1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Как мы только что видели, как раз для таких событий имеют абсолютный смысл понятия «раньше» и «позже», что являегся необходимым условием для того, чтобы имели смысл понятия причины и следствия. ф 35. Собственное время Предположим, что мы наблюдаем из некоторой инерциальной системы отсчета К произвольным образом движушиеся относительно нас часы. Введем также инерцпальную систему отсчета К', движушуюся относительно К со скоростью, сов- еовстВенное ВРемя падающеп со скоростью о движения часов в данный момент времени. В течение бесконечно малого промежутка времени б1 (по неподвижным, т. е, свяэанным с нами, часам) движущиеся часы проходят расстояние ~~бх'+ Мух+ йх'.
Спрашивается, какой промеакуток времени ПГ покажут при этом движущиеся часы. В системе К', связанной с движущимися часами, последние в даннып момент времени покоятся, т. е. бх.=бУ=бх =5, В силу инвариантности интервала ааа = свб(Я вЂ” бха — г!уа — г(аа = сЧ1ч, откуда -а / гГх'+ гГВЕ+ гтаа с~лг~ Но бх +Луа+ба~ ~й' есть квадрат скорости движущихся часов; поэтому (35,1) Интегрируя это выражение, можно найти промежуток времени, показываемыв движущимися часами, если по неподвижным часам пРоидет вРемЯ та — 1,: (35,2) Время отс читываемое по часам, двужущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Формулы (35,1) и (35,2) выражают собственное время черен время системы отсчета, относительно которой рассматривается движение, Как видно нэ этих формул, собственное время движущегося обьекта всегда меньше, чем соответствующии промежуток пгпнцнп относительности пл шц вгемеип в неподвижной системе.
Лругими словами, движушисся часы идут медленнее пеподвижныж Пусгь относительно пперциальной системы отсчета К движу'тся прямолинейно и равномерно другие часы. Система отсчета К', связанная с этими последними, тоже инерциальная. Тогда часы в системе К' с точки зрения наблюдателя в системе К отстают по сравнению с его часами, И наоборот, с точки зрения системы К' огстают часы в системе К, Убедиться в отсутствии какого-либо противоречия можно, обратив внимание на следующее обстоятельство. Лля того чтобы установить, что часы в системе А' отстают относительно часов в системе К, надо поступить следующим образом.
Пусть в некоторый момент времени часы К' пролетают мимо часов в К, и в этот момент покавання обоих часов совпадают. Лля сравнении хода часов К и К' надо вновь сравнить показания тех же движущихся часов К' с часами в К. Ио теперь мы уже сравниваем эти часы с другими часами в К вЂ” с теми, мимо которых часы К' пролетают в другой момент. При этом мы обнаружим, что часы К' будут отставать по сравнению с часами в К, с которыми они сравниваются. Мы видим, что для сравнения хода часов в двух системах отсчета необходимы несколько часов в одной системе и одни в другой. Поэтому этот процесс не симметричен по отношению к обеим системам.
Всегда окажутся отстающими те часы, которые сравниваются с разными часаии в другой системе отсчета. Если же имеются двое часов, из которых одни описывают замкнутую траекторию, возвращаясь в исходное место (к неподвижным часам), то окажутся отстающими именно движущиеся часы (по сравнению с неподвижными). Обратное рассуждение, в котором движущиеся часы рассматривались бы как неподвижные, теперь невозмокно, так как часы, опи.
сываюшие замкнутую траекторию, не движутся равномерно и прямолинейно, а потому связанная с ними система отсчета пе является инерциальной. Поскольку законы природы одинаковы только в инерциальных системах отсчета, то системы отсчета, связанные с неподвижными часами (инерциальная система) и с движущимися (неинерцнальнзя), обладают разными свойствами, и рассуждение, приводящее к результату, что покоящиеся часы должны оказаться отстаюпгими, неправильно, 137 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА ф 86. Преобразование Лоренца Нашей целью будет сейчас нахождение формул преобразования от одной инерциальной системы отсчета к другой, т. е. формул, по которым, зная координаты х, у, г, ( события в некоторой снстеие отсчета К, можно найти координаты х', у', а', (' того же события в другой инерциальной системе К'. В классической механике этот вопрос решался простыми формулами преобразования Галилея (3,1 — 2).
Если система К' движется относительно системы К вдоль обптего направления осей ж и х', эти формулы имеют вид Х=Х'+ 'Р'г', У=У', г=я', (36,1) Это преобразование, разумеется, не удовлетворяет требованиям теории относительности, — оно не оставляет инвариант- ными интервалы между событиями. Релятивистские же формулы преобразования мы будем искать исходя из требования, чтобы они оставляли интервалы инвариантныин. Как мы видели в 3 34, интервал между двумя собьпиями можно рассматривать как расстояние между соответствующими двумя мировыми точками в четырехиерной системе координат. Мы можем, следовательно, сказать, что искомое преобрззованне должно оставлять неизменными все длины в четырехмерном пространстве х, у, г, сб Но такими преобразованиями являются только параллельные переносы и вращения системы координат.
Из них переносы системы координат параллельно самой себе не представляют интереса, так как сводятся просто к переносу начала пространственных координат и иаменению момента начала отсчета времени. Таким образом, искомое преобрззование должно математически выражаться как вращение четырехмерной системы координат х, у, а, сй Всякое вращение в четырехмерном пространстве мокно разложить на шесть вращений, а именно в плоскостях лу, гу, хг, (х, (у, бх (подобно тому, как всякое вращение в обычном пространстве можно разлоягить на три вращения в плоскостях жу, -у н .егх Первые три из этих вращений преобраауют только пространственные координзты; они соотетствуют обычным пространственным поворотам.
Рассмотрим поворот в плоскости (х; координаты у е г при этом не меняются. Это преобразование долгкно оставлять 1ЗВ пнинцитт относптелшнзстп 1гл, тпт неизменной, в частности, разность (су)' — х' — квадрат <расстояния> от точки с1, х до начала координат, Связь межлу старыми и новыми координатами в этом преобразовании дается в наиболее обшем виде формуламп х= х' сй у+ сй вй ф, с1=х' ай ф — '; сбей йы (362) где ф — «угол поворота»; простой проверкой легко убедиться, что при этом действительно будет се1а — х'= сет'а — х". Формулы (36,2) отличаются от обычных формул преобразования при повороте осей координат заменой тригонометрических функций гиперболическими, В этом проявляется отличие псевдоевклидовой геометрии от евклидовой, Йы ишем формулы преобразоваатя от ннерпиальной системы отсчетз К к системе К', которая движется относительно К со скоростью 1» вдоль оси х.
Прн эгон, очевилно, полвергаются преобразованию только координата х и время б Поэтому это преобразование должно быть вида (36,2), Остается определить угол ф, который может зависеть только от относительной скорости т"). Рассмотрим движение в системе К начала коорлинат системы отсчета К'. Тогда х'= О и формулы (36,2) принимают внтк х=гйвйат, от=<1'с1~б, нлп, рззделнв одно нз другое: Х -.— = 1Ь о. ст Но х/~ есть, очевидно, скорость Ь' системы К' относительно К.
Таким образом, 1 )=-, с' О'1 шодд с 1 вп б= — —, с)т ф= ~/ 1 — — „ '1 Но избежание нслоразтчсний заметим, что через 1» мы везде обозначаем постоянную относительную скорость лвух поерциааьных систем ото чета, а через о — скорость движущейся частицы, вовсе не обязанную быль постоянной, ппиогглзовлпии лоиинцл Подстзвив это в (36,2), находим р х = — ., у =у', г = а', Г =, (36,3) х'+ рг',, +с' ~/ ~ — — ':"' Это — искомые формулы преобразования. Они называются формулами преобразования Лоренца и имеют для дальнеишего фундаментальное значение. Обратные формулы, выражающие х', у', а', б череа х, у, проще всего получаются ваменой Ъ' на — И (так как система К движется относительно К' со скоростью — И). Эти же формулы можно получить непосредственно, решая уравнения (36,3) относительно х', у', г', т'.
Легко видеть из (36,3), что при предельном переходе с -~. со к классическои механике формулы преобразования Лоренца действительно переходят в преобразование Галилея. При Ь' >с в форл1улак (36,3) координаты х, Г делаются мнимыми; это соответствует тому факту, что движение со скоростью, большей скорости света, певозмокно. Невозможно да ке использовзние системы отсчетз, движущейся со скоростью, равной скорости света, — прн этом знзменатели в формулах (36,3) обратились бы в нуль. Пусть в системе К покоится линейка, параллельная оси х.
Ллииа ее, измеренная в этой системе, пусть будет Ьх =х, — х,(хз и х, — координаты обоих концов линейки в системе К), Наидем теперь длину этого стержня, измеренную в системе К'. Для этого нздо наити координаты обоих ко~знои стержня (х и х;) в этой системе в один и тот же момент времени ~'. Из (36,3) находим: х,'+ 1и к,'+ ЬУ с' )~ сс Ллина стержня в системе К' есть Ьх'=х,— х,'; вычитая х, из хз, находим: ах' Ьх= ~/ — '„" Собственной длиной стержня называется его длина в тон системе отсчета, в которой он покоится.
Обозначим ее через !Гл. щп ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (, = 5к, а длину того же стержня в какой-либо системе отсчета К' — через с. Тогда С=41/ ! — — "„. (36,4) с- "' Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той системе отсчета, где он покоится. Длина его в системе, в которой он движется со скоростью 1с, уменьшается в отношении Р 1 — Ус~са. Этот результат теории относительности называется лоренсСевым сокращением. Поскольку поперечные размеры тела при его движении не меняются, то объем ~ен тела сокращается по аналогичной формуле (36,5) где Ъ; есть собственный обаем тела, Иэ преобразования Лоренпа можно найти взвестные нам уже результаты относительно собственного времени 8 35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
