1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ч! Длл двухатомной молекулы получилсл бы заранее очевидный результат — произведение приведенной массы обоих атомов на квадрат расстояния между ними: 1, =1, = — /'. ш1а11 лт, +ма б) Трсхатомнал молекула ника (рнс. 20). О т в е т. Центр инерции 1, = — /1л, 2л1, л1, ю, /„=- -,>— а', /т =-/, +/„. >12 1 Рнс. 20. /1 = /1 = /1 = = Р/Ст 2 5 (вычислять следует сумму /, + /а+1, = 2р ~ гтг/Р). в) Круговой цилиндр радиуса 11 и высо~ой /1, Ответ: /,=/,=-Р-('д'+' —,т'>, /л= тн /рл ! — 1 — ! 6/~ „" — 6 (и, — ось цилиндра). Г) Прямо>толы1Ый Параллсаенннед с дшшамп ребер а, /б с. Ответ: / = -и (йт + с'>, 1, = и ( л + '>, /а.= Рт(лс + Ь"> (оси хв хм х, параллельны ребрам и, Ь, с), д) Трехосный эллипсоид с нолуосямп а, /1, с.
Р е ш е н н е. >>ентр инерции совпадает с центром эллипсоида, а ~данные оси инерции — с его осями. Интегрирование по объему вллнпсоида может быть сведено к интегрированию по объему сферы О т в с т: 1, = /л = —, >1/-", ! >2 брсгасм). б) Шар радитса /т. Ответ: в виде равнобедренного треуголь- лежит на высоте треутольника на расстолнии твайт от его основания. Моменты инерции: 2. Опредсшпь главныс моменты инерции сплошныходпародных тел.
а) Тонкий стержень длиной /. 1, = 0 (толщиной стер1кил прснс- тензоР инеРцИИ 97 путем преобразования координат х = аЬ, у =Ьда л= сб, превращающего уравнение поверхности зллипсоида .к' уа в' ' †+ †+! а' Ь' с' в уравнение поверхности единичной сферы Р+Ча+ьа= !. Так, для момента инерции относительно оси х получаем: I, = у ~ ~ ~ (уз + в) ох ~у Пл = р аЬс ~ ) ~ (ЬЧ'+ са(а) Па г)Ч д! = = айс —, 1' (Ьа + са), где р — момент инерции шара единично~о радиуса. учитывая, что объем здлипса равен 4яойс)3, полу. чим окоичателш,о моменты инерции А у! 1, = — (Ьа+ са), 1, = — ' (и'-!- с'), 5 ' 5 1, =- — (оа+Ь). 8 5 3. Определить частоту малых ко.
лебзний физического маятника (твердое тело, качающееся в поле тяжести ут ,у х около неподвижной горизонтальной оси). Рис. 2!. Р е ш с н и с. Г! усть 1 — расстояние от центра инерции маятника до осн вращения, а ач р, 7 — углы между направлениями его главных осей инерции и осью вращения.
В кзчестве переменной координаты вводим угол Ч между вертикалью и перпендикуляром, опущенным из центра инерции на ось вращения. Скорость центра инерции У= Iф, а проскции угловой скорости на главные осн инерции: ф сова, ф сов 3, ф ссм7. Считая угол у малым, находим потенциальную аверкию в виде ! и= РЕ1 (! — соа ч) = — Ра(ф*. 2 Поэтому функция Лагранжа 5=- — ф'+ — (1, сова «+1, соз' 9+1, ссиа 7) ф' — — ча. Отсюда для частоты колебаннй имеем: ма Рйт Р! а + 1, соа' а + 1, сгиа Р + 1а сев' 7 ' 4.
Найти кинетическую знергню системы, изображенной на рис. 2); ОА и А — тонкие однородные стержни длиной 1, шзрннрно 4 Л. Д. Ландау, Е. М. Ляфшац 98 движипии тидндого тилд (гл. тч скрепленные в точке А. Стержень ОА вращается (в плоскости рксунка) вокруг точки О, а конец В стержня АВ скользит вдоль оси Ок. Решение. Скорость центра инерции стержня ОА (находящегося на его середине) есть гф)2, где т — )чол АОВ. Поэтому кинетическая энергия стержня ОА рт а т а Т,=' — фа+ — ф 8 2 (р — масса одного стержня).
Декартовы координаты центра инерции стержня АВ: Х= 31 1 = — сову, )'= — апч, Так как угловая скорость вращенил этого стержня тоже равна ф, то его ккпетнческая знергия Т, = — (Х'+ У-) + — тт= — (1+ 8 мп- ч) ч-+ —,, ! ., рр ... гфт Полная кинетическая энергия системы ир Т = — (1+ 3 з1п' у) фа (подставлено У =рР1'12 согласно задаче 2а)), 5.
Найти кинетическую энергию цилиндра (радиуса )с), катящегосл по плоскости. Масса цилиндра распределена по его объему таким образом, что одна из главных осей инерции параллельна оси цилиндра и проходит на расстоянии а от нее; момент инерции относительно втой главной оси есть 1.
Решение. Вводим угол у между вертикалью и перпендикуляром, опущенным из центра тяжести на ось цилиндра (рис. 22). Рис. 22. Рнс. 23, Движение цилиндра в каждый момент времени можно рассматрпвзть как чистое вращение вокруг мгновенной оси, совпздающсй с линией его соприкосновения с йеподвижной плоскостью; угловая скорость этого вращения есть ф (угловая скорость вращенил вокруг всех параллельных осей одинакова).
Е(ентр инерции находится на расстоянии у'ва+тст — 2втссовф от мгновенной оси и потому его МОЛСЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА а лб! скорость есть М=фф'а»+ ссл — 2агссолт. Полная кинепсчсская энергия с = —,(а'+ссл — 2асссоэт) ел+ — ф". Р. л ! .„ 2 2 б, Найти кинетическую энергию однородного цилиндра радиуса а, катящегося по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса Р (рис. 23). Р е щ е н и е. Вводим угол Т меясду линией, соединяющей центры обоих цилиндров, и вертикалью. Центр инерции катящегося цилиндра находится иа оси и его скорость Ь'=фЯ вЂ” а). Угловусо скорость вычнсляелс как скорость чистого вращения вокруг мгновенной осв, совпадающей с линией соприкосновения цилиндров; она равна 1' .
)с — а Га= — =ф —. а а Если /л — момент инерции относительно осн цилиндра, то (сл сл)г В л = — ()с — а) ' т" + — — т' = — Р Я вЂ” а)' т' 2 2 а" (сл — иэ задачи 2в). ф 26. Момент импульса твердого тела Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относителыьо которой он определен. В ь еханике твердого тела нзиболее рационален выбор в качестве втой точки начала подвижной системы координат, т.
е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определенный именно таким образом. Согласно формуле (9,6) при выборе начала координат в центре инерции тела его момент М совпадает с «собственным ьсомептом», связанным лишь с двихсением точек тела относлпельно центра инерции. )»ругими словами, в определении М .= » т [ту[ надо заменить у на [ьлг); М = ~ т [г [ьлгЦ = ~'„т [гэал — г(гал)[, или в тепэорных обознзчениях: М; = ~ю т [АС»С2С вЂ” АСАФ»[ = Я» У„ал [МЯС» — ХСЛС»[. Наконец, )чнтывая определение (25,2) тензора инерции, получаем окончательно: с)ус = )с»ы».
(26,1) с) ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ~гл. ш Если оси хь жя, х, направлены вдоль главных осей инерции тела, то этз формула дает: М~ — — 11(аь Ма — — 1тмм Ма = 1тма. (26,2) В частности, для шарового волчка, когда все три главных момегпа инерции совпадают, имеем просто: М = 1(), (26,3) т. е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ним напрзвление. В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не совпадзет по своему направлению с вектором (а, и лишь при вращении тела вокруг какой-либо из его главных осей инерции М и (а имеют одинаковое направление.
Рассмотрим свободное дви>кение твердого тела, не подверженного действию каких-либо внешних сил. Не представляющее интереса равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным, так что речь идет о свободном вращении тела. !(ак и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно вращающегося тела постоянен. 1(ля шарового волчка условие М = сопят приводит просто к (а = сопзй Это значит, что общим случаем свободного вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг постоянной осн. Столь же прост случай ротатора.
Здесь тоже М = 1(а, причем вектор (а перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому свободное вращение ротатора есть равномерное вращение в одной плоскости вокруг направления, перпендикулярного к этой плоскости. Закон сохранения момента достаточен и для определения более сложного свободного вращения симметрического волчка. Воспользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции хв хя (перпендикулярных к оси симметрии волчкз ха), выберем ось ха перпендикулярной' к плоскости, определяемой постоянным вектором М и мгновенным поло кением оси ха.
Тогда М,=О, а из формул (25,2) видно, что и (), = О. Это значит, что направления М, (а и оси волчка в каждый момент времени лежат в одной плоскости (рис. 24). Но отсюдз в свою очередь следует, что скорости в = ((аг] всех точек на оси волчка в каждый момент времени 4 2И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 2Е! перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см. ниже) врашается вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регулярная л(репесспя Волчка).
Одновремешао с прецессией сам волчок равномерно врапдается вокруг собственной оси. Угловые скорости обоих этих вращений легко выра- вить через заданную вели. чину момента Л4 н угол ; наклона 9 оси волчка к на- ° .. правлению М. У~ловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция Йа вектора ье на эту ось: Па='— " = — соя 6. (26,4) 1а 1а 1(ля определения же скорости прецессии Р„ нздо разломгить вектор Й йо праРвс. 24.
зилу параллелограьама па составляющие вдоль ха и вдоль М. Из пих первая не приводит ни к какому перемещению саней оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии. Из построения на рис. 24 ясно, что зап ч Р„рво†Рь а поскольку Йа = аИВ'12= = аИз!В 011„то получаем: А4 Рпр 1 ° (26,6) ф 2Ч. Уравнения движения твердого тела Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
