1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Подставив зп! глсплд члспгц в общие формулы преобразования (40,5), находим: гс Рв+ — Е сь Р-= Р; РГ=Р.т Р'=Р" 1 —— с" 4-вектора (38,1) выражения Е = ~, (40,6) Е+ЬРх У'1 с" ф 41. Распад частиц Рзссмотрим сзмопроизвольный распад телз с массой М на две части с массами тт н ше Закон сохранения энергии при распаде, примененный в системе отсчета, в которой тело покоится, дает'): М = Ем+ Ем, (41,!) где Е„и Ем — энергии разлетающихся частей. Поскольку Едв)лтт и Е„)тт, то равенство (41,!) может выполняться лишь, если М ьлт,+ т„т.
е. тело может самопроизвольно распадаться на части, сумма масс которых меньше массы тела. Напротив, если М(лтт+ лат, то тело устойчиво (по отношению к данному распаду) и самопроизвольно не распадается. Лля осуществления распада надо было бы в этом случае сообщить телу извне энерппо, равную по крайней мере его зкергпп сзлзп (и, + тт — М).
') В 44 41, 42 полагаем с= 1. Другини саозамн, скорость света выбирается в качестве единицы измерения скоростей (при этом размерности длины н времени становятся одинаковымн). Такой выбор является естес~асиным в релятивистской механике и очень упрощает запись формул. Однако в этой книге (значительное место в которой уделено и йерелятивистской теории) мы, как правило. не будем пользоваться такой системой единиц, а при ее использовании будем каждый раз оговаривать это. Если в формуле потожено с = 1, то возвращение к обычным единицам не представляет труда: скорость света вводится в нев таким образом, чтобы обеспечить правильную размерность.
где р„, р, р,— компоненты трехмерного импульса р. Из определения 4-импульса (40,4) и тождества (40,3) имеем для квадрата 4-импульса снободной частицы: р,р" = тл'с'. (40,7) Подставив сюда компоненты рв нз (40,6), мы вернемся к соопюшению (39,9). !'ь!!ячнвистскля механика !!Л !Х Наряду с законом сохранения энергии при распаде должен выполняться закон сохранения ньшульса, т. е. сумма импульсов разлетающихся частей, как и первоначальныя импульс тела, равна нулю: рм+ры=О. Отса»да р,-"„=р„или Е!» гм! = Е1» лп!. (41,2) Два уравнения (41,1) и (41,2) однозначно определяют энергии разлетающихся частей: М'+ м,' — л!! . М! — т!'+ св' Е!» — 2л1 ~ы — 231 (41,3) откуда МЯ = гп! —, лг,! + 2гл«Е!.
(41,5) В некотором смысле обрап!ым является вопрос о вычислении суммарной энергии М двух сталкивающихся частиц в системе отсчета, в которой пх суммарный импульс равен нулю (система цеьплра инерции). Вычисление эгон величины дает критерий, определяющий возможность осуществления различных процессов неупругих столкновения, сопровожда!он!ихся изменением состояния сталкивающихся частиц или «рождением» новых частиц. Еаждый такой процесс может происходить лишь при условии, что сумма масс всех «продуктов реакции> не превышает М. Пусть в исходной (лаборагпоуной) системе отсчета частица с массой т, и энергиея Е! сталкивается с покоящейся частицен с массой гпь Суммарная энергия обеих частиц Е' = Е, + Еа = Е! — , 'глм а суммарный импульс р=р,-(-р,=рн Рассматриввя обе частицы вместе как одну слоя ну!о систему, мы найдем скорость ее движения как целого согласно (39,11): Е Е (41,4) Это и есть скорость движения системы центра инерции относительно лабораторноя системы.
Однако для определения искомой массы М пег необходимости фактически производить преобразование от одноя системы отсчета к другоц Вместо этого моакно воспользоваться Формулой (39,9), применимой к составной системе в такой же мере, как и к каждой частице в отдельности. Таким образом, имеем: М~= ЕЯ вЂ” да=(Е, + тя) — (Š— пг!), гпгггив столкновения члстиц 3 421 Задача Определить наибольшую энергию, которую может унести одна из распадных частиц при распаде неподвижной частицы с массой М на три частицы тлн гла, ша Р е ш е н и е. Частица яа! имеет наибольшую энергию, если система двух остальных частиц гла и ш, имеет наименьшую возможную массу; последняя равна сумме ш, + и, (чему отвечает сояместное движение этих частиц с одинаковой скоростью). Сведя, таким образом, вопрос к распад! тела на две части, получим согласно (41,3): М + гл! — (Ша+ тла) '! мах 2М ф 42. Упругие столкновения частиц Рассмотрим,с точки зрения релятивистской механики, упругое столкновение частиц.
Обозначим импульсы и энергии двух сталкивающихся частиц (с массами ш, и тэ) через рт, Е! и рь Е;1 значения величии после столкновения будем отмечать штрихом. Законы сохранения энергии и импульса при столкновении можно записать вместе в виде уравнения сохранения 4-импульса: Р", +Р» =Р,»+Рз».
(42,1) Составим из этого 4-векторного урзвнения инвариантные соотношения, которые будут удобными для дальнейших вычислений. Для этого перепишем (42,1) в виде: Р»+Р' — Р"'=Р' э ! э и возведем обе стороны равенства в квадрат (т. е. напишем их скалярные произведения самих на себя). Замечая, что квадраты 4-импульсов р и Р"" равны тэ, а квадраты Р» и Р'» ! ! !' э э равны тг~ получим: шз+Р, Р» — Р ып'» — Р Р'»=О.
(42,2) Аналогичным обрззом, возведя в квадрат равенство Р»+л— ! э — Р»=Р», получикп э ! ' Р» — р Р» — и р»=0. (42,3) 156 гелятььвнстскля мнхлннкл ьгл. ьх Рассмотрим столкновение в лабораторной системе отсчета, в которой до столкновения одна из частиц (частица гл,) покоилась. Тогда ра=О, Ея — — т, и фигурирующие в (42,2) скалярные проььззедеьььья равны: р„,р, = Еьпьи р,р" ,= пь,Еь, р, у',я=Е,Е; — р,р,'=Е,Е; — у,р' соя 6п где 6,— угол рассеяния налетающе)1 частицы тп Подставив эти выражения в (42,2), получим: соь6 Бьб +т) — Еьт — т).
(42 бь) Рьу ь Аналоги ьным образом из (42,3) найдем; 6 161+ т.) (Еь — ьпь) (42,6) Рьуь где 6а — угол, образуемый импульсом отдачи р,' с импульсом налетаюьььей частицы рь Эти формулы связывают углы рассеяния обеих частиц в лабораторной системе с изменениями вх энергии. Отььетьььь, что если т,) т„т, е.
налетающая частица тякелее покоящейся, то угол рассеяния 6, не может превышать некоторого максимального значения. Элементарным вычислением легко найти, что это значение определяется ра- венством з)п 6ь ьььт— пьа ьп, ' (42,7) совпадающим с классическим результатом (14,8). Формулы (42,о — 6) упрощаются в случае, когда налетающая частица обладает равной нулю массой: ьи, = О н соответственно у,=Еь, у,'=Е;. Выпишем для этого случая формулу для энергии налетающей частицы после столкновения, выраженной через угол ее отклонению (42,8) !— ь 1 — сО50ь + ть Еь Вернемся снова к обьцему случзю столкновения частиц любых мзсс.
Наиболее просто столкновение выглядит в системе центра инерции. Отмечая значения величин в втой 157 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ ф рм системе доиошщтельпым индЕксом О, имеем здееь р,а=в и = — Р„= рь В силу сохранения импульса, импульсы обеих частиц прп столкновении только поворачиваются, оставаясь равными ио величине в противополо киыми по направлению. В силу же сохрапешш энергии абсолютные значения каждого из импульсов ос2аются неизменными, Обозначим через у угол рассеяния в системе центра ииерции — угол, на который поворачиваются при столкновении импульсы рм и Р„ь Этой величиной полностью определяется процесс рассеяния в системе центрз инерции, а потому и во всякой другой системе отсчета. Ее удобно выбрать также н при описании столкновения в лабораторной системе в качестве того единственного параметра, который остается неопределенным после учета ззкопов сохранения энергии и импульса.
Вырззим через этоз параметр конечные виергии обеих частиц в лабораторной системе. Для этого вернемся к соотношению (42,2), ио иа этот рав раскроем проивведрние р, р',Р в системе центра инерции: Р, Р," = ЕгрЕ,р — Р,рр,р = Е;р — Р, 'соа Х =Р",(! — соз Х) + г~", (в системе центра инерции энергия каждой из частиц при столкновении ие меняется: Е;,=Еи). Остальные же два произведения раскрываем по-прежнему в лабораторной системе, т.
е. берем из (42,4). В результате получим: Е, — Е; = — (1 — соз у). Ро !Ир Остается вырззить р"-, через величины, относящиеся к лабораторной системе. Это легко сделать путем приравиивания значений иивариаита р ор в обеих системах: !М 2 ЕЫЕрр — Рррр р = Ерза или Решая зто уравнение относительно рр, получим: 158 РелятР!Внстскля мехлникл (гл 1х Имея также в виду закон сохранения Е,+т„=Е1 +Ем окончательно пишем: аа (Е', — и!аа) Е, — Е1 — — Е1 — т, = „- ".',,' —. (1 — соз у). (42,10) Это выражение представляет собой энергшо, теряемую первой и соответственно приобретаемую второй частицей.
Наибольшая передача энергии получается при у =",. н равна 2!па (Е", — ап-,") Еп !пап Я!= Е1 Е1 !пап=,+а ) 2 Е (42,11) Отношение минимальной кинетической энергии налетающей частицы после столкновения к ее первоначальной кинетической энергии: Е' . — и! (1П ! — п!а)а 1и!ш 1 ! а (42,12) Е, — П1, а-', + а„'+ 2ааЕ,' В предельном случае малых скоростей (когда Е а+шва/2) вго отношение стремится к постоянному пределу, равному 1П,— П!а)П (...' а, + паа) В обраююм же пределе больших энергий Е, отношение (42,12) стремится к нулю; к постоянному же пределу стремится сама величина Е;,и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
