1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Искомая связь представляет собой условие отсутствия сколь>кения в точке касания, т. е. дается уравнением 108 (гл. щ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Задачи 1. Пользуясь принципом д'Аламбера, найти уравнения движения однородного шара, катящегося по плоскости под действием приложенных к нему внешней силы Г н момен~а снл К. Решение.
Уравнение связи (28,3) нашшано уже в тексте. Вводя силу реакции (обозначим ее, как й), прнложеннло в точке касавня шара с плоскостью, напишем уравнения (28г)1. гт(/ Р.— =Г+й, ат ) — ' = К вЂ” а [пй] гтс (2) (здесь учтено, что Р =и(Г и *по для шарового волчка М Р У()). Дифференцируя уравнение связи (28,3) пэ времени, получим: ту= а [йп]. Подставив в уравнение (1) н исключая й с поггощшо (2), найдем уравнение ) ан.
— (Г + й) = [Кп] — ай + ап (пй), связывающее силу реакции с Р н К. Расписав зто уравнение в компонен- 2 тах и подставив 1==- Ра' (см. зз- 5 дачу 2б 8 25), будем вметгн 5 2 т2 = — К вЂ” — Г, та У 5 '2 й„= — т— ʄ— т Гу, г) ту Рис, 25. (плоскость лу выбрана в плоскости качения). Наконец, подставив зги вырзження в (1), получим уравнения движения, содержащие уже только заданные внешние силу и момент: Комггоненты й„й угловой скорости выражаются через )гл и Рд с помощью уравнения связи (28,3), а для й имееи урзвнение 2 г(й 5 1 т(т (г-компонента уравнения (2)).
109 СОПРИКОСНОВЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ % Щ 2. Однородный стержень ВР весом Р и длиной т опнрастсн на стену, как показано на рис. 25; его нижний конец В удерзтгы вается нитью АВ. Определить реакцию опор и натяжение нити, Рпс. 2б. Р сш е н и е. Вес стержня представляется приложенной к его середине силой Р, направленной вертикально внпт.
Силы реакции В и Вс направлены соответственно ),,(т вертикально вверх и перпендикулярио к стержню; натяжение нити Т направлено от В н А. Решение ь' уравнениЯ равновесия дает Р! й = — з1п 2е, С вЂ” ад ' В =Р— В апе, у=Рогоз«. 3. Стержень АВ весом Р опирается своими концамн на горизонтальную и всртнкааьн)ю тР плоскости (рис. 26) и удсржз- л у,г Ю застоя в атом положении дв).мя ! горизонтальными нптлми АО а ВС; нить ВС находится в одной (вертикальной) плоскости со стерж- ,4 У нем ЛВ.
Опредешпь реакции Рнс. 27. опор и натяжения шисй, Решение. Натяжения нитей Т н Тп направлены от Л к Ту и от В н С. Реакции Вд и Вп перпендикулярны к соответствующим плоскостям. Решение уравнений равновесна даст: Р— Тп с'кои Вд — ТВ зп1 г )д — Тп есме г по движвнип твдвдого твлл )гл чг 4. Два стержня длиной! соединены сверху шарниром, з снизу скреплены нитью АВ (рис.
27). К середине одного из стсрнсней приложена сила В(весом сгсржней пренебрегаем). Определить силы реакцнв. Р е ш е н и е. Натяжение нити Т дсйсгвует в точке А от А к В, а в точке  — от В к 'А. Реакции В и Вв в точках А и В нерпендикуллрны к плоскости опоры. Посредством Йс обозначим силу реакции в шарнире, дсйс1вующую иа стерягень АС; тогда на стержень ВС' действует рсакцвя — Йг, Условие равенства нулю сумхнч л.оиентов спл Й„, Т и — Йс, действующих на стержень ВС, приводит к результату, что вектор Й направлен вдоль ВС.
Остальные условия равновесия (лля кажгюго из двух стержней) приводят к значсиилм 3 г  — Вп=— л 4 ' и 4' глс л — угол САВ. 9 29. Движение в неинерциальпой системе отсчета До сих пор, рассиагривая движение любои мехгншческой системы, мы всегда относили его к ннерциальной системе отсчета. Только в ннерциальных системах ото |ета функция Лзгранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид )., =,' — (у, 2 и соответственно урзвнение движения дн, д(У Ж вЂ” -'-= —— дг (мы будем в этом параграфе отличать индексом О величины, относящиеся к инерцнзльной системе отсчетз).
Займехгся теперь вопросом о том, кзк выглядят уравнения движения частицы в непнерциальной сис~еме отсчета. Отправным пунктом при решении этого вопроса снова является принцип наименьшего действия, применимость которого нс огрзничена никаким выбором системы отсчета; вместе с ним остаются в си.ле и уравнения Лагранжа д дй дй дс дч дг ' Однако функция Лагранжа уже не имеет вида (29,1), и для ее нахождения необходимо произвести соответствующее преобразование функции Вл. а ял дВижение В неинеРцилльной системе Отсчета 1~! Это преобразование мы произведем в два приема Рассмотрим сначала систему отсчета К', которая движется относительно инерциальной системы К, поступательно со ско; ростью Ч (~).
Скорости в, и и' частицы относительно систем К, и К' связаны друг с другом соотношением та= «'+ЧУ) (29,3) Подставив это выражение в (29Л), получим функцию Лагранжа в системе К' Ь' = — + тч'Ч + —, Чт — К 2 2 Но ЧЯ(1) есть заданная функция времени; она может быть представлена как полная производная по ~ от некоторой другой функции, и потому третий член в написанном выра кении может быть опущен.
Палее, т'=Ыт'~й, где т' — радиус- вектор частицы в системе координат К', поэтому Лг' д,, ЛЧ тЧ (Г) и'= тЧ вЂ” = — (игЧТ') — тт' —. Подставив это в функцию Лагранжа и снова опустив полную производную по времени, получим окончательно: гляи 1.' = — — — т% (1) г' — У, 2 (29,4) где %=дЧ/й — ускорение поступательного движения системы отсчета К'. Составляя с помощью (29,4) уравнение Лагранжа, получим: т — = — —, — т% (1). дч ди лг дг' (29,5) Мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение % и направлена в противоположную этому ускорению сторону.
Введем теперь еще одну систему отсчета, К, которая имеет общее с системой К' начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью ьа(1); по отношению же к инерциальной системе К, система К совершает как поступательное, так и вращательное движение 1!2 движение тввидого тела игл. ч1 Скорость и' частицы относительно системы К' склздывается из ее скорости и относительно системы К и скорости [(аг) ее вращения вместе с системой К: и'= и+ [(аг] (радиус-векторы г и г' частицы в системах К и К' совпадают). Подставив это выражение в функцию Лагранжа (29,4), получим: ).
= —,— + тч [() г) + —, [Яг)Я вЂ” т%г — У. (29,6) Это есть общий вид функции Лагранжа чзстицы в произвольной неииерциальной системе отсчета. Отметим, что вращсние системы отсчета приводит к появлению в функции Лагранжа члена совершенно особого вида — линейного по скорости частниы, Лля вычисления производных, входящих в уравнение Лагранаса, пишем полный дифференциал ~П. = тч йч + т йч [(е г) + тч [(е Иг) + т [(аг] [(е йг]— — т% йг — — йг = тч йч -ю т йч [() г] -1- т йг [чЩ + д0 дг + т [[(а г] (а) а г — т% йг — — — йг. до' дг Собирая члены, содержащие «Ъ и йг, найдем: д« вЂ” = пгч+ ги [ьаг), дч — = т [чаа) + т [[ь)г) (а] — т% — —.
д« д(г дг дг ' Подстзвив эти выражения в (29,2), получим искомое уравнение движения т дг — — — д — т%+ ел[гас]+ 2т [чае]+ т [(а [г()]]. (29,7) дч д0 Мы видим, что «силы инерции», обусловленные вращением системы отсчета, слага|отся из трех частей. Сила т [гь)1 связана с неравномерностью вращения, а две другие присутствуют и при равномерном вращении, Сила 2т [чЩ называется сплойс Корполиса; в отличие от всех ранее рассматривавшихся (не диссипативных) сил она зависит от скорости частицы. Сила т [(а [г(а]] называется центробежной. Оиа а аа1 ДВИЖение В НЕИНЕРцИАЛЬНОН сИстемЕ ОтСчЕта 113 Ь = — + тч [()г] + -,—, [(1г]" — У (29,8) и уравнение двкжения т — „= — — + 2т [ч()]+т [(2 [г()Ц, (29,9) Вычислим также энергию частицы в этом случае. Подставив дд р = — = тч + т [(аг] дч в Е=рч — Е, получим: Е= — — «Яг]а+ 17 2 2 (29,11) Обратим внимание на то, что в энергии линейный по скорости член отсутствует.
Влияние вращения системы отсчета сводится к добавлению в энергии члена, зависящего только от координат частицы и пропорционального квадрату угловой скорости. Эта дополнительная потенцкалькая энергия — — [()г]' казы вается центробежной. т 2 Скорость ч частицы относительно равномерно вращающейся системы отсчета связана с ее лсе скоростью ч, относительно инерциальной системы К„посредством ч„= ч + [лаг].
Поэтому импульс р (29,10) частицы в систел~е К совпадает с ее же импульсом ра=тлчл в системе КР Вместе с ними совпадают также моменты импульсов М,=[гр,] и М=[гр]. Энергии же частицы в системах К и К, различны, Полставив ч из (29,12) в (29,11), получим: лт1 то] Е= — 2 — » .[Пг]+(7= —,'" -]-(7 —.
[Тч.]и направлена в плоскости, проходящей через г и л1 перпендикулярно к оси вращения (т. е. направлению Й), в сторону от оси; по величине цектробелгная сила равна ллрВа, где р— расстояние частицы от оси вращения, Расслютрим особо случай равномерно вращающейся системы координат, не име|ощей поступательного ускорения. Положив в (29,6) и (29,7) ля=сопя), %=0, получим функцкю Лагранжа 114 движение твзпдого тнлд !гл. чт Первые дза члена представляют собой энергию Е, в системе К„ Вводя в последний член момент импульса, получим: Е= Еа — Ж~.
(29,1 3) Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат. Хотя мы вывели его для одной частицы, но очевидно, что вывод может быть непосредственно обобщен на случай любой системы частиц и приведет к той же формуле(29,13). Задачи 1. Найти отклонение свободно падаюншго тела от вертикали, обусловленное вращением Земли. (Угловую скорость вращения считать малой.) Р еще вне. В поле тяжести (г'= — шйг, где й — вектор ускоренна силы тяжести; пренебрегая в уравнении (29,9) центробежной силой, содержащей квадрат (а, получим уравнение движения в виде ч = 2[ч() ] + й.
(1) Решаем это уравнение посаедовательныии приближениями. Для э~ого полагаем: ч=ч,+чн где ч,— решение уравнения ч, =и, т. е. ч, =йг+ ч, (ч,— начальная скорость). Подставляя ч =ч, + ч, в (1) и оставляя справа только чо получим уравнение для ч,: ч„=- 2 [ч,() [ = 2г [йЩ + 2 [ч,Я[. Интегрируя, пол) чии: йта Га г = Ь+ час+ --+ —. [йа[+ г' [чащ, (2) где й — вектор начально~о положенин частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
