1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Его можно рассматривать как гармонические колебания с экспоненцпально убыва>ошей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем )ч а ччастотаь ч> колебаний меньше частоты свобод>н>х колебаний в отсутствие трения; при Х (~ м, разница между ь> и ь>, — в>орого порядка малости. Уменьшение часготы прн трении следовало о>кидать заранее, поскольку >репие вообше задер кивает двшкение. Если ) ((мм то за время одного периода 2г,'м амплитуда за>уха>ошего колебания по жп не меняется. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая прн усреднении изменением л>ножителя ецг. Эти средние квадраты, очепидно, пропорциональны е ">'. Поэтому и энергия систеыы и среднем убывает по закону Е'= Еае д', (20,5) где Еа — начальное значение энергии.
Пусть теперь Х ) мь Тогда оба значения г вешествепны, причел> оба отрицательны. Обший ш>д решения х= с,е — (л У ' "') ' ('+)I '" ) г. (20 с) д -> — сяе ' . (, >) Чы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывзнив ~ х>я т. е. в асил>птотпческом (при 1 — ~ Ос) приближении к поло>кепи>о равновесия, Э>от тнн дан>кения назывшот а»ерпод>гчесмл.>г Зашухашгелд ЗАТУХАЮШИЕ КОЛЕБАНИЯ Наконец, в особом случае, когда ) =мн характеристическое уравнение имеет всего одни (двойной) корень г = — ).
Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид х = (с, + ся1) е ' . (20,7) Это — особый случай апериоднческого затухания. Оно тоже не имеет колебательного характера. Для системы со мпогимн степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам хь являются линейными функциями скоростей вида Л,р —— — ~ч, ямхм (20,8) Из чисто механических сообра>кенцй нельзя сделан никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов вы по индексам с и д. Методами же статистической физики можно показать, что всегда ага —— яы. Поэтому выражения (20,8) могут быть написаны в виде производных дЕ У ~'Р= дл,. от квадратичной формы (20,10) 1ц Е = 2 ~~кылгхм г", Ф называемой днссипагнлвлой функцией; Силы (20,10) должны быть добавлены уравнений Лагранжа: с1 дй дА дР дс дх; дх~ дХ~' (20,11) к правой стороне (20,12) дЕ д /'~ .
дь 'т ~~ . 'д дь' дь''1 чь1, дЕ дс дс ~~ дх; ~ х' (дг дл.; дл,~ л~" ' дх~ Диссипативная функция имеет сама по себе ва.кный физический смысл — ею определяется интенсивность диссипацпи энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии систеьня. Имеем: 1гл, ч МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Поскольку  — квадратичнач функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой стороне равенства равна 2В. Таким образом, (20,13) „— = — 2В, т. е. скорость изменения энергии системы дае~ся удвоенной дисснпативной функцией.
Так как диссипзтивные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда В) О, т. е. квадратичная форма (20,!1) существенно положительна. В 21. Вынужденные колебания при наличии трения Исследование вынужденных колебагшй прп наличии трения вполне аналогично проиаведенному в $ 18 рассмотрению колебзний без трения. Ыы остановимся здесь подробно на представлчюшем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы. Прибавив в правой стороне уравнения (20,1) внешшою силу усов)С и разделив на ги, получим уравнение движения в виде (21,1) х+ 2М+ и„'х= — соз тб Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой чзсти е "' вместо созтй х+ 2М+(очх= — е '". Ю Частный интегрзл ищем в ниде х= Ве ' и нзходим - гн для В: (2 1,2) Представив В в ниде Ье '", имеем для Ь и Ь: Ь= У..., (ай= "' .
(21,З) м'г'( ч — т")'+"""1я тя — чй Наконец, отделив вещественную часть от выраакения Ве '"'= = Ье ыт'+'>, получим частный интеграл уравнения (21,1), а прибавив к нему общее решение уравнения без правой $2О1 вынуЖДенныв КОлЕБАнИЯ ПРИ НАличИИ тРЕнИЯ 79 части (которое мы напишем для определенности для случая ма) Л), получим окончательно: х = ае сов (ОО1+ з) + Ь сов(71+ Ь). (21,4) Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член: Л=Ьсоз(71+ Е).
(21,5) 21ЛТ 21ЛОО„ т' — ЩО=(Т+ иО)(7 — аО) = 2ЮОО, так что (21,6) 2гл («+11) илн Ь= У, 1ЯЬ=-. Л 2ичО )' О" + ЛО О (21,7) Отметим характернуОо особенность хода изменения разности фаз о между колебанием и вынуждающей силой при изменении частоты последней. Эта разность всегда отрицательна, т. е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от 1зезонанса, со стороны 7(ОО„Ь стремится к нулю, а со стороны 7)ООΠ— к значению — к.
Изменение Ь от нуля до — в происходит в узкой (ширины Л) области частот, близких к ООО; через значение — к1'2 разность фаз пРоходит пРи Т=мэ Отметим в этой свази, что в отсУтствие трения изменение фазы вынужденного колебания на величину к происходит скачком при Т =ООО (второй член в (18,4) меняет знак); учет трения «размазывает»этот скачок.
Выражение (21,3) для амплитуды Ь вынужденного иоле. банкя хотя и возрастает при приближении частоты 7 к ОО„ но не обрашается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствие трения. При заданной амплитуде силы У амплитуда колебания максимальна при частоте Т= )ОООО' — 2Л'1 при Л ~ ООО это значение отличается от ООО лишь на величину второго порядка малости. Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим 7= =ООО + О, где Π— малая величина; будем также считать, что Л ~ ООО. Тогда в (21,2) можно приближенно заменить: НАРАметРическин РезОнАнс (21,10) 2 22.
Параметричесиий резонанс Существуют такие незамкнутые колебательные системы, в которых внешнее воздействие сводится к изменению со временем се параметров '). Параметрами одномерной системы являются коэффициенты т и л в функции Лагранжа (17,3); если они зависят от вре- мени, то уравнение движения гласит: и ( ..т)-,-~, =О, рй (22,1) Путем введенвя вместо Г новой незавнснмон переменной ч согласно рта=с(г)лг(Г) это уравненве приводится к виду — ', + там=О.
ьнм ргрр Поэтому фактически, беа всякого ограничения общносгп, достаточно рассмотреть уравнение дввжения вида — '. + ора (Г) ш = О, Фрм рр'ар (22,2) которое получилось бы из (22,1) при на=сонэ). Вид функции ар(1) задается условиями задачи; предполом<им, что эта функция периодическая с некоторой частотон 7 (и периодом Т=2я/Т). Это значит, что р () -'г 7) = ()), ') Простым примером такого рода яваиется маятник, то рва полвсса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении (см. задач)).
Последняя дается интегралом ОЭ рр ) !(1) р(Т = 1 ) (а) ав. а рр Поскольку 7(а) быстро убывает прн увеличении ~ а!, так что область больших /а/ все равно не существенна, ьрожно при интегрировании писать Г(а) в виде (21,9), а ннжнин предел заменить на — со. Тогда ао МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ При устзповпвшемся движении, когда система совершает вынужденные колебзния (21,5), ее энергия остаемся неизменной.
В то же время системз непрерывно поглощает(от источника внешней силы) энергию, которая диссипируется благодаря налично трения, Обозначим посредством У(Т) количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как фупкшпо частоты внешней силы. Сот.часпо (20,13) имеем: 7(7) = 2~; где Р— среднее (по периоду колебзнпя) значение дисснпативной функции. Для одномерного движения выражение (20,11) диссипативной фупкнии сводится к Р = яхт~2 = Ллг.йа. Подставив сюда (21,5Л получим: а=Ля д'7"1п'(7(+81 Среднее по времени значение квздрзтз синуса равно 112, а поэтому 7(Т) = Лтдь(Я, (21,8) Л Рпс.
18. Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из (21,7), имеем: )(')= ~ ° Р (21,9) Такой вид зависимости поглощения от частоты называется дгшперсионныи. Полушириной резонансной кривой (рис. 18) называют значение / в 1, при котором величина 1(а) уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при Б=О. Из формулы (21,9) видно, что в данном случае эта шнршш совпадает с показателем затухания Л. Высота же максимума 1(0) = —,Л = у' обратно пропорциональна Л.
Таким образом, при уменьшении показателя затухания резонансная кривая становится у ке и выше, т. е. ее максимум становится более острым. Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной. МАЛЫЕ КОЛББАИИЯ )гл, ч а потому и все уравнение (22,2) инваризнтно по отношению к преобразованию»-ь»+ Т. Отсюда следует, что если х(Г) есть решение уравнения, то и функция х(т+ 7) тоже есть решение. Другими словами, если хт(т) и хв(т) — два неззвисимых интеграла уравнения (22,2), то при замене 1-з.»+. Т они преобразуются линейным образом друг через друга. При этом можно ') выбрать х, и х, таким образом, чтобы их изменение при замене т на г + Т сводилось просто к умножению нз постоянный множитель: хт()+ 7)=)»тхт(Ф), ха()+ 7)=)»тхв()). !4аибогее общий вид функций, обладаютцпх таким свойством, есть хт(т)=)»ттгП»()) хв(т) нттгП ()) (223) где П»(т) и Пв(») — чисто периодические функции времени (с периодом Т) Постоянные )»т и )»в в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением.
Действительно, умножив уравнения У, + юв ()) х, = О, Ув + ют ()) хт = О соответглвенно на ха и х, н вычтя нх почленно одно из другого, получим: Утх» — Увхт — — (хтх — х»Уе) = О или хтхв — х,х, = сопзй (22,4) Но прн любых функциях хт(т) и хт()) вида (22,3) выражение в левой стороне этого равенства умножается на й,)», при изменении аргумента т иа 7'. Поэтому ясно, что соблюдение рзвенствз (22,4) во всяком случзе требует, чтобы было )»т)»т= ) (22,о) Дальнейшие заключения о постоянных й„)ст можно сде. лзть, исходя из факта вещественности коэффициентов уравнения (22,2), Если х(г) есть какой-либо интеграл такого уравнения, то и комплексно сопрюкенная функция х*(») ') Если только постоянные т»» и т»» не совпадают.
паяяматяическия Рйзонанс с отличным от единицы положительным или отрицательным вещественным числом 1о. Одна из этих функций (первая или вторая при ! р ~ > 1 или ~ р ! 1) экспоненцизльно возрастает со временем. Это значит, что состояние покоя системы (в положении равновесия х=О) будет неустойчивым: достаточно сколь угодно слабого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смещение х стзло быстро возрзстать со временем. Это явление называется параметрпческпзо резонансом. Обратим внимание на то, что при строго равных нулю начальных значениях х и х они оставались бы равными нулю и в лальнеишем в отличие от обычного резонанса (Я 18), в котором возрастание смещения со временем (пропорциональное 1) происходит и от равного нулю начального значения, Выясним условия возникновения параметрического резонанса в важноч случае, когда функция а(1) мало отличается от некоторой постоянной величины а, и является простак периодическая функциеп: а'(1)=а;(!+асов (1), (22,7) тле постоянная Й((1 (мы будем считать й положительной, чего всегда можно добиться надлежащим выбором начала отсчета времени).
Как мы увидим ниже, параметрический резонанс возникает, если частота функции а(Е) близка к удвоенной частоте аа Поэтому положим: 1=2ао+е, гле е«:'! ао. Решение уравнения движения х + а„' [1 + й соз (2ао+ е) 1] х = О надо искать в виде (22,8) х = а (1) соз (ао + — ) 1+ Ь (Е) з)п1ао + —,) 1, (22,9) должна уловлетворять тому же уравнению. Отсюлз следует, что паРа постоапных Рь 1оо должна совпадать с паРой (ор р.,', т, е. должно быть либо 1о,=1ооо, либо 9, и р, вещественны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
