1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Запаздывающие потенциалы Выведем уравнения, определяющие потенциалы поля, создаваемого движущимися зарядами. Лля этого повторим про. изведенный в $68 вывод, не полагая, однако, при этом плотность зарядов и ток равными нулю. Подставив определения Е= — — — — ру, Н=го1А ! оА с вт (77,1) в уравнение го1 Н = — '1+ — 87, 4я 1дЕ получим: 4я 1 д'А дт го1 го1 А= — ЬА+игат(йчА= —,1 — —,— — агат(— с' дтт дт (77,2) (в последнем члене справа переставлены операции ягаб и д,тд1). В качестве дополнительного условия, налагаемого на потенциалы, выберем теперь равенство б)~А+-' — ',~ =О; (77,3) это условие называют лоренцевым, а об удовлетворяющих ему потенциалах говорят как о потенциалах в лоренс)евоту малпброаье ').
Тогда последние члены в обоих сторонах уравнения ') Условие (77,3) является более общим,чем использованные в $88 условия 7 =О, гдч А =О; потенциалы, )доваотворяюшис этим последним, удовлетворяют также и условию (77,3). В отанчие от нт, ЗАПАЗДЫВА!ОЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ (77,2) взаимно сокращаются и мы приходим к уравнению (77,4) Аналогичным образом, подставив (77,!) в уравнение д)ч Е = = 4кр, получим: ! д — — — д(ч А — Ьр = 4кр, с дт или, выразив б)чА нз условия (77,3): ! дет гх дтх (77,5) ! дхе йр — —, —,' = — 4н т(е (т) о ((с). (77,6) однако, условие Лоренца имеет инвариантный характер: потенциалы, удовлетворяющие этому условию в одной системе отсчета, удовлетворяют ему и во всякой другой системе.
Это видно из того, что условие (тт,з! может быть записано в четырехмерно-инварнантном виде ддв — в =-О. дли Уравнения (77,4 — 5) и являются искомыми уравнениями. Для постоянного поля они сводятся к уже известным нам уравнениям (59,4) и (бо,4), а для переменного поля без аарядов — к однородным волновым уравнениям. Решение неоднородных линейных уравнений (77,4 — 5) может быть представлено, как известно, в виде суммы решения эпш же уравнений без правой части и частного интеграла уравнений с правой частью.
7(ля нахождения этого частно~о интеграла разделим все пространство на бесконечно малые участки н определим поле, создаваемое зарядом, находягцимся в одном нз таких элементов объема. Вследствие линейности уравнений пстчннтое поле будет равно сумме полей, создаваемых всеми такими элементами, Заряд т(е в заданном элементе объема является, вообще говоря, функцией от времени. Если выбрать начало координат в рассматриваемом элементе объема, то плотность заряда р =гул(г)3((с), где а( — расстояние от начала координат. Таким образом, нам надо решить уравнение 246 излученис электпомлгнитных волн 1гл х!и Везде, кроме начала координат, 6(й) = О, и мы имеем уравнение 1 д'т Ьу — —,—,=О, (77,7) с дтс Очевидно,чтов рассматрнваемомслучае 7 обладает центральнои симметрией, т. е, является функцией только от й.
поэаому, если написать оператор Лапласа в сферических координатах, то (77,7) приобретет вид: 1 д ' яду'1 1дст Л.'с д,91 ' дА'/ с' д~'-' Лля решения эгого уравнения сделаем подстановку у= =у(й, 1),Я. Тогда для у получим: дст 1 д'Х вЂ” — — — =О. дсс" сс дтс Ио это есть уравнение плоских волн, решение которо~о имеет вид: Поскольку мы ищем только частный интеграл уравнения„ ао достаточно звать только одпУ из фУнкций ~, н Ум Обычно бывает удобным выбирать ус=О (см, об этом ниже).
Тогда потенциал я везде, кроме начала координат, имеет вн.а: (77,8) функция у в этом равенстве пока произвольна; выберем ее теперь так, чтобы получить верное значение для потенциала также и в начале координат. Иначе говоря, мы долакны подобрать у так, чтобы в начале координат удовлетворялось уравнение(77,6). Это легко сделать, заме~ив, чго при Й-ьО сам потенциал стремится к бесконечности, а потому его производные по координатам растут быстрее, чем производные по времени. Следовательно, при 77-+ 0 в уравнении (77,6) можно прене.
1 д'т бречь членом — — по сравнению с 61с. Тогда оно переходит с' дас в известное уже нам уравнение (59,10), приводящее к закону Кулона. Таким образом, вблизи начала координат формула «!!аздывлюш!!и !!о!в!ин! ип ! Отсюда легко перейти к решению уравнения (77,5) для произвольного распределения зарядов р(х, у, а,(). Для этого достаточно написать с!е= р!((г (с(1« — элемент объема) и проинтегрировать по всему пространству. К полученному таким образом решению неоднородного уравнения (77,5) можно прибави~ь еще решение ты этого же уравнения без правой части.
Таким образом„ общее решение имеет внд: 7(г, !) =1 — р!г', г — — 7(п+-р., Г ! ', Л>1 с! й=г — г', 6П/'= (х у7)а, (77,9) где г=(х, у, а), г'=(х', у', а')! )7 есть расстояние от элемента обьема с((г до «точки наблюдения», в которой мы ищем значение потенциала. Мы будем писать это выражение коротко з виде: Г Рг-и:с Р=Г =' (т-и ;! 17 (77,10) где индекс показывает, что значение р надо брать в момент времени ! — Й~с, а штрих у с(!Г опущен.
Аналогичным образом имеем для векторного потенциала: с Д,~,' (77,! !) где Л, — решение уравнешш (77г!) без правой части. Выражения (77,10 — !1) (без рс и А,) называются запаздываю!цилш потенциалами. В случае неподвижных зарядов (т. е.
не зависящей от времени плотности р) формула (77,10) переходит в извесгну!о уже нам формулу (59,9) для потенциала электростатического поля; формула же (77,11) в случае стационарного движения зарядов переходит (после усреднения) в формулу (65,о) для векторного потенциала постоянного магнитного поля. Величины вс и А, в (77,!Π— 1!) определяются так, !тооы удовлетворить условиям задачи.
Для этого, очевидно, было бы (77,8) должна переходить в закон Кулона, откуда следует, что у (!) = с(е (г), т. е. / Р1 !ге (г — — ) с) Ф 248 излучение электеомлгшп!!ых волн !Гл х!ч 8 78. Потенциалы Лиенара — Вихерта Определим потенцизлы поля, создаваемого одним точечным аарядом, соверша!ощип заданное движение по траектории г =г,(1). Согласно формулам за!!аздызаюших потенциалов поле в точке наблюдения Р(х,у, г) в момент времени 1 определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени 1', для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда г,(1') в точку наблюдения Р как раа совпадает с разностью 1 — 1'.
Пусть й (1)= г— — г,(1) — радиус-вектор от заряда е в точку Р; вместе с г„(1) он является заданной функцией времени. Тогда момент 1' определяется уравнением 1' + — — = 1, Д (1') е (78,1) В системе отсчета, в когорой в момент времени 1' частица покоится, поле в точке наблюдения в момент 1 дается просто кулоновским потенцизлом, т. е. е — А=О. Р(г')' (78,2) Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой .4-вектор, который бы достаточно задать начальные условия, г. ц поле в начальный аюмент времени.
Однако с такими начальными условиями обычно не приходится иметь дела. Вместо этого ззда!отея условия на больших расстояниях от системы ззрядов в течение всего времени. Имемно, задается падающее на систему внешнее излучение. Соответственно этому поле, возникающее в результате взаимодействия этого излучения с системой, может отличаться от внешнего поля только пзлу !еннеы, исходящим от системы. Такое исходящее от системы излучение на больших расстояниях должно иметь зид волны, распространяю- шейся по направлению от системы, т. е. в направлении возрастающих гс.
Но этому условию удовлетворяют именно запаздываялцие потенциалы. Таким образом, послешше изображают собой поле, исходящее от системы, а 7, и А, надо о!ождествнть с внешним полем, действующим на снсгеяу. 2 гй потенциалы лизнАРа — Вихветл на ходим, ч1 о искомый 4-вектор есть Аи А— (17 ве) (78,3) Здесь ив — 4-скорость заряда„а сс" — 4-вектор с составляющими (х" =(с(1 — 1'), г — г'), причем 1', х', у', з' связаны друг с другом соотношением (78,!). Последнее имеет инвариантный характер, поскольку оно может быть записано в инвариантном виде яя =о. (78,4) Раскрывая теперь в трехмерных обозначениях смысл компонент 4-вектора (78,3) в произвольной системе отсчета, получим для потенциалов поля, создаваемого произвольно хвижущимся точечным зарядом, следующие выражения: ~Б', — — ~ с(Д вЂ” ™) где й — радиус-вектор, проведенный иэ точки нахождения заряда в точку наблюдения со, и все величины в правых частях равенств должны быль взяты в момент времени 1', определяющийся нэ (78,1) Потенциалы поля в виде (78,5) называются потепцпалалш сунепара — Вихергпа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
