1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 35
Текст из файла (страница 35)
у — = ун = ЕоЕ~о. (73,2) Этой величиной определяется интенсивность волны, измеряемая плотностью потока энергии в ней. Для того чтобы исключить эту величину, не имеющую прямого отношения к поляриззционным свойствам, введем вместо /7А тензор (73,3) Рш= 7 для которого рн=1; будем называть его аоляриза7177онным Л7ЕНЗОРОМ. Из определения (73,1) видно, что компоненты тенвора 27А, а с ним и Р7д, связаны соотношениями Ргл = Рй ЭЛВКТРОМАГНИТНЫВ ВОЛНЫ РЛ ХН1 (без усреднения), т.
е. компоненты тензорз могут быть представлены в виде произведений компонент некоторого постоянного вектора. Необходимое и достаточное условие для этого выражзется равенством нулю определителя ! Ры ! = РИРЫ вЂ” РНРН = О. (73,6) Противоположным случаем является неполяризованный, или есп<есгпвенный, свет. Полное отсутствие поляризации означает, что все направленая (в плоскости уа) вполне эквивалентны.
Пругнми словами, поляризационный тензор должен иметь вид: 1 Р<ь 2 31А (73,7) При этом опрелелитель <р<ь< = 1/4. Произвольный тензор Ры может быть разложен нз две части — симметричную(по индексам 6 1<) и антисимметричную. Рассмотрим частный случай, когда последняя часть отсутствует, В силу (73,4) симметричный тенаор ры в то же время и веществен (Р<ь = Рч<АЛ Как и всякий симметричный тензор, он может быть приведен к главным осям с двумя различными главными значениями, которые мы обозначим через Л, и Лв Направления главных осей взаимно перпендякулярны. Обоаначая через п<Н и п<М орты (единичные векторы) этих направлений, можно представать рм в виде РМ=Л<п,"'пьч+Л<п1ипф', Л, +Ля=!, (73,8) Величины Л, и Л< положительны и пробегают значения от 0 до1. Каждый из двух членов в (73,8) имеет вид произведения двух компонент постоянного вещественного вектора(Р' Л, п<н (т.
е. тензор, как говорят, двжитоа). В силу этих соотношений диагональные компоненты рн и рая вещественны (причем Рн+ Рая= 1) а рм = Р<я. Всего, следовательно, поляризационный тензор характерязуется тремя вещественными параметрами. Выясним условия, которым должен удовлетворять тензор ры для вполне поляризованного света.
В этом случае Еа = сопя<, и поэтому имеем просто /ы = 1р<ь = ЕНЕВА гзз ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА $7м или )' Х,п"). Лругнми словами, каждый из этих членов соответствует линейно поляризованному свету. амадее мы видим, что в (73,8) нет членз, содержащего произведения компонент этих двух волн. Это означает, что обе части можно рассматрявать как физически независимые друг от друга, или, как говорят, некогеренгллые. 1(ействительно, если две волны независимы друг от друга, то среднее значение произведения ЕГОЕАИ равно произведению средних значений кажлого из множителей, и поскольку каждое из последних равно нулю, то и Егч'Еьг' = ().
Таким образом, в рассматриваемом случае частично поляризованную волну можно представить как наложение двух пекогерентных волн (с интенсивностями, пропорциональными 1, и )ч), линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях. (В общем же случзе комплексного тенвора рш можно показать, что свет может быть представлен кзк наложение двух некогерентных эллиптически поляризованных волн, эллипсы поляризации которых подобны и взаимно перпендикулярны.) ф 74. Геометрическая оптика Плоская волна отличается тем свойством, что направление ее распространения и амплитуда везде одинаковы, Проиввольные электромагнитные волны этим своИством, конечно, пе обладают.
Однако часто электромагнитные волны, не являющиеся плоскими, тем не менее таковы, что их можно рассматривать как плоские в каждом небольшом участке пространства. Для этого необходимо, чтобы змплитуда и направление волны почти не менялись нз протяжении расстояниИ пОрядка длины волны. Если выполнено это условие, то можно ввести так называемые волновые ловерлнослпг, во всех точках которых фаза волны в данный момент времени одинакова (для плоской волны это — плоскости, перпендикулярные к направлению ее распространения). В каждом небольшом участке пространства можно говорить о направлении распространения волны, нормальном к волновой поверхности.
При этом можно 2З1 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 1ГЛ Х! Н ввесги понятие лучей — линиИ, касзтельная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны. Изучение законов распространения волн в этом случае составляет предмет геометртеской оптики. Геометрическая оптика рассматривает„ следовательно, распространение электромагнитных волн, в частности света, как распространение лучей, совершенно отвлекаясь при этом от их волновой природы. Другими словами, геометрическая оптика соответствует предельному случаю малых длин волн, ) -ь О.
Займемся теперь выводом основного уравнения геометрической оптики — уравнения, определяющего направление лучей. Пусть т есть любая величина„описывающая поле волны (любая из компонент Е или Н). В плоской монохроматической волне 7' имеет вид г аег йк — ш+ и (74,! ) (мы опускаем знак йе; везде подразумевается вещественная часть). Напишем выражение для поля в виде 7 = пей, (74,2) ф= фа — т — +г— дф дф дг дг (начало координат и начало отсчета времени выбраны в рассматриваемых участке пространства и интервале времени; значения производных берутся в начале координат).
Сравнивая это выражение с (74,1), мы можем написать: (с = — =йгайф и= —— дг ф' дг ' (74,3) В случае, когда волна не плоская, но геометрическая оптика применима, амплитуда а является, вообще говоря, функцией координат и времени, а фаза ф(называемая такжеэйноналож) не имеет простого вида, как в (74,1). Существенно, однако, что эйконал ф является большой величиной.
Это видно уже из того, что он меняется на 2я на протяжении длины волны, а геометрическая оптика соответствует пределу ) -~- О. В малых участках пространства и интервалах вреиени эйконал ф можно разложить в ряд; с точностью до членов первого порядка имеем: 235 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА $74! в соответствии с тем, что в каждом небольшом участке пространства (и в небольших интервалах времени) волну можно рассматривать как плоскую.
По определению волнового вектора, имеем (са=з7",с'. Подставив сюда )г и м из (74,3), получим: ! где ',Я (74,4) Э го дифференциальное уравнение з частных производных первого порядка называется уравнслпгс.и эйколала и является основным урзвнением геометрической оптики. Уравнение (74,4) можно вывести также и непосредственным предельным переходом Х -~ 0 в волновом уравнении. Поле 7 удовлетворяет волновому уравнению Ь|= — „—,.
! дт ся дг7 ' Для функции вида (74,2) имеем: ды дт" ! дГ дт ' + дт7 !, дГ 7 )ЛО эйконал ф в геометрической оптике — большая величина Поэтому можно пренебречь здесь тремя первыми члензми по сравнению с четвертым и тогдз Аналогичным образом найдем: йХ= — (УФ)" Х и подстановка в (74,5) дает уравнение (74,4). Из вида уравнения эйконала вытекает замечательная ана логия между геометрической оптикой и механикой материальных частиц. В мехзнике уравнение движения частицы может быть представлено в виде уравнения Гамильтона — Якоби для действия ь' (3 3!).
это уравнение, как и уравнение эйконала, является уравнением в частных производных первого порядка. При этом действие 8 сзяззно с импульсом р и функцией Гамильтона зж частицы соотношениями д8 дд ч77" = — —. дг' дг электпомАгннтнып волны [гл, хыт Ввиду указанной аналогии мы можем непосредственно написать подобные уравнения для лучей дч дч к= — — г, г= —. дг' дй' (74,6) В пустоте о=с)т, так что )с=О, ч=сп (и — единичный вектор вдоль направления распространения), т, е., как и следовало, в пустоте лучи являются прямыми линиями, вдоль которых свет распространяется со скоростью с '). й 75, Пределы геометрической оптики 11о определению плоской монохромзтической волны ее амплитуда везде н всегда одинакова.
Такая волна бесконечна по всем направлениям в пространстве н сушествует на протяжении всего времени от — со до + со. Всякая же волна с не везде и не всегда постоянной змплнтудой может быть лишь более или менее монохроматнческой. Мы займемся теперь выяснением вопроса о сячеяени кемонохролтатичиослчи волн. Рассмотрим электромагнитную волну с амплитудой, являющейся в каждой точке пространства функцией времени. Пусть юв — некоторая средняя частота волны. Тогда поле ') Хотя в применении к распространению света в пустоте написанные уравнения приводят к заранее очевидным результатам, но существенно, что в своей общей форме зти выводы применимы и к распространению света в материальных средах.
Именно в атом случае возникает аналогия с движением частиц во внешнем силовом воле. Сравнивая эти формулы с формулами (74,3), мы видим, что волновой вектор волны играет в геометрической оптике роль импульса чзстицы в механике, а частота — роль функции Гамильтона, т. е. энергии частицы. Абсолютная величина волнового вектора связана с частотой формулой )т=а/с.
Это соотношение аналогично соотношению р=п/с между импульсом и энергией частицы с массой, равной нулю, и скоростью, равной скорости света. Для частиц имеют место уравнения Гамильтона дч77" ° дчй? р= — —, ч=г= —. дг ' др 4 Щ пвиднлы гпогяптиичпскон оптики волны (например, электрическое) в данной точке имеет вид Ез(1)е — ""е'. Это поле, нв являющееся само монохроматическим, можно, однзко, разложить на монохроматические компоненты, т.
е. в интеграл Фурье. Амплитуда компоненты втого разложения с частотой м пропорциональна интегралу + ОЭ $ Е~ ф ~' ы — и ' Ж. Множитель еы" — "и' является периодической функцией, среднее значение которой равно нулю. Если бы Е„было вообще постоянным, то интеграл был бы в точности равен нулю при всех м з'вь Если же Ея(() переменно, но почти не меняется на протяжении промежутков времени порядка 1Дм †(, то интеграл почти равен нулю, — тем точнее, чем медленнее меняется Еь Для того чтобы интегрзл бы.ч заметно отличен от нуля, необходимо, чтобы Ез(1) заметно менялось на протяжении промежутка времени порядка 1Дм — чм!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
