1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В первом случае, учитывая (22,б), имеем р, = 1доо, т. е. ! рч )о= ~ р, (о=1; постоянные рч и 1оо по модулю равны елинице. Бо втором же случае два независимых интегрзла уравнения (22,2) имеют вид х,(1)=1оатП (1) х (1)=1,-атПо(1) (226) 84 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1гл м где а(Г) и Ь(г) — медленно (по сравнени1о с множителями соз и гйп) меняющиеся функпии времени, Такой вид решения, разумеется, пе является точным.
В действительности функция х(1) содержит также члены с частотами, отличающимися от ш,+ а 2 на иелое кратное от(2ша+а); эти члены, однако, высшего горядка малосгн по Ь, и в первом приближении нми мокно пренебречь. Значениям частот 1, отделяющим обласгь неустойчивости колебаний ог области устойчивости, отвечает значение р, = 1 в (22,6), а в (22,9) — соответственно постоянные (не зависяпгие от времени) коэффициенты а и Ь.
Определение гранин области резонанса сводьпся, следовательно, к нахо'кденшо тех значений т (нлп, что то же, значений а), при которых уравнение движения удовлетворяется (с требуемой точностью) решением (22,9) с постоянными а н Ь. Полез а1щв (22,9) в (22,8), произведения тригонометрических множителей надо разложить в суммы в~, соз ш, —,— — '1 соз(2ш — — а)1= — -;; соз Зш, — —,! 1+ — соз ~ш„+ —, 1 и т. п., и в соответствии со сказанным выше надо опустить члены с час|отами 3(ша-,'-а,'2). В резульгате получим: Выполнение это~ о равенства требует одновременного обраще. ния в нуль коэффициентов прп каждом из множителей з1п и соз: а= — Ьша1'2 н а=О нли а=йша12 и Ь=О. Эти значения а и дают гранины области возникновения параметрического резонанса. Таким образом, ои имеет место в интер.
вале Ьм, Ьш, — — '<а< — ' 2 2 (22,10) вокруг частоты 2шш Параметрический резонанс имеет место так ке при частотах т, близких к значениям вида 2ш,1и, где л — любое пелое число. Однако ширина резонансных областей с увеличением л быстро уменьшается — как Ь", АИГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ л лз! Задача Найти условия параметрического резонанса длл малых колебаний плоского маятника с колеблющейся в вертнкзльвом направлении точкой подвеса. Р вше и не. По найденной в зздаче 2 й 5 функпии Ллнгранжа найдем для малых (ч ~ 1) колебаний уравнение дввжсиня а т+ в3 ~1+ 4-- соз (2но+а)Г э =О а~ (где ь'„=я)!). Отс!ода видно, что роль введенного в тексте параметра Л играет отношение 4а)1, Условие (22,!О) принимает вил 2л)% )л!« З 23.
Ангармонические колебания Вся изложенная выше теория малых колебаний основана на разложении потенциальной и кинетической энергии системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка; при этом уравнения длил!ения линейны, ь связи с чем в этом приближении говорят о линейных колебаниях.
Хотя такое разложение вполне законно при условии достаточной малости амплитуд колебаний, однако учст следующих приближений (так называемой ангаржоничности илн нелннейноплп колебаний) приводит к появлению некоторых хотя и слабых, но качественно новых особенностей движения. Произведем (залов!ение функции Лагранжа до членов тгетьего порядка. В потенциальной энергии при этом появятся члены третьей степени по координатам хь в кинетической же энергии — члены, содерлга!цие произведения скоросгей и координат вила л';хлхг! это отличие от прежнего выражения (19,3) связано с оставлением членов первого порядка по х в разложении функций агл(д).
Таким образом, функция Лагращка будет иметь внд ! %! У 2 т (тих хл йых!хл) + ,.л + 2 „7 аыгх;хлл! —.3-,7, у!л!х!хлх„(23,1) ю,л,! 1,л,! где пгл„(!л! — новые постоянные коэффициенты. Вб МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ сгл. сс Если от произвольных координат хс перейти к нормальным коордпнатаи (линейного приближения) сс„, то в силу линейности этого преобразования третья и четвертая суммы в (23Л) перейдут в аналогичные суммы, в которых вместо кооРдинат хс и скоРостей хс бУдУт стоЯть (,С.
и Я„. Обозначив коэфсрициессты в этих суммах через )ча и р., получим функцию Лагранжа з виде ). = -2,~~ (б)а — ~Аа) + + д ~~~, ~..т(Еа С Я,— 3 ~~~~~ РапЯА Яс. (23,2) а,аа,т а,а,т Мы ие станем выписывать полностью следующих из этой лаграижевсй срупкции уравнений движения. Существенно, что они имеют зид О.+ м'(с.=.с.й, О, Ф (23,3) где ~„ — однородные функции второго порядка от координат С,с и их производных по времени. Применяя метод последовательных приближений, ищем решение этих уравнений в виде я„= Ф'+ я.'а', (23,4) где я„'"(~ Сч',с', а функции я„"' удовлетворяют сневозмущепным» уравнениям О.п-[- аО."=о, т.
е. представляют собой обычные гармонические колебания Оч' = а„сов(с»„1+ и„), (23,3) Сохраняя в следующем приближении в праной стороне уравнений (23,3) лишь члены второго порядка малости, полу- чим для величин сС„'а' уравнения Р'" '-са"(с.'-'=.с ясы ясн асс') (23,б) где в правую часть долнсиы быть подставлены вырамсения(23,5), В результате мы получим линейные неоднородные дифференци- альные уравнения, правые части которых можно преобразовать к суммам простых периодических функций.
Так, например, ячщ'=а пасов(со (+ с»)соз(с»,.1+а )= = — а„а [сов [(м,+ ма)~+за+ а ) + +сов[( .— Ыа)'-~"« — ",[[. 87 АНГАРМОННЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ а 231 Таким образом, в правых частях уравнений (23,6) находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами, равными суммам и рззиостяп сооствениых частот системы.
Решение урзвпений следует искать в виде, содержащем такие же периодические множители, и мы приходим к выводу, что во втором приближении па нормальные колебзпия системы с частотами а„накладываются дополнительные колебания с частотами а„-~- в (23,7) (в том числе удвоенные частоты 2а„и частота О, соответствующая постоянному смещению). Вти частоты называются ггомбпнациолнымп. Амплитуды комбииациоппых колебапий пропоРциопзльпы пРоизведенизм а„аа (или квадРзтам а„') соответсгвуюших нормзльных колебаний. В следующих приближениях, при учете членов более высокого порядка в разложении фупкшш Лагранжа, возникают комбинационные колебания с частотами, являющимися суммами и разпостями большего числа частот а,.
Кроме того, одпако, возникает еще и новое явление. Дело в том, что уже в третьем приближении среди комбипаписнпых частот появляются частоты, совпадающие с исходными а„(комбинация вида а„+ ва — в ), При приме- пении описанного выше метода в правой части уравнений движения будут находиться, следовательно, резонансные члены, которые приведут к возникновению в решении членов с воэрастзющей со временем амплитудой. Между тем, физически очевидно, что в замкнутой системе в отсутствие впешяего источника энергии не может происходить самопроизвольное нарастание интенсивности колебаний. В действительности в высших прпближепиях происходит изменение основных частот а„ по срзвпеиию с их «исвозмушениымиэ зизчениями а„'", фигурирующими в квадратичном вырзжении потенциальной энергии.
Появление же возрзстаюпгих членов в решении связано с разложением типа сов(а„"'+ ца„) 1 соз в„"'1 — Иа„згп в„"1, явно незакоппым при достаточно больших ~. Глава И ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В 24. Угловая скорость Твердое тело можно определить в механике как систему материальных точек, расстояния между которымн неизменны. Реально существующие в природе системы могут, конечно, удовлетворять этому условию лишь приближенно. Но большинство твердых тел в обычных условиях так мало изменяет свою форму и размеры, что прн изучении законов движения твердого тела, рассматриваемого как нечто целое, мы вполне можем отвлечься от этих изменений.
В дальнейшем изложении мы будем часто рассматривагь твердое |ело кзк дискретную совокупность материальных точек, чем достигзется неко горов упрощение выводов. Это, однако, ни в какой степени не противоречит тому обстоятельству, что в действительности твердые тела можно обычно рассматривать в механике как сплошные, совершенно не интересуясь их впутреннен структурой. Переход от формул, содержаших суммирование по дискретным точкам, к формулам для сплошного тела осушествляется просто заменой масс частиц па массу р с~К, заключенную в элементе объема и"к' ф — плотность массы), н интегрированием по всему объему тела.
Для описания движения твердого тела введем две системы координат: «пеподвнжнуюач т, е, инерцизльную систему А'гЛ, и движушуюся систему координат хг —— х, х,=у, ха=а, которая предползгается агестко связанной с твердым телом и учзствующеи во всех его движениях. Начало движущейся системы координат удобно совместить с центром инерции тела.
Положение твердого тела относительно неподвижной системы координат вполне определяется заданием положения дви- ав УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ $241 жУГцеисЯ системы. ПУсть РадиУс-вектоР йа Указывает положение начала О двнжушеися системы (рис.
19). Ориентация же осей этой системы относительно неподвижной определяется тремя независимыми углами, так что вместе с тремя компонентамн вектора йа мы имеем всего шесть координат. Таким обрззом, всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы. Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемешеппе твердого тела. Его ьго2кпо представить в виде суммы двух частеи. Одна нз них есть бесконечно малыИ параллельный перенос тела, в результате ко- Р торого центр инерции перехо- лр г дит из начального положения в конечное прп неизненпоИ с',г ориентации ОсеИ подвижной И системы координаг. Взорвав бесконечно малыИ поворог во- И лГ круг центра инерции, в результзте которого твердое тело приходит в конечное положение.
Обозначим радиус-вектор Рис. 19. пронзвольноИ точки твердого тела в ползи'кноИ системе координат посредством т, а радиус-вектор топ же точки в неподви'кной системе — носредсгвом й. Тогда бесконечно малое смешение г(12 точки Р скла- дываетсЯ из пеРемешениа Г(йа вместе с центРом инеРции и перемешения (йр т] относительно последнего при повороте на бесконечно малый угол йр (см.
(9,1)): Разделив это равенство на время й, в течение которого про- изошло рассматриваемое перемешение, и введя скорости чо ГР в'Г ' а'Г ' ГГГ (2:1, 1) получим соотношение между ними у = Ч + (йг]. Вектор Ч есть скорость центра инерции твердого тела; ее называют также скоростью его поступательного движения. йо ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ.
Вг Вектор Я называется угловой скоростью вращения твердого тела; его направление (как и направление с[гр) совпадает с направлением осн вращения. Таким обраэом, скорость в любой точки тела (относительно неподвижной системы координат) может быть выражена через поступательную скорость тела и угловую скорость его вращения. Следует подчеркнутть что при выводе формулы (24,2) специфические свойства начала координат как центра инерции тела совершенно не были использованы. Преимущества этого выбора выяснятся лишь позже при вычислении энергии движущегося тела. ))опустим теперь, что жестко связанная с твердым телом системз координат выбрана так, что ее начало находится не в центре инерции О, г в некоторой точке О' на расстоянии в от тошси О. Скорость перемещения начала 0' этой системы обозначим череа У', а угловую скоросгь ее врашення— через Й'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
