зв = а тг'з'в Э причем коэффициент а может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости обеих инерциальных систем.
Он не может зависеть от коорлинат и времени, так как тогла различные точк~и пространства и моменты времени были бы не равноценны, что про~иворечитолноролности пространства и времени. Он не может зависеть также и от направления относительной скорости, так как это противоречило бы изотропии пространства. Рассмотрим три системы отсчета К, Кь К, и пусть тг, и 'тгч — скорости лвнжсния систем К, и К, относительно К. Тогла имеем: т(а' = а ()гг) г)а,', г)ав = а (Ь'т) гй.',. ') Четырехмерную геометрию, определяемую квадратичной формой (34,4), называют исевдоевилидовой в отанчйе от обычной, евклидовой, геометрии. Эта геометрия была введена в связи с теорией относ|пельности Г, Миииовгиилт. ИНТЕРВАЛ С тем же основанием можно написать гй"; = а ()г11) гЬ„' где $'11 — абсолютнаЯ величина скоРости движениЯ Кя относительно КР Сравнивая друг с другом эти соотношения, напдем, что должно быть ,' =а()г„).
(34,5) Но 'гы ззвисит не только от абсолютных величин векторов 111 и Чя, но и от угла между ними. Между тем последний всобше не входит в левую часть соотношения (34,5). Ясно поэтому, что это соотношение может быть справедливым лишь, если функция а(~') сводится к постоянной величине, рваной, как это следует из того же соотношения, единице. Таким образом, а иа равенства бесконечно малых интервалов следует равенство также и конечных интервалов: а= а'.
Мы приходим, следовательно, к важнейшему результату: интервал между событиями одинаков во всех инерциальных системах огсчета, т. е. является инвариантом по отношени1о к преобразованию от одной инерциалы1ой системы отсчета к любой другой. Эта ппвариангность и является математическим выражением постоянства скорости света. Пусть опять х„ у„ г„ 11 и хя, ум г„ 11 — координаты двух события в некоторон системе о~счета К. Спрашивается, сушествует ли такая систел1а отсчета К', в котороп оба эти события происходилн бы в одном и том же месте пространства.
Введем обозначения (Х1 — Х1) +(У1 — У1) +( 1 — Д1) ='11 11 11 =1Ы Тогда квадрат интервала между событиями в системе К: зи — — сЧ11 — г!2 и в системе К'. а,', = с-"Я вЂ” Я, при1ем в силу пнвзриантности интервзла С'Г11 — Р11 = С1Г111 — 111. о !32 ьгл. щп ппыыцип относительность! Мы хотим, чтобы в системе К' оба собы!.ия произошли в од- ной точке, т. е. чтобы 7;я=О.
Тогда а!!=СИ вЂ” !,,= лтья О, Следовательно, система отсчета с требуемым свойством существует, если а,',) О, т. е. если интервал между обоими событиями вещественный. Вещественные интервалы называьбт аременнлодобнымп. Таким образом, если интервал между двумя событиями времениподобный, то существует такая система отсчета, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Время, которое пройдет между этиыи событиями в этой системе, равно ь;ь= — 'г сЧья — (;",= — ', с г (34,6) Если какие-нибудь два события происходят с однил! и тем ке телом, то интервал между ними всегда времениподобный. Лействительно, путь, который тело проходит между обоими событиями, не может быть больше сты, так как скорость тела не может быть больше с. Поэтому всегда 1ь! ( с 1!!.
Зададимся теперь вопросом, нельзя ли выбрать такую систему отсчета, в которой два события произошли бы в одно и то же время. По-прежнему мы имеем в системах К и К': Сат",„— ьы=Саь;! — 7ь!. МЫ ХОТИМ, ЧтОбЫ т;.=О; ОтСЮда з'„= — 7,с О. 7;ь=3/(п — сЧ,', =) аж!. (34,7) Следовательно, искомую систему отсчета можно найти только в том случае, когда иьпервал аья между двумя событьщми мнимый. Мнимые интервалы называют проспьранспьвеннолодобнымн. Таким образом, если интервал между двумя событиями просгранственноподобный, то существует такая система отсчета, в которой оба события происходят одновременно. Расстояние между точками, где произошли эти события в этой системе отсчета, равно интвэвлл гзз Подразделение интервалов нз времениподобные и пространственпоподобные есть, в силу их инвзриантности, понятие збсолютное.
Это значит, что свойство интервала быть времениподобным или пр остр аист вен ноподобныи не зависит от системы отсчета. Возьмем какое-нибудь событие — назовем его событием Π— в качестве начала отсчета времени и пространственных координат. Другими словами, в четырехмерной системе координат, на осях которой откладываются х, у, л и г, мировая точка события 0 будет началом координат.
Посмотрим теперь, в каком отношении к данному собыжпо 0 л с пзходятся все остальные события. лль Фуд Для нзглядпостн ыы будем рассматривать только одну пространственную координату и время, откладывая их на двух осях (рис. 29). Прямолинейное равномерное движение ча- >«глл «т Ф~д стицы, проходящей точку ж= 0 прн 1 = О, изобразится прямой линней, проходящей через О и наклоненной «чгд ляяи к оси г под углом, тзнгенс которого равен скорости частицы. Поскольку нзибольшая возможная скорость рав- Ряс.
29. на г, то существует наибольший угол, который может образовывагь эта прямая с осью б На рис. 29 изображены две прямые, изображающие распространение в противоположных направлениях двух сигналов (со скоростью света), проходяцгих через событие О (т. е. проходящих х= 0 при г = О). Все линии, иаображающие движения частиц, могут лежать только внутри областей аОс и ЫОЬ. На прямых аЬ н сг(, очевидно, л=+ сй Рассмотрим сначала события, мировые точки которых лекат внутри области аОс. Легко сообразить, что во всех точках этой области г'ГЯ вЂ” ха .»О. Другими словами, интервалы между любым событием этой области и событием 0 — времениподобные. В этой области г > О, т. е.
все события этой области происходят «после» события О. Но два события, рззделенных времениподобныы интервалом, ни в какой системе отсчета пе могут происходигь одновременно. Следовательно, нельзя выбрать и никакой системы отсчета, где бы какое-нибудь из событий области аОс пгпнш!и от»!Осптвлы!Ост!! !гл. ш!! происходило «до» события О, т. е. где было бы 1(0. Таким образом, все события области аОс являются будушимп по отношению к О, и притом во всех системах отсчета.
Эту область можно поэтому нззвать «абсолютно будупгей» по отношению к событию О. Совершенно аналогично все события области ЬОЫ являются «абсолютно прошедп!ими» по отношению к О, т. е, события этой области во всех системах отсчета происходят до события О. Иаконец, рассмотрим еше области а!Оа и сОЬ. Интервал между любым событием этой области и событием Π— пространственноподобный.
В любой систе»!е отсчетз эти события происходят в разных местах пространства. Поэтому эти области можно назвать «абсолютио удзленными» по отношению к О. Понятия «одновременно», «рзпьше» и «позже» для этих событий, однако, относительны, Лля всякого события этой области есть такие системы отсчета, где оно происходит позже собы. тия О, системы, где оно происходит раньше О, и, наконец, одна система отсчета, где оио происходит одновременно с О. Заметим, что если рассматривать все три пространственные координаты вместо одной, то вместо двух пересекаю- шихся прямых на рис.
29 мы имели бы «конус» х»+у»+ + ໠— с'г»=0 в четырехмерной системе координзт х, у, г, «, ссь когорого совпадает с осью 1 !этот конус называют световым кону«о.и'! Области «абсолютно будушего» и «абсолютно прошедшего» изображаются тогда соответственно двумя внутренними полоотями этого конуса. Дза события могут быть причинно связаны друг с другом только в том случае, если интервал между ними времениподобный, что непосредственно следует из того, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей скорости света.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
