1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Этой постоянной можно придзть любое значение путем изменения на общий множи- тель выбранного набора коэффициентов Ьа„в (19,9). Обычно нормальные координаты выбирают так, побь1 было щ„=1. Тогда полная функция Лагранжа системы примет вид') с = — ' ~'„(К вЂ” ю"-„Я'„) . ь Если мы имеем дело с системой частиц, взаимодействую- щих друг с другом, но не находящихся во внешнем поле, то не асе ее с~слепи свободы имеют колебательный харак- тер.
Типичным примером таких систем являются молекулы. Помимо движений, предстзвляюших собой колебания атомов около их положения равновесия внутри молекулы, молекула как целое может совершать поступательное и вращательное движения, Поступательному перемещению соответствуют три сте- пени свободы. Столько же имеется в общем случзе врзша- тельных степеней свободы, так что иэ Зи степеней свободы л-атомной молекулы всего Зп — б отвечают колебательному движению. Исключение представляют молекулы, в которых все атомы рзсположены вдоль одной прямой.
Поскольку го- ворить о вращении вокруг самой этой прямой не имеет ') В случае вырожденных частот выбор иормзаьных координат и после этого остается еще не вполне однозначным. Поскоаьку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковой н,) входят в виде одинаково преобразующихся сумм ~ ~9,' и ~, 'Оэ, то их можно подзергнуть произаоаьному линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов. 12 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ (гл ч смысла, то вращательных степеней свободы в этом случае всего две, так что колебательных имеется Зп — б, Нормзльные колебания молекулы могут быть классифицированы по характеру движения атомов в них на основании соображений, связанных с симметрией расположения атомов (в положениях равновесия) в молекуле.
Для этой цели сушествует общий л~етод, основанный на использовании теории групп. Здесь же мы рассмотрим лишь некоторые элементарные примеры. Если все л атомов молекулы лежат в одной плоскости, то можно различать нормальные колебания, оставлжощне атомы в этой плоскости, и нормальные колебания, прп которых атомы выводятся пз плоскости.
Легко определшь число тех и других. Так как всего для плоского дни>кения имеется 2п степеней свободы, из которых две поступательные и одна вращательная, то число нормальных колебаний, не выводящих атомы нз плоскости, рвано 2п — 3. Остальные же (Зп — 6)— — (2п — 3)= и — 3 колебательных степеней свободы отвечают колебаниям, выводящим атомы из плоскости. В случае линейной молекулы мо кно различать продольные колебания, сохраняю|пие ее прямолинейную форму, и колебания, выводягдие атомы с прямой.
Так как всего движению и частиц по линии отвечает и степеней свободы, пз которых одна поступательная, то число колебзний, не выво«ящих атомы с прямой, равно и — 1. Поскольку же полное число колебательных степеней свободы линейной молекулы есть Зп — 5, то имеется йп — 4 колебаний, выводящих зтомы с прямой. Этим колебаниям, однако, отвечают всего п — 2 различные частоты, так как каждое из таких колебаний моясет осуществляться пнул~я независимыми способами — в двух взаимно перпендикулярных плоскостях(проходящих через ось молекулы); из сообра кепий симметрии очевидно, что каждая такая пара нормальных колебаний имеет одинаковые частотьь Задачи !. Определить колебания спстсиы с двумя степенями свободы, если ее функция Лагранжа = — ( ха + ул) — —,'- ( г" + у 1 + аху 2 ' 2 (две одинаковые одномерные системы с собственной частотой связаиныс взаимодействием — ахуд 4 Ш) СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 7л Р е ш е н и е.
Уравнения движении Е+ввфс=«у, Е+вввву=«». Подстановка (19,6) дает: А„(~в — нв) = «А в Ат (вв) — ~') =*А„. Характеристическое )равнение (м-'„ — нв)в = «', откуда ив= ыв — «, 1 — 'в мв — — ьв + «, При м=мв >равнения (1) даот Аз= Л, а при =нв А»= — Ан Поэтому 1 1 Х =- — ««(Ов+ Ов), У = —,.
(Ов — Ов) уд2 ' ' ' ]12 (коэффнциенты 1))в 2 соотвстств)ют указанной в тексте нормировке нормальных координат). Прн « ~ и', (слабал санзь) писем: « « ю ( — -;. ы 'б " ч+2' Изменение х и ув представляет собой в этом случае наложение двух колебаний с близкими частотами, т. е. имеет характер биений с частотой ь„ — нв = « (см, 9 18). При этом в момент, когда амплитуда координаты х проходит через максимум, амплитуда у проходит через минимуы и наоборот.
2. Определить малые колебания двойного плоского маяпшка (рнс. 1). Р е ш с н и е, Длл мальш кОлебаниг! (Е, (И 1, «в «. 1) вюйдеинаа в задаче 1 Е 5 функция Лагранжа принимает внд а,+т, „, тп. в... вп,+нвв, ав 2 11'+ 2 " ' вввзвчв 2 Уравнения движения: (ав + тв) )втв + вввв)вчв + (впв + впв) лтв . — и 1,Е, +1,«, +99„=о. После подстановки (19,б): Л, (т, + пв,) (К вЂ” 1гвв) — Аввввав(в = О, — А в)вввв + А, (и — 1«ввв) = О.
Корни характеристического уравнении: в,«=2а)1 ((а +а.) П +1.)-' 11« -в. 3~ (а, + т,) ((тв + тв) ((в + 1в)' — 4ав(вгв) ~. (гл ч МАЛЫГ КОЛЕБАНИЯ При и, -оз частоты сьрсмятся к пределам )lй(ть и )еда,, соответствующим независимым колебаниям двух маятников. 3. На!пи траекторию дви»сепия частицы в центральном поле ()= Ьгь(2 (так называемый лраельралетвенлый оецилляиор). Р е ш е и и е.
Как и во всяком центральном поле, движение проис»альп в одной плоскости, которую выбираем в качестве плоскоспь ху. Изььеиенььс каждой из координат л, у — простое колебание с одинаковыми частотами еь=)~ й/иь х=а соя(еьт+а)ь у=Ьсоз(ма+ р) или х=аамв, у=Ьсоа(я+Ь)=Ьсовасовьà — ЬатЬ яп р, где введены обозначения В=ььт+а, Ь=я — а. Определив отсюда созз и япч и составив сумму их квадратов, получим уравнение траектории л'* у' 2ху — + — „— — — соа Ь = яььь Ь.
аь Ьь аЬ Это — аллипс с центром в начале координат. При В=О или я траскгория вырождается з отрезки прямой. ф 20. Затухающие колеоання До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит з пустоте илн по влиянием среды па движение можно пренебречь. Б действительности при дни>кенни тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремщцееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце конььов переходит в тепло или, кзк говорят, диссипнруется. Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механи:еским процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела.
В частноспь, уже нельзя утверькдать в общем слу'ше, что ускорение дзиькущеьос» .ьела является функцией лишь Оь его координат и скорости в данныь! момент времени, т. е. Нс существует уравнений лзюкения, которые могли бы быть сформулированы с помощью функции Лагранлса, как это делается в механике. Такььм образом, задача о движении в среде уже не является задачей одной ~олько механики.
Существует, однако, определенная категория случаев, когда движение в среде может быть приблиькснно описано с помощью механических уравнений движения путем введе- ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ иия в них определенных дополнительных членов. Сюдз относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде.
При выполнении этого условия можно считать, что иа тело действует сила тренин, зависящая (для заданной среды) только от его скорости. Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням. Нулевой член разложения рзвен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует никзкой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости. Таким образом, обобщенную силу трения ~,м действующую на систему, совершающую одномерные малые колебания с обобщенной координатой х,мо кно написать в виде Утр иЖ где а — полоян1тельный коэффициент, а знак минус показывает, что сила действует в сторону, протпвополо кпую скорости.
Лобавляя эту силу в правую сторону уравнения движения, получим: (20,1) тх = — Ах — ал. Разделим его на т и введем обозначения (20,2) мо есть частота свободных колебаний системы в отсутствие трения, Величина Л называется коэффициентом затухании'). Таким образом, имеем уравнение х+2М+юРрх=О, (20,3) Следуя общим правилам решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем х=ен и находим для г характеристическое уравнение г'+ 2Лг+ оооо — О, Общее решение уравнения (20,3): х=с,еп'+соеео', г, з — — Л.+.)г Ао — го,",, ') Безразмерное провзоедеиие ЛТ (гае Т=2оро — период) называют лигирифоичесним Йекрементом зтухаиия.
Л>АЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1гл. ч Здесь следует рззличать два случая. Если ) (м„ то мы имеем два комплексно сопряженных значения г. Обшее решение уравнения движения может быть представлено в этом случае, как х = Ее(А ехр ( — М вЂ” 11 )ч>," — Хг)), где А — произвольнач комплекснач постоянная. Иначе можно напнсзтги х=ае 'соз(м1-г-а), ь>=) ь>„" — ).', (20,4) где а н а — вешественные постоянные. Выражаемое этими 1рормуламп движение представляет собой так называемые затухаюпгме колебания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
