1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Их можно представить в виде, определяющем производные по времени от двух вектороз: импульса и момента тела. Первое из этих уравнений получается просто путем суммирования уравнений р=т для каждой из составляющих !02 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл ш тело частиц, где р — импульс частицы, а $ — действующая на нее сила.
Вводя полный импульс тела Р=~ р=р)7 и полную действующую на него силу ~1=Г, получим: (27,1) дУ дйо' [27,2) Действительно, при поступательном перемещении тела на ЗК, настолько же меняются и радиус-векторы Й каждой точки тела, а потому изменение потенциальной энергии йи=~'~,В=Я„'~' — ~= — а,~~]'1= Емэ Перейдем к выводу второго уравнения движения, определяющего провзводную по времени от момента импульса М, Для упрощения вывода удобно выбрать чнеподвижную» (инерциальную) систеь|у отсчета таким образом, чтобы в данный момент времени центр инерции тела покоился относительно нее. Полученное таким образом уравнение движения будет тем самым в силу галилеевского принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе отсчета, Имеем: М= — ~~Ь [гр]= ~[гр]+ э [гр].
Хотя мы определили Е как сумму всех сил 1, действующих на каждую из частвц, в том числе со стороны других частиц тела, фактически в Е входят лишь силы, действующие со стороны внешних источников. Все силы взаимодействия между частицами самого тела взаимно сокращаются; действительно, при отсутствии внешних сил импульс тела, как и всякой замкнутой системы, должен сохраняться, т. е. должно быть Г = О. Если У вЂ” потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то сила Е может быть определена путем дифференцирования ее по координатам центра инерции тела: 4 ай УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1ОЗ В силу сделанного нами выбора системы отсчета (в которсп 7=О) значение г в данный момент времени совпадает со скоростью у= К.
Поскольку же векторы ч и р=тч имеют одинаковое направление, то [гр1=0. Заменив таклсе р иа силу Г, получим окончательно: ДМ дг =К (27,3) где К = ~х ', [ГЦ. (27,4) Вектор [гЦ называется лголенлао.а силы г, так что К есть сумма моментов всех сил, действующих на тело. Как и в полной силе г, в сумме (27,4) фактически долаигы учитываться лишь внешние силы; в соответствии с законом сохранения момента имп.
Льса сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться в нуль, Момент силы, как и момент импульса, зависит, вообще говоря, от выбора начала координат, относятетьно которого он определен. В (27,3 — 4) моменты опредешпотся относительно пентра инернни тела. Прй переносе начала координат па расстояние а новые радиус-векторы г' точек тела связаны со старымв г посредством г=г'[-в. Поэтому К=~[ГЦ=~[с'Ц+ ~[аЦ К=К'+[аг). или (27,б) откуда К= — —, дг7 д~р ' (27,6) Отсюда видно, в частности, гго величина момента сил не зависит от выбора начала координат, если полная сила г = О (в таком случае говорят, что к телу приложена пара спл). Изменение потеиниальпой энергии (7 при повороте тела на бесконечно малый угол Ьгр равно Ь (7= — У т 3гс = — ~~ 4 [Ьгр г[ = — огр ~ [гт] = — К бгр ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ~гл.
ш Эта формула для полного мол|ента снл аналогична формуле (27,2) для полной силы. Предположим, что векторы Г и К взаимно перпендикулярны. В этом случае всегда можно найти такой вектор а, чтобы в формуле (27,5) К' обратилось в нуль, так что будет: К = !аГ). (27,7) При этом выбор а неоднозначен: прибавление к нему л|обого вектора, параллельного Г, не изменит равенства (27,7), так что условие К' = О даст не определенную точку в подвил'- ной системе коорлииат, а лишь определенную прямую линию. Таким образом, при К ~ Г действие Всех приложенных к телу сил может быть сведено к одной силе Г, действуюгдей влоль определенной прямой линии. Таков, в частпосггь случай однородного силового поля, в котором действу|ошая на материальную точку сила нлцег вид 'г = еЕ, где Š— постоянный вектор, характеризуюпшй поле, а величина е характеризует свойства частицы по отношению к ланному полю ').
В этом случае имеем: Г=Е»'е, К=(~~ег Е). Предполагая, что ~ е ~ О, введем радиус-вектор г„ определенный согласно ~ее гн (27,8) ~е Тогда мы получим следующее простое выражение для полного момента сил: К =(Т,Г). (27,9) Таким образом, прп движении твердого тела в однородном поле влияние поля сводится к действию одной силы Г, «приложенной» в точке с радиус-вектором (27„8). Положение этой точки всецело определяется свойствами самого тела; в поле тялгести, например, опа совпадает с центром инерции тела.
') Тах, в олноролном электрическом поле Е есть напряженность поля, а е — заряд частицы. В олноролноч поле тяжести Е есж, ускорение силы тяжести е, а е — масса частицы ль 105 СОПРИКОСНОВЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ф 28. Соприкосновение твердых тел Условия равновесия твердого тела, как это видно из уравнений движения (27,1) и (27,3), можно сформулировать в виде равенства нулю действующих на него полной силы и полного момента сил: (28,! ) Суммирование производится здесь по всем приложенным к телу внешним силам, а г — радиус-векторы «точек прило'кения» сил; при этом точка (начало координат), относительно которой определя|отся моменты, может быть выбрана произвольным образом: при В=О значение К не зависит от этого выбора. Если мы имеем дело с системой соприкасающихся друг с другом твердых тел, то в равновесии условия (28,1) должны выполняться для каждого на те.т в отдельности.
Прн этом в число сил должны быть включены также и силы, действующие па данное тело со стороны остальных соприкасающихся с ним тел. Эти силы приложены в точках соприкосновения гел и называются силами реакции. Очевидно, что для каждых двух тел их взаимные силы реакции равны по величине и противоположны по направлению. В общем случае как величины, так и направления реакций определяются в результате совместного решения системы уравнений равновесия (28,1) для всех тел. В некоторых случаях, однако, направление сил реакции задается уже условиями задачи.
Так, если два тела могут свободно скользить по поверхности друг друга, то силы реакции между ними направлены по нормали к поверхности. Если соприкзсающиеся тела движутся друг относительно друга, то, кроме сил резкции, появляются также си.ты дисснпатнвного характера — сали трения, Возможны два типа движения соприкасагощихся тел— скольжение и каченле. При скольжении реакции перпендикулярны к соприкасающимся поверхностям, а силы трения направлены по касательным к ним. Чистое качение характеризуется тем, что в точках соприкосновения нет относительного движения тел; другими словами, )аб ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА игл, ш катящееся тело в каждый момент времени как бы закреплено в точке соприкосновения.
При этом направление силы реакции пронзвольгю, т. е. не обязательно нормально к соприкасающимся поверхностям. Трение же при качении проявляется в виде дополнительного момента сил, препятствующего качению. Если при скольжении трение настолько мало, что им можно вовсе пренебречь, то поверхности тел называются абсолютно гладнимп.
Напротив, если свойства поверхности допускают лишь чистое качение тел без скольжения, а трением при качении можно пренебречь, то поверхности называют абсолютно сиероховатымн. В обоих случаях силы трения не фигурируют явным обрааом в залаче о движении тел, и потому аадача является чисто механической. Если же конкретные свойства трения су~цественны лля движения, то псслелнее не является уже чисто механическим процессом (ср.
э 20). Сопонкесновенпе тел уменьшает число их степеней свободы по сравнению с тем, которым онн облапали бы прн свободном движении, )со снх пор при рассмотрении такого рола зглач мы учитывалв это обстоятельство путем введения координат, непосредственно соответствующих реальному числу степеней свободы. Прн качении тел, однако, такой выбор коорлннат может оказаться невозможным. Условие, наклаль:ваемое на лввжение тел прн качении, заключается в равенсгве скоростей соприкасающихся точек (так, при качении тела по неполвижной поверхности скорость то:ки соприкосновения должна быть ргвна нулю). В общем случае такое условие выражаешься >разненлдлт евлзсс вида ~, г„;~~; =О, с (2о,2) где г,.; — функции только координат (индекс а нумерует уравнения связей). Если левые стороны равенств не являются полнымп производными по времени каких-либо функций координат, то эти уравнения не могут быть проинтегрированы.
Асругими словами, они не сведутся к соотношениям межлу одними толысо коорлинатами, которыми можно было бы воспользоваться лля того, чтобы выразить положение тел через меньшее число координат в соответствии с реальным !07 СОПРИКОСНОВЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ (28,3) Ч вЂ” а [ т) и] = О. Оно не пожег быть проинтегрирована: хотя скорость Ч представляет собой полную производную по времени ог радиус-вектора центра шара, но зато угловая скорость не является в общем случае полной производной каких-либо координат. Таким образом, связь (28,3) неголономна'). Для составления уравнений движения соприкасающихся тел существует метод, основанный на явном введении сил реакции.
Сущность этого метода (составляющего содержание так называемого принципа д'Алли>бора) сосгоит в том, что для каждого из соприкасающихся тел пишутся уравнения -аг=~'.' ат =~["[ (28,4) причем в число действуюпшх на тело сил т вк:почв>отся так,ке и силы реакции; эти силы заранее неизвестны и сами определяются вместе с движением тела в результате решения уравнений. Этот метод в равной степени применим как при голономных, так н прн не>олономпых связях.
') Заметим, что икая же связь дая качения цилиндра была бы голономной. Б этом случае ось вращения сохраняет при качении постоянное направление в нространстве, и потому тт =ат[ас является полной производной от угла поворота т пияиндра вокруг своей оси. Соотношение (28,8) при этом интегрнруется н дает связь между координатой центра инерции и углом ч. числом степеней свободы. Такие связи называют нсголоноз:- нылил (в противоположность галана.чныж, связывающим лишь координаты системы). Рассмотрим, например, качение шара по плоской поверхности.
т>ак обьшно, обозначим посредством Ч скорость поступательного движения (скорость центра шара), а посредством ьа — угловую скорость вращения его. Скорость точки касания шара с птюскосгью получится, если положить г= — ап в общей формуле в = Ч -; [ь)г) (а — радиус шара, п — единичный вектор нормали к плоское>и качения в точке соприкосновения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
