1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Этот предел равен а', + ап„-" Еа ппп= 1П, Предположим, что та~вша т. е. мзсса налетаюшей частицы мала по сравнению с массой покоившейся частицы. Согласно классической механике при этом легкая частица могла бы передать тяжелой только ничтожную часть своей энергии (см. э 14). Такое положение не имеет, однако, места в релятивистской теории.
Из формулы (42,12) видно, что при достаточно больших энергиях Е, доля переданной энергии может достичь порядка 1. Для этого, однако, недостаточно, чтобы скорость частицы т, была порядка 1, а необходимы, как легко видеть, энергии уппуп!е столкггопення частиц т. е. легкая частица лолжна облалать энергией порядка энергии покоя тяжелой частицьь Аналогичное положение имеет место при тиа ч" ти т.
е. когда тяжелая частица налетает иа легкую, И здесь согласно классической механике, происходила бы лишь незначитель. ная передача энергии. Доля передаваемой энергии начинает становиться значительной, только начиная от энергий ша Е1 ггга Отметим, что и здесь речь идет не просто о скоростях порялка скорости сне~а, а об энергиях, больцгих по сравнению с ть т.
е. об ультрарелятивистском случае. Задачи ). Для двух часпщ одинаковой массы определить угол их разлета посае столкновения в лабораторной системе отсчета. Решение. Возвсгш в квадрат обе стороны равенства (42,!), получим; ршдт =)твРз' в после раскрытия произведений 4-импульсов в лаборзторной системе: Е,ма = Е;Е„' — р,'р,' соз 6, глс 6 — угол разлета ()тол между р', и р,'). Для частиц одинаковой массы (шг=шгьигп), подставив — = ула†и учитывая сохранение энергии (Е, + ш = Е; + Е;), получим отсюда (Е; — тп) (Е; — гп) (Е', + ш) (Е.,' + т) ' --~7 7 Угол 6 меняется в пределах от я/2 (при Е,' гл илв Е.,' ш) до минимального значения пм,„, достигаемого при Е;=Е;, Е,— ш соя йвпч — — Е +Зп.
2. Для столкновения двух частиц одинаковой массы яг выразить Е;, Е,' и )( через угол рассеяния в лзборзторной системе 0,. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА !ГЛ. ГХ Р е ш е и н е. Подставив в (42,о) Е, = ТГЕв — ив, р,' = ')г Е "— и~ и решив уравнение относительно Ь'„найдем: Е, + и + (Е, — и) сова з, Е;= Е, +и — (Е,— и) сов'О, и затем (Ем — ив) в!Пв 61 Е;=Ег+гл — Е1 — — и+ — т2гн+ (Е, — и) мп" 0, Сравнивая с выражением Е; через у: 1 Е; =Е,— —,(Е,— и) (1 — сову) 2 (нз (42,10)), найден угол рассеяния в системе центра инерции 2и — (Е, + Зся) в(пв О, 2лг + (Е, + и) в!па 0, ' ЧАСГЬ И ЭЛЕКТРОДИИАМИКА Глава Х ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ф 43, Четырехмерный потенциал поля Взаимодействие частиц друг с другом можно описывать с помощью понятия силового поля.
Вместо того чтобы говорить о том, что одна частица действует на другую, можно сказать, что частица создает вокруг себя поле; на всякую другую частицу, находящуюся в этом иоле, действует некоторая сила. В классической механике поле являегся лишь некоторым способом описания физического явления — взаимодействия частию В теории же относительности благодаря конечности скорости распространенна взаимодействий поломгение вещей существенным образом меняется.
Силы, действующие в данный момент на частицу, не определяются их 1асположением в этот момент. Изменение положения одной из частиц отражается на других частицах лишь спустя некоторый промежуток времени. Это значит, что поле само по себе становится физической реальностью.
п1ы не можем говорить о непосредственном ваапмодействии частиц, находящихся на расстоянии друг от друга. Взаимодействие может происходить в каждый ьюменг лишь между соседними точками пространства (близкодействие). Поэточу мы должны говорить о взаимодействии одной частицы с полем и о последующем взаимодействии поля с другой частицей. Вторзя часть этой книги посвящена теории электромагнитных полей.
Начнем с изучения взаимодействия частицы с заданным полем. Действие для частицы, движущейся в задзнном электромагнитном поле, складывается из двух частей: из действия свободной частицы (39,1) и из члена, описывающего взаимоб л. д. Ланлаг, е. м, ляешач !62 ЗАРЯД В ЭЛЕКтРОМАГНИтиом ПОЛЕ 1ГЛ Х вЂ” — 1 А с)хв, где функции АР берутся в точках мировой линии частицы. )тггножитель 1!с введен здесь для удобства. Следует отметить, что до тех пор, пока у нас нет никаких формул, связываюсцих заряд или потенциалы с известными уже величинами, единицы для их измерения могут бтыть выбраны произвольным образом (мы вернемся к этому вопросу в й 33). Таким образом, действие для заряда в электромагнитгюм поле имеет вид ь 8= ~ ( — тс ссз — — Авьсх").
(43,1) а Три пространственные компоненты 4-вектора АР образу!от трехмерный вектор А, называемый венторнмлс потенциалом поля. Временную же компоненту называют сналярнас.м потенциалом; обозначим ее как А'=ф. Таким образом, АР=(чу, А). (43,2) ') Следующие ниже утверждения надо рассматривать в значительной степени как результат опытных данных. Вид действия для частицы в электромагнитном поле не может быть установлен на основании одних только общих соображений ~аких, как требование релятивистской инвариантности (последнее допускало бы, например, в формуле (43,1) также и член вида ) А Ла, где А — скалярнал функция).
Во избежание яедоразумений напомним, что речь идет везде о классической (не квантовой) теории, и потому нигде не учитываются эффекты, связанные со олином частиц. действие частицы с полем, Последний должен содержать как величины, характеризующие частицу, так и величины, характеризующие поле. Оказывается '), что свойства частицы в отношении ее взаимодействия с электромагнитным полем определяются всего одним параметром — так называемым зарядолс частицы е, который может быть как положительной, так и отрицательной (или равной нулю) величиной. Свойства же поля характеризуются 4-вектором А„, так называемым 4-потенцссалом, компоненты которого являются функциями координат и времени.
Эти величины входят в действие в виде члена а 163 четыьчтхмвннып потснцнлл поля а аз1 Поэтому интеграл действия можно написать в виде 8= 'т ! — тс с(з+ — А с!г — ар с(с1, Д'т с а или, вводя частицы ч=с(г,И и переходя к интегрированию по времени, 8= ~ ' — тттс~'~/ 1 — —,+ — Ак — ср И, (43,3) Подынтегральное выражение есть функция Лагранвса для заряда в электромагнитном поле: Е = — тсЧ/ 1 — —;+ — Аз — ср. (43,4) с' с Это выражение отличается от функции Лагранжа для свободной частицы членами —" Ач — ер, которые описывзют вази. с модействие заряда с полем.
Производная дЕ,,'дв есть обобщенный импульс частицы; обозначим его посредством Р: Р= — + — сА=р+ — 'А. (433) Здесь мы обозначили посредством р обычный импульс час- тицы, которой мы и будем называть просто импульсом, Из функции Лагранжа можно найти функцию !'амиль- тона ~астицы в поле по общей формуле' ) ой =к — — !., дч Подставляя сюда (43,4), найдем: (43,6) '1 В этой части книги энергия и функция Гамильтона будут обозначаться буквами рукописного шрифта К и оур" (вместо Е н Н), во избежание нутаницы с обозначеииявси напряженностей полей. йс ~гл.
х ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ В этом приближении е р=глч=р — — А, с а функция Гамильтона: (43,9) ф 44. Уравнения движения заряда и поле Заряд, находящинся в поле, не только подвергзется воздействию со сторокы поля, но в свою очередь сам влияет на поле, изменяя его. Однзко если ззряд е не велик, то его действием на поле можно пренебречь '). В этом случае, ргс<матрнвая движение в заданном поле, можно считать, что само поле не зависит ни от положения, ни от скорости заряда. Уравнения движения заряда в заданном электромагнитном поле даются уравнениями Лагранжа (44,1) где Ь определяется формулой (43,4).
Производная дЬ1дч есть обобщенный импульс (43,5). Далее пишем: ду. р — "= 71. = — — егад А» — е ягад ат. дг с частицы ')Условие малости заряда в жом смысле состоит в малости возникающей при его движении так называемой силы торможения излучением (которая будет рассмотрсна в б 82). функция Гамильтона, однако, должна быть выражена не через скорость, а через обобщенный импульс частицы. Из(43,5 — 6) е видно, что соотношение между оеу — ер и Р— — А такое же, квк между чу8 и р в отсутствие поля, т.
е. т~ =татара+(Р— — А) . (43,7) йля малых скоростей, т. е. в классической механике, функция Лагранжа (43,4) переходит в Ь= —,+ —" Ач — еу. (43,8) где а и Ь вЂ” любые два вектора. Применяя эту формулу к Ач и помня, что дифференцирование по г производится при постоянном ч, находим: дь' с е — = — (чЧ) А + — [ч тот А] — е ягад о, дг с с Уравнения Лагранжа, следовательно, имеют внд: е — [ р+ — А ', = — (чЧ) А + — [ч го( А] — е ига г( о. гсс [, с Г' с - с ЕА Но полныя дифференциал — М складывается из двух частей: ег дА из изменения — Й векторного потенциала со временем в дс данной точке пространства н нз изменения прн переходе от одноя точки пространства к другой на расстояние ггг.
Эта вторая часть равна (вггЧ)А. Такнлг образом, о'А дА — = — —;(чЧ) А. ег дг Подставляя это в предыдугцее уравнение, получаем: др с дА с — = — — — — е ягаб Ч+ — [ч го1 А]. (44,2) дс с дг Это и есть уравнение движения частицы в электромагнитном поле. Слева стоит производная от импульса частицы по времени.
Следовательно, выражение в правой части (44,2) есть сила, действующая на заряд в электромагнитном поле. Мы видим, что эта сила состоит нз двух частея, Первая часть [первый н второй члены в правой части (44,2)] не зависит от скорости частицы. Вторая же часть (третий член) зависит от нее: пропорциональна величине скорости и перпендикулярна к нея. Силу первого рода, отнесенную к заряду, рзвному единице, называют напрллсенностью электрического полн; обозначим ее посредством Е, Итак, по определению, 1 дА Е = — — — — ягаб о. с дг (44,3) а гн чпавнення двнжнгггя зляядл в полк ~вч Но по известной формуле векторного анализа дгад аЬ = (аЧ) Ь + (ЬЧ) а + [Ь го( а] + [а го( Ь], здряд В электРОмягнитном пОле игл х Множитель прн скорости, точнее прн ч,'с, в силе второго рода, действующей на единичный заряд, называют напряженностью лгагнптного поля; обозначим ее через Н.
Итак, по определению, Н= го(А. (44,4) Уравнения движения заряда в электромзгнитном поле можно теперь нзписзть в ниде — р = еЕ + — (чН). я'р е ис (44,5) Стоящее справа выражение называют лоренцевой силой. Первая ее часть — силз, с которой действует электрическое ноле на заряд, — не зависит от скорости заряда и ориентирована по направлению поля Е. Вторая часть — сила, оказываемая магнитным полем, — пропорциональна скорости заряда и направлена перпендикулярно к этой скорости и к направлению магнитного поля Н.
)(ля скоростей, малых по сравнению со скоростью света, импульс р приближенно равен своему классическому выражению тч, и уравнение движения (44,5) переходит в гп — = еЕ+ — [чН). ич е гы (44,6) Вычислим еще скорость изменения кинетической энергии частицы ') со временем, т. е. производную «Гбкнн Я' »ЯС' ис иг Г о» Лет«о убедиться, что ябкнн ЛР .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
