1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Лля плоской волны это дает (%)'с)п. Обратим внимание на то, что соотношение между энергией %' и импульсом 11т/с электромагнитной волны оказывается таким же, как для частиц, движущихся со скоростью света (см, (39,12)). Поток импульса поля дается максвелловским тензором напри~лений л,л (58,5). Выбирая по-прежнему направление распространения волны в качестве оси х, найдем, что единственная отличная от нуля компонента а„„= %'.
(69,6) Как и следовало, поток импульса направлен по направлению распространения волны и равен по величине плотности внергии. Задача Определить силу, действующую на стенку, от которой отражается (с коэффициентом отражения Р) падающая нл нее плоская электромагнитная волна. Р е ш е н и е. Сила $, действующая иа единицу площади стенки, дается потоком импульса через зту площадь, т. е.
есть вектор а составляющими уг = 'глРь+ '1Рл ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ (Гл. хна где В) — вектор нормали к поверхности стенки, а см и ам — ксмпсисигы тсизсрсв напряжений падающей и стражснисй воли. Учитывая (69,6), получим: ! = Гги (В)п) + К"и' (В)п'). По опрсдслсивю ксзффиписнга отражения имеем: ЕT=)гйу. Введя также угол падения О (и равный ему жс угол отражения) и переходя к компонентам, найдем нормальную силу (световое давление) ун= ~'((+Й~'а и гаигснниальиую силу = (р" (! — )г) с!и а соса.
В 70. Монохроматнческая плоская волна Здесь А, — некоторый постоянный комплексный вектор, Очевидно, что и напряженности Е и Н в такой волне будут иметь аналогичный вид с той же частотой сь Величина ),= и (70,2) называется длиной волны; это есть период изменения поля с координатой х в заданный момент времени й Вектор )с= —,и (70,З) Важный частный случай электромагнитных волн представляют волны, в которых поле является простой периодической функцией времени. Такая волна называется монохромагагческой. Все величины (потенциалы, компоненты полей) в моно- хроматической волне зависят от времени посредством множителя вида сОз(ыт+а), где ы — цижагсеская частота (или просто частота) волны.
В плоской волне (распространяющейся вдоль оси х) поле является функцией только от à — х(с. Поэтому если плоская волна монохроматична, то ее поле является простой периодической функцией от à — х/с. Векторный потенциал такой волны удобнее всего написзть в виде вещественной части комплекс ого выражения А=Ке(А е '"И 'И!) (70,!) % го) МОЫОХРОМАТИЧЕСКАЯ ПЛОСКАЯ ВОЛНА 225 (где п — единичный вектор в направлении распространения волны) называется волновым вектором.
С его помощью можно представить (70,1) в виде А = Ке (Аае) 1вг - т) ) (70,4) не зависящем от выбора осей координат. Величину, стоящую с множителем 1 в показателе, называют фазой волны. По тех пор, покз мы производим над величинами лиш( линейные операции, можно опускать знак взятия вещественной части и оперировать с комплексными величинами как таковыми'), Так, подставив А= Аае))вг — ")) в (69,3), получим связь между напряженностями и векторным потенциалом плоской монохроматической волны в виде Е = ИА, Н =11(гА1, (70,6) Рассмотрим подробнее вопрос о направлении поля монохроматической волны.
Будем для определенности говорить об электрическом поле Е =Ке (Еее) (вг — т)) (все скззанное ниже относится, разуиеется, в той же мере и к магнитному полю). Еа — комплексный вектор. Его квадрат ') Если какие-либо двс величины А(г) н В(г) пишутся в комплексном виде А(Г) = Аае '"Г, В(Г) = Вас то при образовании нх произведения надо, разумеется, сначала отделить вещественную часть. Но если, как зто часто бывает, нас интересует лишь среднее 1по времеви) значение этого произведения, то его можно вычислить как — Кс(АВэ).
1 2 Действительно, имеем: КеА КсВ= — (Ае ™+ А,"е' г) (Ве )ы+Вуеье), 1 4 Прн >срсднении члены, содержащие множнтеаи ежи~, обращаются в нуль, гак что остается КеА КсВ = — (АВ*+ А*В) = — Ке (АВа). 1 1 2 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 1Гл хн| Е", есть некоторое, вообще говоря, тоже комплексное число. Если аргумент этого числа есть — 2а (т. е.
Е, '=1Е,'~1е ""), то вектор Ь, определенный согласно Ев=Ье '", будет иметь вещественный квадрат Ь'= ( Е,1Я. С таким определением напишем: Š— 1ге (Ьег 1зг — Ги — к) ) (70,7) Представим Ь в виде Ь=Ь, ~-(Ь где Ь~ и Ь,— дза вещественных вектора. Поскольку квадрат Ь'=Ь*,— Ь', + 2|Ь,Ь,должен быть вещественной величиной, то ЬГЬ,=О, т.
е. векторы Ь| и Ь, взаимно перпендикулярны. Выберем направление Ь| в качестве оси у (ось х — по направлению распространения волны). Тогда из (70,7) имеем: Е' =Ь! соз(мс — йг+а), Е,= + Ьяа(п(мс — 1|г+а), (708) где знак плюс или минус имеет место в зависимости от того, нзправлен вектор Ь, в положительном или отрицательном направлении оси «.
Из (70,8) следует, что Е~, Е~ Ь) 1 Ь)=. Ыы видим, таким образом, что в каждой точке пространствз вектор электрического поля вращается в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, причем его конец описывает эллипс (70,9). Такая волна называется зллггптическп поляризованной, Вращение происходит в направлении по илн против направления винта, взинчиваемого вдоль оси х, соответственно при знаке плюс или минус в (70,8). Если Ь,=Ь„то эллипс (70,9) превращается в круг, т. е.
вектор Е вращается, оставаясь постоянным по величине. В этом случае говорят, что волна поляризована по кругу. Выбор направлений осей у и « при этом становится, очевидно, произвольным. Отметим, что в тзкой волне отношение у- и «-составляющих комплексной амплитуды Ев равно |л +.
1 (70,10) АУ ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА з тп соответственно для вращения по и против направления винта (правая и левая поляризации)'). Наконец, если Ь, или Ьа равно нулю, то поле вопим направлено везде и всегда параллельно (или антипараллельно) одному и тому же направлению. Волну называют в этом случае линейно поляризованной или поляризованной в плоскости. Эллиптическн поляризованную волну можно рассматривать, очевидно, как наложение двух линейно поляризованных волн. В 71, Эффект Допплера Вернеися к определению волнового вектора и введен четырехмерный волновой вектор с компонентами (71,1) Тот факг, что эти величины действительно составляют 4-вектор, очевиден хотя бы из того, что при умножении нз 4-вектор хв он дает скаляр — фазу волны: (71,2) Из определений (70,3) н (71,1) видно, что квадрат волнового 4-вектора равен нулю: /г, й"=О.
(71,3) Используя закон преобразования волнового 4-вектора, легко рассмотреть так называемый эффеюи Доплл~ра— изменение частоты волны ю, испускаемой источником, движущимся по отношению к наблюдателю, по сравнению с <собственной» частотой ю„ того же источника в системе отсчета (Ка), в которой он покоится. Пусть г' — скорость источника, т, е. скорость системы отсчета Ка относительно К. Согласно общим формулам преобразования 4-векторов имеем: а — — а я 1 ы1е ') Подразумевается, что оси х, у, г образуют, как всегда, правовинтозую систему.
о 228 злвктьомлгнитнын волны 1гл хгн (71,4) Это и есть искомая формула. При У~с она дает, если угол а не слишком близок к я~2: 'с' и ° мс (1 + соз а), с При а=к12 имеем: 'с'с ! рс'1 м=мс ~~ 1 — — =ис~1 — — ); с' с~ 2сс)' (71,5) (71,6) в этом случае относительное изменение частоты пропорционально квадрату отношения У/с. ф 72. Спектральное разложение Всякую волну можно подвергнуть так называемому спектральному разложению, т. е. представить в виде наложения монохроматических волн с разлпчнымии частотами.
Эти разложения имеют разлн шый характер в зависимости от характера зависимости поля от времени. К одной категории относятся случаи, когда разложение содержит частоты, образующие дискретный ряд значений. Простейший случай тзкого рода возникает при разложении чисто периодического (хотя и не монохроматического) поля. Это есть разложение в обычный ряд Фурье; оно содержит частоты, являющиеся целыми кратными «основной» частоты сы=2и)Т, где Т вЂ” период поля.
Напишем его в виде ~ ~„е (72,1) (/ — какая-либо из величин, описывающих поле). Величины (скорость системы К относительно К, есть — У). Подставив сюда лс=м/с, (сг=лсоза= — сова, где а — угол (в систе- ме К) между направлением испускания волны и направле- нием движениа источника, и выражая и через вс, получим: 229 спвктзлльнов Рлзложянии у„определяются по самой функции 7" интегралзми гга '1 г'(г)е -У7з (72,2) Ввиду вещесгвенности функции г(1) очевидно, что 1.=Л. Р= Х ~У ~'=2Х~У ~' (72,4) л ! (подразумевается, что среднее по периоду знэчение самой функции 7(1) равно нулю, так что ~,=г=О).
К другой категории относятся поля, разлагающиеся в интеграл фурье, содержащий непрерывный ряд различных частот. Лля этого функции т (1) должны удовлетворять определенным условиям; обычно речь идет о функциях, обращающихся в нуль прв С=.+ со. Такое разложение имеет вид У(1)= ~.У: Й, причем компоненты Фурье определяются по самой функции 7(1) интегралами Х.= $ У()е'-,й. (72,6) При этом аналогично (72,3) У =.г= (72,7) (72,3) В более сложных случаях в разложении могут присутствовзть частоты, являющиеся целыми кратными (и их суммами) нескольких различных, несоизмеримых друг с другом основных частот. При возведении суммы (72,1) в квадрат и усреднении по времени произведения членов с различными частотами обращаются в нуль ввиду наличия в них осциллирующнх множителей.
Остзнутся лишь члены вида г„г" „=)у„!'. Таким образом, средний квадрат поля (средняя интенсивность волны) представится з виде суммы интенсивностей монохроматических компонент: 230 злектгомлгннтныв волны ггл хгп Вычислим игнеграл от )Я по всему времени. С помо~пью (72,5 — б) имеем: или, учитывая (72,7), Таким образом, интегральная интенсивнос|ь выражаегся через интенсивности кеннонен~ фурье волны. ф 73. Частично поляризованный свет Всякая монохроматнческая волна по самому своему определению непременно поляризована. Обычно, однако, приходится иметь лело с волнами лишь почти монохромагическими, содержащими частоты в некотором малом интервале ом, Рассмотрим такую волну, и пусть м есть некоторая средняя ее часгота. Тогда ее поле (будем говорить, для определенности, об электрическом поле Е) в заданной точке пространства можно написать в ниде Е=Е„(г)е' ', где комплексная амплигуда Еа(7) является некогорои медленно меняющейся функцией времени Гу строго монохроматической волны было бы Е,=сопят).
Поскольку Е, определяет поляризацию волны, то это значит, что в каждой точке волны ес поляризация меняется со временем; такую волну называют ч астллчно лолярггзованной. Свойства поляризации электромагнитных воли, в частности света, наблюдаются экспериментально посредством пропускания исследуемого света через различные тела (например, призмы Николя) и намерения интенсивности прошедшего через тело света. С математической точки зрения это означает, что о свойствах поляризации света делаются заключе- 231 ЧАСТИЧНО ПОЛЯРИЗОЕАННЫИ СВЕТ $731 ния, исходя из значений некоторых квадратичных функгтий его поля. При этом, разумеется, идет речь о средних по времени знзчениях этих функций. Квадратичная функция поля состоит ив членов, пропорциональных произведениям ЕгЕм ЕЯЕР, или Е7Е$.
Произведения вида Е7ЕА=ЕогЕяье ""' ЕяЕА=ЕВТЕаьее содержащие быстро осциллирующие множители ежаг"7, при усреднении по времени дают нуль. Произведения же Е7ЕАь= =ЕИЕВЯ, такого множителя не содержат, и потому их средние значения отличны от нуля. Таким образом, мы видим, что свойства частично поляризованного света вполне характеризуются тензором (73,1) 7 А = ЕИЕ3А. Поскольку вектор Е, всегда лежит в плоскости, перпендикулярной к направлению волны, то тензор угл имеет всего четыре компоненты (в этом параграфе индексы 1, й подразумеваются пробегающими всего два значения: 1, 77=1, 2, отвечающих осям у и л; ось х — вдоль направления распространения волны), Сумма диагональных компонент теивора 77А (обозначим ее через .1) есть вещественная величина — среднее значение квадрата модуля вектора Ея.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
