1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть в системе К' покоятся часы. В качестве двух событий воаьмем два события, происшедших в одном и том же месте х', у', г' пространства в системе К'. Время в системе К' между этими событиями есть Ж'=1,' — 1;. Найдем теперь время М, которое прошло между этими же событиями в системе отсчета К. Иа (36,3) имеем: ы с,'+ —, х' или, вычитая одно из другого, са — С! = 5!=— а!' в полном согласии с (35,1) В 37. Преобразование скорости Мы нашли в предыдущем параграфе формулы, поаволяющие по координатам события в одной системе отсчета найти координаты того же события в другой системе отсчета.
Теперь мы найдем фориулы, связывающие скорость движущейся 141 ПРВОВРАЗОВАИИВ СКОРОСТИ а зл Лп+ -. ~тх' Г с(т =— ~у дх= — ', с(у=с(у', А.=Юг' их'+ ь'сп )/ Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости л'г' ч'= —, Ф" находим: Р' ~/ пр —— ес~ 1+ —"— см Г 1гс с+ Р,' ф~ Р'1' ' о. = Р„'Р 1+ —- ст 1+ — "- сс (37,1) Эти формулы и определяют преобоазование скоростей.
Опи предстазлюот собой закон сложения скорое~ей в теории относительности, В предельном случае с-~-со они переходят в формулы клзссической механики о, = в . -'- 'ч', о = о,„ В чзстном случае двн кения частвиы параллельно оси х э„ =о, и,= с~с=О. Тогда о~.= о, = О, а э„ =о', причем Р'+ Р о= 1+ — „ с" (3У,й) Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости светз, есть снова скорость, не ббльшая скорости света Выберем оси координат так, чтобы скорость чзстицы в данный момент лежала в плоскости ху.
Тогда скорость частицы в системе К иь1еет компоненты т =псозб, тг= =оз1п6, а в системе К' имеем о„=о'соз9', с,=о'з1п8' чзстипы в одной системе отсчета со скоростью той же частиды в другой системе. Пусть снова система К' движется относительно системы К со скоростью Р' вдоль оси х. Пусть о =с(х!с(1 есть компонента скорости в системе К, а э' =с1х/с(г' — компонента скорости той ке частипы в системе К'. Из (36,3) мы имеем: 142 пеннцип относительности !гл лц (о, о' и 0, 0' — абсолютные величины и углы, образованные скоростью с осями х и х' соответственно в системах К и К').
С помощью формул (37,1) находим тогда 1/и о' 1,' 1 — — „ми 0' с" 130= 0+ Г Этз формула опрелеляет изменение направления скорости ири переходе от одной системы отсчетз к другой. рассмотрим подробнее важный частныЙ случай эгон формулы, а именно отклонение света при перехоле к другой системе отсчета, — явление, называемое аберрайггег1 света. В этом случае о=в'=с и предылущая формула переходит в с В случае У«~~ с нахолнм из (37,4) с точностью до членов порядка 1«,'с; с сов 0' ~' ' Вводя угол 10=0' — 0 (угол аберрации), находим с той же точностью: (37,5) Л0=-01п0, с т. е, известную элеменчарпую формулу лля аберрации света. ф 38. Четырехмерные векторы Совокупность коорлинзт события (сб х, 30 а) можно рзс- сматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора (или, как мы будем говорить для краткости, 4-радиус-вектора) в четырехмерном прострзнстве.
Его компоненты мы будем обозначать через х", где инлекс 1« пробегает значения О, 1, 2, 3, причем х"=сг, х'=х, х'=у, х'=л, Квадрат «длнныя 4-радиус-вектора дается выражением (хо)«(х1)э (хя)«(ха)м 143 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ Он не меняется при любых поворотзх четырехмерной системы координзт, которыми являются, в частности, преобразования Лоренцев. Вообще чеглырехлгернылг венторолг (4-вектором) Ае называется совокупность четырех величин А', А', А', А', которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора х»г).
При преобразовании Лоренца А о+ Аг+ Аа (38,1) Квадоат величины всякого 4-вектора опоеделяется аналогично квадрату 4-радиус-вектора: (А")' — (А')э — (Аэ)э — (Аа)'. Для удобства записи подобных выражений вводят два «сорта» компонент 4-векторов, обозначая их буквами АР и АР с индексами сверху и снизу. Пои этом А«=Аэ А1 Аг Аэ= — Аэ Аз= — А» (38 2) Величины А" называют контраварпантнмжа, а А — ковараантнылт компонентами 4-вектора.
Квадрат 4-вектора прел- ставится тогда в виде д '~' А»А А'Ао+ А'А~ + А'Аэ+ А«Аз. Р-О Такие суммы принято ззписывать просто как А»АР, опуская знак суммиоования, Вообще принимается правило, согласно которому по всяколгу индексу, повторяющемуся в данном выражении дважды, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается. При этом в каждой паре одинаковых индексов один лолжен стоять наверху, а доугой внизу. Такой способ обозначения суммирования по, как говорят, немым индексам, очень удобен и значительно упрощает запись формул, ') В этой книге мы будем обозначать четырехмерные индексы, пробегающие значения О, 1, 2, 3, греческими буквами Х, Р, ч, ... принцип относительности !гл. ии Аналогично квадрату 4-вектора составляется скалярное произведение двух разных 4-векторов: А'Вв АаВ + АтВ, + АаВт+ АаВа.
При этом, очевидно, его можно записать кзк в виде АаВю тзк и в виде АвВв — результзт от этого не меняется. Вообще во всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхние и нижние индексы '). Произведение АнВв является 4-скаляром — оно инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координзт. Это обстоятельство легко проверить непосредственно, но оно н заранее очевидно (по аналогии с квадратом А"А ) из того, что все 4-векторы преобразуются по одинаковому закону. Компоненту 4-вектора А' называют временной, а компоненты А', А', Аа — пространственными (по аналогии с 4-радиус-вектором). Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю; в этих трех случаях говорят соответственно о арелтенплодобных, лросптранстаенноттодоблъв и нулевых 4-векторах (снова по аналогии с терминологией для интервалов). По отношению к чисто пространственным поворотам (т.
е. преобрззованням, не затрагивающим осп времени) три пространственные компоненты 4-вектора А" составляют трехмерный вектор А. Временная же компонентз 4-вектора представляет собой (по отношению к тем же преобразованиям) трехмерный скаляр, Перечисляя компоненты 4-векторз, мы часто будем записывать их кзк Ан=(А', А)! При атом ковзриантные компоненты того же 4-вектора: А„= (А', — А), а квадрат 4-векторж А"А„=(Аа)' — Ав. Так, длв 4-радиус-вектора: х'=(с1, г), х, =(ст, — г), л".к„=стГв — г'. ') В современной литературе часто опускают вообще индевсы у четырехнернык векторов, а нв квадраты н скааврные произведения аанисывают просто как А", АВ. В втой книге, однако, мы не будем пользоваться таким способом обозначеннй. 145 чегыгехмеиные ВектОРы У трехмерных векторов (в координатзх х,у, г) нет, конечно, необходимости различать контра- и коварнантные компоненты.
Везде (где это нс сможет привести к недоразумениям) мы будем писать их компоненты А~((=х, у, з) с индексами внизу, обозначая зтп индексы латинскими буквами. В частности, по дважды повторяюшимся латинским индексам будет подразумеваться суммирование по трем значениям х, у, г (например, АВ =А,Вс). Четырехл~ериыи тензором (4-тензором) 2-го ранга называется совокупность 16 величин Ав", которые при преобразовании координат преобразуются как произведения компонент 4-векторов. Аналогичным образом определяются и 4-тензоры высших рангов. Еомпоненты 4-тепзора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контравариантные Аи", ковариантные А ., и смешанные А", (в последнем случае надо, вообше говоря, различать А", и .4„', т.
е. следить за тем, какой именно — первый или вгорой †- индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонент определяется по обшему правилу: поднятие или опускание временного индекса (О) не меняет, з поднятие илн опускание пространственного индекса (1, 2, 3) меняет знак компоненты. Так: Аз, Аю Ам = — Лм, Ац=Ап, ° ° °, Ааа =Ам, А„'=Ам, Аа,= — А", А,~= — А", ... По отношению к чисто пространственным преобразовзниям девять компонент А", А", ... состзвляют трехмерный теизор.
Три компоненты А", А", А" и три компоненты А", А~, А" состзвляюг трехмерные векторы, з компонентз А" является трехмерным скаляром. Тензор А"" называется симметричным, если А""= А"и, и антисимметоичным, если Аз' = — А'". У антисимметричного теизора все диагональные компоненты (т. е. компоненты А'", А", ...) равны ну:по, так как, например, должно быть Ам= — А". У симметричного тензора Аю смешзнные компоненты А"„я А,", очевидно, совпадают; мы будем писать в тзкнх случаях просто А~, рзсполагая индексы один над другим. Во всяком тепаорном равенстве выражения с обеих его сторон должны содержать одинаковые и одинаково располо- 146 пнинцнп относнтпльностн 1ГЛ. ШИ женные (вверху или внизу) свободные, т. е.
не немые, индексы. Свободные индексы в тензорных рзвенствах можно перемешать (вверх или вниз), но обязательно одновременно во всех членах уравнения. Приравнивание же контра- и ковариантных компонент различных тензоров «незаконно»; такое равенство, даже если бы оно случайно имело место в какой-либо системе отсчета, нарушилось бы при переходе к другой системе.
Из компонент тензора Аю можно образовать скаляр путем образования суммы А» Аа ~ А1 + Ач ( Аз (прн этом, конечно, А' = А »). Такую сумму называют следа.и тензора, а об операции его образования говорят как о свертывании или упрощении тензора. Операцией свертывания является и рассмотренное выше образование скалярного произведения двух 4-векторов: это есть образование скаляра А»В» из тензорз А»В„ Вообше всякое свертывание по паре ийдексов понижзет ранг тензора на 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
