1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 26
Текст из файла (страница 26)
йг ас ' =ч— подставив йр~й( из (44,5) и замечая, имеем: — = еЕч. Локнн ес что (чН) ч = — 0 (44,7) ') !)од «кинетической» мы понимаем здесь и ниже энергию (39,7), включающую в себя энергию покоя. 157 кАлнБРОВОчнАя ннВАРИАнтнОсть Выражение в правой стороне равенства есть работа, произВодимая полем над частицеи (в единицу времени).
Работа производится только элек<рпческим полем. Магнитное же поле не производит рзботы над движущимся в нем зарядом, поскольку действующая В !Юм сила перпендикулярна к ско. рости частицы. В Гь 5 было отмечено, чго уравнения классической механики инвариантны относительно обращения временна Легко видеть, что то же самое имеет место и в электромагнитном поле в теории отпосительпосп!.
Прв этом, однако, вместе с заменой 1 па — 1 надо изменить знзк магнитного поля. Действительно, легко видеть, что уравнения движения (44,5) не меня<отся, если произвести замену 1 ь — 1, ЕьЕ, Н ь — Н (44,8) Прп этом, согласно (44,3 — 4), скалярный потенциал не меняется, а векторный меняет знак: (44,9) Таким образом, если в электромагнитном поле возможно некоторое движение, то возможно и обратное движение и поле с обратным направлением Н. Задача Выразить ускорение частицы через ее скорость и напряженно. сти электрического и магнитного полез. Р е ш е н и е.
1)одстзвляем в )равнение движения (44,5) р = = чбкчз'с-", а <Ге лы,'<тт выражаем согласно (44,7). В результате найдем; 1 ч = — "у ! — —, '(Е+ — (чН( — — „ч (РВ)). гл г" 1 с с' ф 45. Калибровочная инвариантность Рассмотрим теперь вопрос о том, насколько однознзчно определены потенциалы поля. Поле характеризуется тев! действием, которое опо оказывает на движение находжцихся в нем зарядов. Но в уравнения движения входят не потенциалы, а напряженности поля Е и Н. Поэтому два поля 1ба ааэяд в элвктпомлгннтном поле [гл х физически тождественны, если они характеризуются одними и теми же векторами Е и Н.
Согласно (44,3 — 4), заданием потенциалов А и э величины Е и Н определяются однозначно. Однако одному и тому же полю могут соответствовать различные потенциалы. Чтобы убедиться в этом, прибавим к каждой компоненте 4-потенпиала А„величину — дг,гдхэ, где У вЂ” произвольная функция от координат и времени. Тогдз А„ переходит в дг" А,;=А, — -5- —,.;. При такой ззмене в интеграле действия (43,!) появится дополнительный член, представляюший собой полный дифференциал — — ~ха= (1-У) е ду „ге с дха ге (45,2) что не влияет на уравнения движения (ср.
э 2). Если вместо четырехмерного потенциала ввести векторный и скалярный н вместо ха — координаты с1, х, у, з, то четыре равенства (45,1) можно написать в виде А'= А+ цгада 1 эГ с дг' (45,3) Легко убедиться в том, что электрическое и магнитное поля действительно не изменяются при подстановке в (44,3 — 4) вместо А и э новых потенциалов А' н Е'. Таким образом, преобразование (45,3) не изменяет поля.
Потенциалы определены поэтому не однозначно — векторный потенциал определен с точностью до градиента произвольной функции и скалярный — с точностью до производнои по времени от той же функции. В частности, к векторному потенциалу можно прибавить любой постоянный вектор, а к скалярному потенцизлу — любую постоянную.
Это видно и непосредственно из того, что в определение Е н Н входят только производные от А и в, и потому прибзвление к последним постоянных не влияет на напряженности поля. Физический смысл имеют лишь те величины, которые инвариантны по отношению к преобразованию потенциалов ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ !69 4 лб! (45,3); поэтому и все уравнения должны быть инвариантнь1 по отношению к этому преобрззованию.
Эту инвэриантность называют калибровочной или градиентной '). Описанная неоднозначность потенциалов дает всегда возможность выбрать их так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному дополнительному условию, — одному, так как мы можем произвольно выбрать одну функцию г в (45,3). В частности, все~да можно выбрать потенциалы поля так, чтобы было э=!).
Обратить же в нуль векторный потенциал, вообще говоря, невоэмокно, так как условие А=О представляло бы собой три дополнительных условия (для трех компонент А). ф 46. Постоянное электромагнитное поле Постоянным электромагнитным полем называют поле, не зависящее от времени. Очевидно, что потенциалы постоянного поля можно выбрать так, чтобы они были функциями только от координат, но не от времени.
Постоянное магнитное поле по-прежнему рвано Н = го! А. Постоянное же электри. ческое поле (46,!) Е = — егаб е. Таким образом, постоянное электрическое поле определяется только скалярным потенциалом, а магнитное — векторным потенциалом. Мы видели в предыдуцгем параграфе, что потенциалы поля определены не однозначно. Но если условиться описывать постоянное электромагнитное поле с помощью не зэвисящих от времени потенциалов, то к скзлярному потенциалу мо кно прибавить, не изменяя поля, лишь произвольную постоянную (не зависящую ни от координат, ни от времени). Обычно на потенциал у накладывают еще дополнительное условие, требуя, чтобы он был равен нулю на бесконечности.
Тогда и упомянутая произвольная постоянная становится определенной, и скалярный потенциал постоянного ') Подчеркнем, что этот результат связан с подразумевающимся а (45,2) постоянством ж Таким образом, калибровочная инвариант- ность уравнений электродинамики и сохранение заряда тесно связаны друг с другом. 170 ЭАРяд В электРОмагпитиом пОля ~гл х поля — вполне однозначным. Напротив, векторный потенциал остается не однозначным: к нему можно прибавить грздиент любой функции координат.
Определим, чему равнз энергия заряда в постоянном электромагнитном поле. Если поле постоянно, то и функция Лаграгпка для ззряда не зависит явно от времени. В этом случае энергия сохраняется, совпадзя с функцией Гамильтона. Согласно (43,6) имсеы: гяс~ ~Г (46,2) Таким образом, к энергии частицы прибавляется член гав потенциальная энергия заряда в поле. Отметим сугцесз венное обстоятельство, что энергия зависит только от скалярного, но пе от векторного потенциала.
вкругими словами, магнитное поле не влияет на энергию зарядов; энергию частицы может изменить только электрическое поле. Это связано с упоминавшимся уже обстоятельством, что магнитное поле, в противоположность электрическому, не производит над зарядом работы, Если напряженность поля во всех точках пространства одинакова, то поле называют однородныж. Скалярныи потенциал однородного электрического поля может быть выражен через напряженность поля согласно равенству и = — Ег.
(46,3) Пейсгянтельпо, при Е=сопат имеем ргаб (Ег)=(ЕГ)т=Е, Векторнын же потенциал однородного лгагнитного поля можно выразить через нзпряженность этого поля Н в инде (46,4) го((Нг]=Н61иг — (Нр)г=2Н (напомннлб что 61чг=З). депствительно, при Н=сопа( находим с помогцыо известных формул векторного анализа: а м) движение в постоянном элпктгичпском поле !71 $47. Движение в постоянном однородном электрическом поле Рассмотрим движение заряда е в однородном постоянном электрическом поле Е.
Направление поля примем аа ось х. Движение будет, очевидно, происходить в одной плоскости, которую выберем за плоскость ху. Тогда уравнения движения (44,5) примут вид р„= еЕ, откуда р„=еЕь р =рм (47,1) ея.=т' ' ', ееГГ( ес =1 Е)+р7Й7Г (4те) где с)с — энергия при 1=0. Согласно (39,11) скорость частицы ч = рса)'д'е„е. Для скорости з„=х имеем, следовательно: сееЕС Рес е'аие г'"8, "+ (сей))' ' Интегрируя, находим: х = — )Г е с + (сеЕ))Я (47,3) (постоянную интегрирования полагаем равной нулю), Для определения у имеем: су рус' р„с' У'У", +(сеЕГ)" откуда у = —, Ага)г —.
Рес сеЕС еб 8, (47,4) Начало отсчета времени мы выбрали в тот момент, когда . р =0; р, есть импульс частицы в этот момент. Кинетическая энергия частицы (энергия беа потенциальной энергии в поле) равна дм,„=сф' тася-',-р". Подставляя сюда (47,1), находим в нашем случае: 172 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 1гл х из (47 4) С Уравнение траектории находим, выразкая через у и подставляя в (47,3). Это дает: е'„ейч х= — ". с!à —.
Рсс (47,5) х= —,у --сопз1, 9 2ию,' т. е. заряд движется по параболе, — известный результзт классической механики. ф 48. Движение в постоянном однородном магнитном поле Рассмотрим тЕперь движение заряда е в однородном магнитном поле Н. Направление поля выберем за ось г. Уравнения движения р = — (чН) мы перепишем в другом виде, подставив вместо импульса О"Ч сс где в — энергия чзстицы, которая в магнитном поле постоянна, Уравнения движения приобретают тогда вид и и'ч е — — = — [чН] с* ве с (48,1) или, в компонентах, (48,2) где мы ввели обозначение есН Ф= — ~ —, (48,3) Таким образом, заряд движется в однородном электрическом поле по цепной линии.
Если скорость частицы о< с, то можно положить рз= тв„ о'с= лсс'1 разлагая (47,5) по степеням 11с, получим, с точностью до членов высшего порядка: а ее1 двнжнннн в постОянном мАГнитнОЯ поле ПЗ Умножим второе из уравнений (48,2) на е н сложим с первым: —,-«,+(ох)= — (и(.+(о,), откуда о„+ гое ае где а — комплекснзя постоянная, Ее можно написать в виде а=вне — '", где ое, и к вещественны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
