1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Слева стоит изменение полной энергии поля и частиц в единицу времени, Поэтому интеграл $8с11 надо рассмат- ПЛОТНОСТЬ И ПОТОК ИМПУЛЬСА ааа! ривать как поток энергии поля через поверхность, ограничиваюшую дзнный объем, так что вектор Пойнтинга 8 есть плотность этого потока, — количество знергии поля, протекающее в единицу времени через единицу Ьоверхности. В 68. Плотность н поток импульса Наряду с энергией электромагнитное поле обладзет также и импульсом, распределенным в пространстве с опрсделенной плотностью. Выражение этой плотности через напряженности поля может быть установлено с помошью вывода, аналогичного произведенному в предыдушем параграфе, Вычислим производную по времени от интзграла ~ 4„[ЕН] "Р' Производя дифференцирование под знаком интеграла и заменяя производные дЕ/дг и дН~'д! согласно уравнениям Макс.
велла, получим: дт ~ 4лг 4лс д [ ,ТТ ~ + 4л д ( дт г 4 ~ [[Его(Е]+[Нго! Н]] !т тт — ~ ~ [)Н] пК В первом интеграле преобразуем подынтегральное выражение с помошью формулы векторного анализа 7(аЬ) = [а го! Ь]+ [Ь го! а]+(в7) Ь+(Ь7) а, согласно которой имеем: [Е го! Е] -~- 7Е' — (Е7) Е, ! Кроме того, ззмениьп (Е7) Е =(7Е) Š— Е (7Е), где в члене (7Е)Е подразумевается, что оператор 7 действует на оба следуюшие за ним множителя. Наконец, заметив, что согласно уравнению Максвелла (564) 7Е=д!УЕ=к*4лр, пишелс [Е го ! Е] = — 7Е' — (7Е) Е + 4лрЕ, 196 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 1ГЛ.
Хг Аналогичным образом преобразуется произведение [Н го1 Н), но поскольку 81УН=О, то (Н го1 Н) = —,7На — (7Н) Н. 2 Таким образом, — — ~ — 7(Е'.+ На) — (7Е) Š— (7Н) Н~ ЫУ— ~ (РЕ „— 'ИнфгУ. (58,1) В первом интеграле в подынтегральном выражении опе« раторы 7 действуют на все стоящие после них множители. Согласно правилам векторного анализа (общая формулировка теоремы Гаусса) этот интеграл преобразуется в интеграл по поверхности путем замены оператора дУ 7 на элемент поверхности Л. Во втором же интеграле, в котором фигурируют плотность и ток зарядов, переходим к записи в виде суммы по точечным зарядам, расположенным внутри данного объема. В результате равенство (58,1) перепишется в виде г д д Р (ВН) дс ~ Алг — — ( 2 аЧ вЂ” Е(Евг() — Н(Н111)~— — ~~ е (Е+ — (УН)).
(58,2) Если интегрирование производится по всему пространству, то интеграл по поверхности (бесконечно удзленной) обращается в нуль. Выраагение же под знаком суммы в (58,2) есть сила, действу1ощая на заряд. Согласно уравнению движения (44,5) ее можно ааменить производной дрАН от импульса частицы.
Тогда равенство (58,2) могкно представить в виде 4 ЫУ+,» р(=О. (58,3) Оно выражает собой, очевидно, закон сохранения полного )гмпульса системы частицы+поле. Первый член в фигурных плотность и поток импэльс» скобках есть, следовательно, импульс электромзгнитного поля, а подынтегральное выражение в нем можно рассматривать нак плотность импульса; обозначим ее через Рожг: ргам 1 ((511) (58,4) Обратим вин»ганне на то, что плотность импульса совпадает (с точностью до постоянного»гногкнтеля 1гс») с плотностью потока энергии поля.
Если же интегрирование в левой части (58,2) производится по некоторому конечному объему поля, то интеграл по поверхности не равен нулю. Запишем его в более ком. пактном виде, введя трехмерный тензор яы = 4 — ) 2 з㻠— ГгЕ» — НгН»'(. (58,5) 1 ГЕ'+ Еи В раскрытом виде его компоненты 2 И я„, = — (Е',, + Е; "— Е-", . )- Н„"+ Н, '— НД, ! а л —— — — (Е„Ех+ Н,Нх) и т. п. Подынтегральное выражение в интеграле по поверхности в (58,2) есть вектор; с помощью тенчора (58,5) его г-я компонента запишется в виде яг»гК. Таким образом, векторное уравнение сохранения импульса (58,2), представленное в компонентах, примет вид: гтг '(2 Рг" ггг + ~ ггг~= — гтг амг(Г». (58,6) Отсюда ясно, что игпеграл в правой стороне равенства представляет собой поток импульса поля, вытекающего из рассматриваемого объема.
Произведение же аг»г(г» есть поток импульса через элемент поверхности гП. По определению, вектор Л направлен по внешней нормали к поверхности. Если обозначить единичный вектор нормали через К, то Л=Кг(г'. Тогда яг» г(г» аг»г" г» гы, 198 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 1ГЛ. ХГ 4 ( 2 Х вЂ” Е(ХЕ) — Н(ХН)). (88,7) ТензоР ечь называют лаксвелловскии тензодом иаиРЛ- жений.
Соглзсно сказанному выше компонента ГОА еСть плОтность потока рй компоненты импульса в направлении осика. Отметим, что тензор напряжений, как это видно нз (о8,5), симметричен (а;А = аа ). И мы видим, что вектор с компонентами ам№ есть плотность потока импульса в направлении Х, т. е. поток через единич- ную плошадку, перпендикулярную к Х. Подставив с~а из (88,5), найдем, что этот вектор равен Глава ХП ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ф б9. Закон Кулона 1Тля постоянного электрического (элекглрослгалгггчегкого) поля уравнения Максвелла имеют вид: г)1ч Е = 4яр, го(Е=О, (59,1) (59,2) Электрическое поле Е выра>кается через один только скалярный потенциал соопюшением Е = — ягаг) у.
Подставляя (59,3) в (59,1), находим уравнение, которому удов. летворяет потенциал постоянного электрического поля: Ьу = — 4яр. (59,4) Это уравнение называют уравнением Пуассона. В пустоте, т. е. при 9=0, потенциал удовлетворяет уравнению .7аггласа Ь~=О, (59,5) Из последнего уравнения следует, в частности, что потенциал электрического поля нигде не может иметь ни максимума, ни минимума. Лействительно, для того чтобы у имело экстремальное значение, необходимо, чтобы все первые производные от о по координатам были равны нулю, а вторые производные д'1г1дхя, дауду', д'фдая имели одинаковый знак.
Последнее, однако, невозможно, так как при этом не может быть удовлетворено уравнение (59,5). Определим теперь поле„создаваемое точечным зарядом. Из соображений симметрии ясно, что оно будет направлено 200 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ !ГЛ ХП в каждой точке по радиусу-вектору, проведенному из точки, в которой находится заряд е. Из тех же сообрзжений ясно, что абсолютная величина Е поля будет зависеть только от расстояния )с до ззряда, А(ля нзхождения этой абсолютной величины применим уравнение (59,1) в интегральной форме (56,5) Поток электрического поля через шзровую поверхность с радиусом )с, проведенную вокруг заряда е, равен 4ятсеЕ) этот поток должен быть равен 4ке.
Отсюда находим: е Е= —., !1-' ' В векторном виде: (59,6) Таким обрааои, поле, создаваемое точечным зарядом, обратно пропорционально квадрату расстояния от него (закон Кулона). Поте!шиал этого поля (59,7) Если мы имеем систему зарядов, то создаваемое ею поле, согласно принципу суперпозиции, равно сумме полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
Потенциал такого поля равен (59,8) где гт — расстояние от заряда е, до точки, в которой мы ншем потенциал, Если ввести плотность заряда р, то эта формула приобретает вид (59,9) где Й вЂ” расстояние от элемента объема ЫУ до данной точки («гочки наблюдения») поля. Отметим здесь математическое соотношение, получающееся при подстановке в (59,4) значений р и Т! для точечного заряда> т, е, р=ей((т) и Е=е/Й. 1Т(ы находим тогда: Ь вЂ” = — 4Е3 (Й). (59,10) ф ав! электРОстАтическАя энеРГия зАРядОВ 261 ф 60.
Электростатическая энергия зарядов Определим потенциальную энергию системы зарядов. При этом будем исходить из представления об энергии поля, т. е. нз выражения (57,6) для плотности энергии. Именно, энергия системы ззрядов должна быть равна ('=в ~ ~ г(У где Е есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству. Подставляя сюда Е= — игарку, можно преобразовать (г следуюшим образом: (У= — — ~ Е егаб у И'= — — ~ йт(Е~)ЫУ+ — ~ ~рйчЕаУ.
1 г 1 Г 1 Г вл л вя ) вк з У= —, ~ рэ йl. (60, 1) Для системы точечных зарядов е, можно вместо интеграла написать сумму по зарядам 1 О = 2 ~~1 е э (60,2) где у, — потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке, где находится заряд е . Согласно (69,8) потенциалы р, равны ь где )с,ь — расстояние между зарядами е, и еь.
Для системы точечных аарядов это выражение содержит бесконечный член, происходягций от потенциала собственного поля заряда ел (член суммы с Р=а, в котором гг =О). Соответственно в энергии (60,2) появляется бесконечная постоянная, не зависящая от взаимного расположения варядов. Эта часть Первый из этих интегралов согласно теореме Гаусса равен интегралу от Ер по поверхности, ограничиваюшей объем интегрирования; но поскольку интегрирование производится по всему пространству, а на бесконечности поле равно нулю, то этот интеграл исчезает. Подставляя во второй интеграл йя Е = 4ир, нахолим следуюгцее выражение для энергии системы зарядов: 202 постоян! Ое электэомлгиитиое пОле ~гл хы (60,3) где Ь ГА а) (60,4) есть потенциал в точке нахождеш1я е„создаваемый всеми зарядами, за исключением е,. Ина ~г можно написать )~аз а.,-д (60,5) В частности, энергия взанмодсйствня двух зарядов (60,6) Вернемся к упомянутой выше бесконечной собственной энергии элементарной заряженной частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
