1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Выберем ось л по вертикали вверх, а ось к — по меридиану к полюсу; тогда д,=„к=О, д,= — е; Ял=!ЛсовЛ, „=О, й,=йа!пЛ, где Л вЂ” широта (котор!ю для определенности предполагаем северной). Положив в (2) ч,=О, найдем: гэ к=О, у = — — лйсовЛ. 3 Г!одставив сюда время падения г = )г2Л[уй найдем окончательно; 1 /2/а!а(а к=О у= — — ( — ! д(ЛсоэЛ. З~д,) (отрицательные значения у соответствуют отклонению на восток). 2. Определить отклонение от плоскости для тела, брошенного с повсрхности Земли с начальной скоростью ч,.
а вт] дВижение н неинегциАльнон системы ОтсчетА 1!5 Решение. Выбираем плоскость хг так, чтобы скорость к, лежала в ней. Начальная высота Д= О. Для бокового оюслонения пол)чим из (2) (задача П: П У вЂ” 3 К~.т + (~а~ее ~а~ах) или, подставив время полета ! — 2оее(д: 4о„-', — ",,' )! — о сов Т вЂ” о а(п л), да '(3 ох 3. Определить влияние, оказываемое вращением Земли на малые колебания маятника (так называемый маягляик Фуко). Р е ш е н и е. Пренебрегая вертикальным смещением мантника как малой величиной второго порядка, можно сч;!тать движение тела пронслодящпм в горизонтальной плоскости ху.
Опуская члены, содержащие й-", напишем )равнения движения в виде л" смех — 2о 0 Я+иву — 2йеб где ~ — частота колебщпгй маятника без учета вращения Земли. л'мнвк<ив второе уравнение на 1 н сложив с первым, получим одно уравнение б+2то„'+ те=О для комплексной величины "=х+(у. При рл~м решение этого уравнения имеет внд — шг! ш! — МП 1=е ' (А,е +Аае илн — ш ! х+ )у = е ' (х, + )у,), где функции х, (!), у„(!) дают траекторию маятника без )чета вращения Зел~ли. Влияние этого вращения своднтся, следовательно, к повороту траектории вокр)г вертикали с угловой скоростью ()е. Глава УИ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В 30. Уравнения Гамильтона формулирование ваконов механики с помощью функции Лагранжа (и выводимых из пее уравнений Лагранжа) предполагает описание мехапичеагого ссстояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей.
Такое опи-' сание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности прн исследовании различных общих вопросов механики, представ:шет описание с помощью обобщенных коорлинат н импульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахожлении урзвненнй движения, отвечаюгцнх такой формулировке механики.
Переход от одного набора независимых переменных к лругому можно совершить путем преобразования, известного в магематпке под названием преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему. Полный дифференциал функции Лагранжа кзк функции координат и скоростей равен И=~ — д)г+~--.— Ц,. дс дГ. длг ' дД Это выражение можно написать в зиле пь =~юргйу;+ чс,рг ~цп (30, $) поскольку производные дЛ/дД явлюотся, по определению, обобщенными импульсами, а дЕ~дд; =рг в силу уравнений Лагранжа.
117 уРАВнения гамильтонА Переписав теперь второй член в (30,1) в виде ЯргйА=е((~ар А) — ~ Адри перенеся полный дифференциал в левую сторону равенства и изменив все знаки, получим из (30,1): й( Р;Ь вЂ” (-))= — Я,Ргй;+ Х ЬФ1 Величина, стоящая под знаком дифференциала, представляет собой энергию системы (см.
5 6); выраженная через координаты и импульсы, она называется галпглылоновой функцией Н(р, о, 1)=~х„р,д,— (.. Йз дифференциального равенства йУ~= — ~Ч', Р, дй, + '~ ), дРг (30,2) (30,3) следуют уравнения дгт' . 311 др;' ' дд;' (30,4) Это — искомые уравнения движения в переменных р и о, так называемые уравнения Галшльгиона. Они составляют систему 2з дифференциальных уравнений вервого порялка для 2з неизвестных функцвй р(1) и д(1) влгесто з уравнений второго порядка лагранжевого метода.
Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называют также каноничеекгснгь Полная производная от функции Гаыильтона по времени В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то йН/й( = О, т. е. мы снова приходим к закону сохранения энергии. При подстановке сюда ог и рг вз уравнений (30,4) последние два члена взаимно сокращаются, так что И7 дгт' ве дг 118 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. ун Наряду с динамическими переменными !7, р или т/, р функции Лагранжа и Гамильтона содерлтат различные параметры — величины, характеризующие свойства самой механической системы илн действующего на нее внешнего нол:.
Пусть ).— такой параметр, Рассматривая его как переменну!о величину, буден иметь вместо (30,1): г//. = — ~Ь /т ! т/т/! + ~ р! г/о! -'; — !/1., дй после чего вместо (30,3) получим АЧ = — ~~1~ р ! т/а! + ~~! Д втр! — —, г/).. Отс!ода находим соотношение (30Л) (30,7) Задачи 1. Найти функцщо Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндричсскпх и сферических координатах. О т в е т. В декартовых координатах х, у, г; // = ь2--- (/" + /ту + ",) + //(х, у, г), 1 В цилиндрических координатах г, Е, г: 1 / уг // = — 1трг+ — '+д11+ //(~, т, 1.
=Зж ~' гы связывающее частные производные по параметру й от функций Лагранлга н Гал!Вльтона; индексы у производных указывают, что дифференцирование должно производиться в одном случае при постоянных р и т/, а в другом — при постоянных т/ и !7. Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет внд /. = /.е+ /.', где /.' представляет собой малую добавку к основной функции /.и Тогда соответствующая добавка в функш!и Гамильтона /т = /тг + Н' свяаана с /.' посредством (")Р, . = (/У)е, ' 119 хвлвнкние гамильтона — якови Ф зб В сферачсских координатах г, а, тс РЯ 2.
Найти функцию Гамильтона частицы в разномерно вращающейся системе отсчета„ Р е щ с и я е. Нз (29,11) и (29,10) получим: ря г1 = —.— — а (гр) + бс 2щ я 31. Уравнение Гамильтона — Якоби При формулировке принципа наименьшего действия мы рассматривали интеграл Я=~ (.с((, (31,1) сс взятый по траектории между двумя заданными полохсенпями и с)С'1, которые система занимает в заданные мслсепгы времени сс н (е При варьировании же действия сравнивались значения этого интеграла для близких траекторий с одними н теми хсе значениями с)((,) и (с((я).
Лишь одна из эгих траекторий отвечает действительному дви,кеншо — та, дла которой интеграл 8 минимален. Рассмотрим теперь понятие действия в другом аспекте. Именно, будем рассматривать 8 как величину, характеризующую движение по истинным траекториям, и сравним знакппя, которые она имеет для траекторий, имеющих общее начало д(гс)=сусс1, но проходящих в момент г, через различные положения. Другими словамгй будем рассматривать интеграл действия для истинных траекторий как функцию значений координат на верхнем пределе интегрирования. Изменение действия при переходе от одной трзектории к близкой к ней другой траектории дается (прп одной степени свободы) вырахсением (2,5) Поскольку траектории действителыюго движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа, то стоящий здесь интеграл КАНОНИ~!ЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл уы обращается в нуль.
В первом же члене полагаем на нижнем пределе 3!у 11!) = О, а значение Ь у (!я) обозначим просто, как Ьу. Заменив также дьудф на р, получим окончательно: 38=рй~у или в общем случае любого числа степеней свободы 3З= ~~ р, й,у!. (31,2) Из это~о соотношения следует, что частные производные от действия по координатам равны соответствующим импульсам д11 д8 (31,3) Аналогичным образом действие можно понимать как явную функцию времени, рассматривая траектории, начинающиеся в заданный момент времени т! в заданном положении р!!1, но заканчивающиеся в заданном положении д!'> в различные моменты времени У,= б Понимаемую в этом смысле частную производную д8 д! можно найти путем соответствую!цего варьирования интеграла.
Проще, однако, воспользоваться уже известной нам формулой 131,3), поступив следующим образом, По самому определению действия его полная производная по времени вдоль траектории равна; дЕ 131,4) С другой стороны, рассматривая 8 как функцию координат н времени в описанном выше смысле и используя формулу 131,3), имеем: ! ! Сравнивая оба выражения, находим: или окончательно: 131,6) дЯ=Хр! с1у3 — уу(и (31,6) —,; = — ууур, у, 1). дй формулы 131,3) и 131,6) вместе можно записать в виде выражения [гг КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [гл угт Пгедполол<им, что параметр А пол влиянием кзких-либо внешних причин медленно (как говорят, аднабатически) меняется со временем; иод «медленным» имеется в виду такое изменение, при котором ?, мало меняется за время периода Т движения системы: (32,1) Такая система не является замкнутой и ее энергия Е не со.
храняется. По в салу мелленности изменения Л можно утвера;дтгь, что скорость с изменения энергии пропорциональна скорости Л изменения параметра Л, Это значит, что энергия системы ведет себя пои изменении Л как некоторая функция Л. ?(рупг»гн славами, сушествует такая комбинация из Е и Л, которая осгаегся при лвижении системы неизменной; эту величину называют адггабагггггчеемгг,гг ггаварггалгла.гг. Пусть Н (р, г?; Л) — гаыильтоиова функция системы, зависяшая от параметра ?. Согласно формуле (30,3) полная нсоизводная энергии системы по времени ИЕ дБ дН г?Л дг дг дл Й' Усредннм это равенство по периолу движения; учитывая медленность изменения Л (а с ннм н 'л), мо'кио вынести Л ва вгшк усрелнення: дс' дЛ дН дг а'г д?.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
