1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Обозначим посредством Ы порядок величины промежутка времени, в течение которого амплитуда волны в данной точке пространства заметно меняется. Из приведенных соображений следует теперь, что наиболее отличающиеся от м, частоты, входящие в спектральное разложение этой волны с заметными интенсивностями, определяются из условия 1/,'м — аа! йб Если обозначить посредством Ьа интервал частот (вокруг средней частоты кч) в спектральном разложении, то, следовательно, имеет место соотношение Ьм Лг 1. (75,1) Мы видим, что действительно волна тем более монохроматичнз (т. е. Ьв тем меньше), чем больше йг, т.
е чем медленнее меняется в каждой точке пространствз ее амплитуда. Соотношения, аналогичные (75,1), легко вывести и для волнового вектора. Пусть Ьх, Ьу, Ь вЂ” порядки величин расстояний вдоль осей х, у, л, нз которых ззметпо меняется амплитуда волны. В данный момент времени поле волны кзк функция от координат имеет вид Ео (г) егььг где )гч — некоторое среднее значение волнового вектора.
Совершенно аналогично выводу (76;1) можно найти интервал Ьк ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 1гл. хгн ЬЬ Ьх 1, ЬЬ Ьу 1, ЬЬ, Ьг 1. (75,2) Рассмотрим, в частности,'волну, излучавшуюся в течение некоторого конечного интервала времени. Обозначим посредством Ьг порядок величины этого интервала. Амплитуда в данной точке пространства во всяком случае ааметно изменяется зз время Ь(, в течение которо~о волна успеет целиком пройти череа эту точку.
На основании соотношения (75,1) мы можем теперь сказать, что «степень немонохроматичностиъ такой волны Ьм во всяком случае не может быть меньше, чем 1~Ь( (но может, конечно, быть и больше): Ьм' > —. 1 (75,3) Аналогично, если Ьх, Ьу, Ьг — порядки величины размеров волны в пространстве, то для интервалов значениИ компонент волнового вектора, входящих в разложение волны, находим: ЬЬ„~> —, Ь7«, ) —. (75,4) Из этих формул следует, что если мы имеем пучок света конечной ширины, то направление распространения света в таком пучке не может быть строго постоянным, Направляя ось х по среднему направлению света в пучке, мы получаем: 1 Л 6 )— у лау ау ' где 9„ — порядок величины отклонения пучка от среднего направления в плоскости ху, а Л вЂ” длина волны, С другой стороны, формула (75,5) дает ответ на вопрос о предельной резкости оптических изображений. Пучок света, все лучи которого соглзсно геометрической оптике должны были бы пересечься в одной точке, в действительности дзет изображение не в виде точки, а в виде некоторого пятна.
1(ля ширины Ь этого пятив имеем согласно (75,5) 1 Ь ла а' (75,6) значений, имеющихся р разложении рзссматрнваемой волны в пространственный интеграл Фурье: 239 $ та~ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЯ где 6 — угол раствора пучка. Эту формулу можно применить не только к изображению, но и к предмету. Именно, можно утверждать, что при наблюдении исходящего из светящейся точки пучка света эту точку нельзя отличить От тела размера Х~й.
Соответственно этому формула (76,6) определяет предельную ражзеглающую силу микроскопа. Минимальное значение а, достигающееся при 6 1, есть Х, в полном согласии с тем, что пределы геометрической оптики определяются длиной волны света Задача Найти порядок величины наименьшей ширины светового пучка, полтчаюшегося от параллельного пучка света на расстоянии 1 от диафрагмы. Решение.
Обозначив размер отверстия диафрагмы через гт, имеем из (75,5) для угла отклонения лучей (еугла дифракпииь) Х значение Х1о, откуда ширина пучка порядка о+ — й Наименьшее значение втой величины 3~11. ф 76. Собственные колебания поля Рассмотрим свободное (без зарядов) электромагнитное поле, находящееся в некотором конечном объеме пространства. Для упрощения дальнейших вычислений предположим, что этот объем обладает формой прямоугольного параллелепипеда со сторонами, равными соответственно А, В, С. Мы можем тогда разложить все величины, характеризующие поле в этом параллелепипеде, в тройной ряд Фурье (по трем координатам). Напишем это разложение (например, длй векторного потенциала) в виде: А = ~ ', (аае""" + аае- ж"), (76,1) явным образом вырзжающем вещественность А.
Суммирование производится здесь по всем возможным значениям вектора й, компоненты которого пробегают, кзк известно, значения 2япк 2вн 2вя ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ вгЛ ХНГ где' и„, а, и, — положительные и отрицательные целые числа. Из уравнения йчА=О следует, что для каждого К: Каа=б, (76,3) т. е. комплексные векторы аа ортогональны к соответствующим волновым векторам. Векторы аз являются, конечно„ функциями времени; опн удовлетворяют уравнениям аь + свивав=О. (76,4) Если размеры А, В, С выбрзнного объема достаточно велики, то соседние значения Й 7в, втх (у которых и„, а, и, отличаются нз единицу) очень близки друг к лругу.
в'"вы можем говорить тогда о числе возможных значений К„А, угх в небольших интервалзх вв7в„, Луг„Ь7г,. Поскольку соседние значения, скажем 7в„, соответствуют значениям и„, отличающимся нз единицу, то число бах возможных значений а„ в интервале Ь7гх равно просто соответствующему интервалу значений а,. Таким образом, мы находим: Ьал = —, Д7г, Ди, = — Ыт,.
В С бах — ч ~~'вх Полное число Ьи возможных значений вектора К с компонентами в интервалах да„, Ьй, бугх рвано произведению Ьа Ьи„да„т. е. (76,6) где У=АВС есть объем поля. Легко определить отсюда число возможных значений волнового векторз с абсолютноя величиной в интервале Ыг .и направлением з элементе телесного угла Ьо, Для этого надо только перейти к сферическим координатам в «7в-пространстве» и написать вместо Ьй„дув Ь7вх элемент объема в этих координатах. Таким обрззом, йи = — 7ввб7гЬо.
— (2.)в (76,6) Наконец, полное число значений волнового веКтора с абсолютными величинами Й в интервале Ьй и всеми направлениями равно (пишем 4п вместо Ьь) Ли= †, Квб7в. (76,7) 24! а б! СОВСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЯ Векторы ах как функцнн времени сводятся к простым периодическим функциям с частотами в* = сА (ср. (76,4)» Представим разложение поля а таком виде, чтобы оно являлось разложением на бегушне плоские волны.
Для этого будем считать, что каждое нз ах зависит от времени посредством множнгеля е аь е ' а', ма=ей (76,8) Тогда каждый отдельный член в сумме (76,1) будет функцией только от разности (гг — вас, что соответствует волне, распространяюшейся в направления вектора Ы. Вычислим полную энергию 8 ~( + рассматриваемого поля в Объеме К выразив ее через величины ав Для электрического поля имеем: Š— А — у (а~стяг+ аае-мг) ! ° ! кт ° с ах~~ ь илн, принимая во внимание (76,8): Е = ! У !г (аьеев — аае — '""). ь (76,9) Для магнитного полн В=го!А находим:  — ! )" (()та„~ ееаг (йад — вг~ ь (76,!0) л е л л йх О с целым отличным от нуля л» равен нулю. В членах же, и которых экспоненцнальные множители выпадают, интегрирование по Ы1г дает просто объем К При вычислении квадратов этих сумм надо иметь в энду, что все произведения членов с волновыми векторами й ~Е !т' дают нуль при интегрирования по всему обьему.
Действительно, такие члены содержат множнтелн вида е-"!в, г)— = !т + к', а интеграл, например, !гл. К1н ЭЛБКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В результате найдем: б'= 4 У;, И"хая+("ая) ("авП. Но ввиду того, что аьи = О, имеем: (йаа) (йаа) = 7г"аьа„ь, и мы получаем окончательно: 8=~ о„, е'ь= —,а„а„. л' '»' йл я (76,1!) Таки»1 обрааом, полная энергия поля выражается в виде суммы энергий б»в, связанных с калгдой из плоских волн в отдельности. Аналогичным образом можно вычислить полный импульс поля -',— ~ 6 Ъ = —,' ~ (ВН! й(, причем получается н (76,12) (76,13) Этот результат можно было ожидать заранее ввиду известного соотношения между энергией и импульсом плоских волн (см.
5 69). Разложением (76,!) достигается описание поля посредством дискретного ряда переменных (векторы аь) вместо описания непрерывным рядом переменных, каковым по существу является описание потенциалом А(х,у,, г), задаюшимся во всех точках пространства. 1л(ы произвсдсм теперь преобразование переменных аю в результа~е которого окажется возможным придать уравнениям поля вид, аналогичный кано. ническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) механики. Введем вещественные лканонические переменные» (ах и Рв согласно соотношениям ')ь р' 4 ' (ах+ах), 4лгл / гг л Рл= — 1»»» ~Г 4 1 (ав аа)=ь)» 4лс" 16 сопстве!п1ьи»олеплния пОля % 701 (76,14) При этом уравнения Гамильтона дЛ,'дР»=ь)» совпадают с равенствами Р1, = ь)», которые, ~аким образом, действительно оказываются следствием уравнений движения (это достигнуто надлежащгы1 выбором коэффициента в преобразовании (76,13)).
Уравнения же дьч',д(Э»= — Р» приводят к уравнениям ч)»+ аЩ» =О, (76,15) т. е. тождественны с уравнениями поля. !(аждыи из векторов»)» и Р» перпендикулярен к волновому вектору (т, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направление этих векторов определяет направление поляризации соответстсующен бегущей волны. Обозначив две компоненты вектора »)» (в плоскости, перпендпкулярноп )т) посредством ()»;, / = 1, 2, имеем К= Я', г '„., н аналоги и о для Рж Тогда »72 = )»ут"» еЯ"»у = —,(Р»у+»1йЯ~т) (76 16) ма » 1' Мы видим, что функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин 11»; Р»д КаягДЫ11 такой шен соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризациен.
Г!ри этом ахг»т имеет вид функции Гамильтона одномерного «осциллятораяч совершающего простые гармонические колебания. Поэтому о полученном разлолсепни говорят иногда как о разложении поля на осцплллторы. Функция Гамильтона поля получас~си подстановкой этих выражений в энергию (7 6, 1 1 ) »= ~~ —,(Рй+ыИй). » Г л а в а ХГт7 ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ф 77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
